第 10 讲 圆锥曲线中定值问题的七种类型
考法呈现
题型一：和斜率有关的定值问题
例题分析
【例1】
已知A,B是椭圆C上的两点，A(2,1),A、B关于原点O对称，M是椭圆C上异于A,B的一点，直线MA
1
和MB的斜率满足k ⋅k =- .
MA MB 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q异于椭圆C的上、下顶点），当△OPQ的
面积最大时，求k ⋅k 的值.
OP OQ求定值问题常见类型以及解题策略：
(1)常见类型：
①证明代数式为定值：依据题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式后再
化简，即可得出定值；
②证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用条件化
简，即可证明；
③证明线段长度、面积、斜率(或以上量的和、差、积、商)等为定值，写出各量的目标函数
解析式，再做消参处理即可．
(2)常用策略：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
变式训练
【变式1-1】椭圆 x2 y2 的离心率 1，过点 .
C: + =1(a>b>0) e= (0,❑√3)
a2 b2 2
(1)求椭圆的标准方程；
(1 )
(2)过点 ,0 且斜率不为0的直线l与椭圆交于M,N两点，椭圆的左顶点为A，求直线AM与直线AN的
2
斜率之积.【变式1-2】如图，椭圆 x2 的左、右顶点分别为 ， ， 为椭圆上的动点且
E: + y2=1(a>1) A,B Q(-a,a) N
a2
在第一象限内，线段QN与椭圆E交于点M（异于点N），直线OQ与直线BM交于点P，O为坐标原点，
2
连接MA,NA,AP，且直线AM与BP的斜率之积为- ．
a2+9
(1)求椭圆E的方程．
(2)设直线AN,AP的斜率分别为k ,k ，证明：k ⋅k 为定值．
1 2 1 2
【变式1-3】在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0) ，定直线l:x=4，动点P在l上的射影为Q，且
满足|PQ|=2|PF|.
(1)记点P的运动轨迹为E，求E的方程；
(2)过点F作斜率不为0 的直线与E交于M,N 两点，l与x轴的交点为H，记直线MH和直线NH的斜率分
别为k ,k ，求证：k +k =0.
1 2 1 2题型二：和面积有关的定值问题
例题分析
【例2】已知椭圆 y2 x2 的左、右顶点分别为 ，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上
C: + =1(a>b>0) A,B P C
a2 b2
运动，且△ABP面积的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若直线l经过点Q(1,0)，交C于M,N两点，直线AM,BN分别交直线x=4于D，E两点，试问△ABD
与△AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
变式训练
【变式2-1】已知双曲线 x2 y2 ，渐近线方程为 x ，点 在 上；
C: - =1(a>0,b>0) y± =0 A(2,0) C
a2 b2 2
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点（不与A点重合），且两条直线的斜率k ，
1
k 满足k +k =1，直线PQ与直线x=2，y轴分别交于M，N两点，求证：△AMN的面积为定值.
2 1 2【变式2-2】已知椭圆 ：x2 （ ）与椭圆 ：x2 y2 （ ）的离心率相同，且
C + y2=1 a>1 C + =1 0<b<2❑√3
1 a2 2 12 b2
椭圆C 的焦距是椭圆C 的焦距的❑√3倍．
2 1
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆C 上，AB∥CD，CD=2AB，直线BC与直线AD相交于点P．且点P
1
在椭圆C 上，试探究梯形ABCD的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2
【变式2-3】已知椭圆 x2 y2 ，椭圆 x2 ．点 为椭圆 上的动点，直线
C : + =1(a>b>0) C : + y2=1 P C OP
1 a2 b2 2 4 2
与椭圆C 交于A，B两点，且⃗OA=2⃗OP．
1
(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)以点P为切点作椭圆C 的切线l，l与椭圆C 交于C，D两点，问：四边形ACBD的面积是否为定值？若
2 1
是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．题型三：和周长有关的定值问题
例题分析
【例3】已知P为圆C：x2+ y2-2x-15=0上一动点，点N(-1,0)，线段PN的垂直平分线交线段PC于
点Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)点M在圆x2+ y2=3上，且M在第一象限，过点M作圆x2+ y2=3的切线交Q点轨迹于A，B两点，问
△ABC的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【变式3-1】已知椭圆 ：x2 y2 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，上顶点为 .
Γ + =1(a>b>0) F A B P
a2 b2
(1)若△PFB为直角三角形，求Γ的离心率；
(2)若 ， ，点 ， 是椭圆 上不同两点，试判断“ ”是“ ， 关于 轴对称”的什
a=2 b=1 Q Q' Γ |PQ|=|PQ'| Q Q' y
么条件？并说明理由；
(3)若a=2，b=❑√3，点T为直线x=4上的动点，直线TA，TB分别交椭圆Γ于C，D两点，试问△FCD的
周长是否为定值？请说明理由.
【变式3-2】已知椭圆 x2 y2 的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于
C: + =1(a>b>0)
a2 b2
3
A，B的动点，且k ⋅k =- ．
MA MB 4
(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线x=4上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点F ；
2
②椭圆的左焦点为F ，求△CF D的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
1 1
49 1
【变式3-3】在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆C :(x+1) 2+ y2= 内切，且与圆C :(x-1) 2+ y2=
1 4 2 4
外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为A 、A ，T为直线l:x=4上的动点，且T不在x轴上，直线T A 与C
1 2 1
的另一个交点为M，直线T A 与C的另一个交点为N，F为曲线C的左焦点，求证：△FMN的周长为定
2
值.
题型四：和线段有关的定值问题
例题分析
【例4】如图，已知椭圆 x2 y2 ( )的左右焦点分别为 ， ，点 为 上的一个动点(非左
C : + =1 a>b>0 F F A C
1 a2 b2 1 2 1
右顶点)，连接AF 并延长交C 于点B，且△ABF 的周长为8，△AF F 面积的最大值为2．
1 1 2 1 2(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)若椭圆C 的长轴端点为F ,F ，且C 与C 的离心率相等，P为AB与C 异于F 的交点，直线PF 交C
2 1 2 2 1 2 1 2 1
于M,N两点，证明：|AB|+|MN|为定值．
【变式4-1】已知椭圆C：x2 y2 的焦距为4，左右顶点分别为 ， ，椭圆上异于 ，
+ =1(a>b>0) A A A A
a2 b2 1 2 1 2
1
的任意一点P，都满足直线PA ，PA 的斜率之积为- ．
1 2 2
(1)若椭圆上存在两点B ，B 关于直线y=x+m对称，求实数m的取值范围；
1 2
(2)过右焦点F 的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否
2
存在实数k，使得 k 1 为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
+
|MN| |OQ| 2
【变式4-2】在平面直角坐标系xOy中，圆 ： ， ，P是圆 上的一个动点，线段
F (x+2) 2+ y2=4 F (2,0) F
1 2 1
PF 的垂直平分线l与直线PF 交于点M．记点M的轨迹为曲线C．
2 1
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F 作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点H，求证：
2|AB| 为定值．
|F H|
2
【变式4-3】已知椭圆 ：x2 y2 过点 ，且有两个顶点所在直线的斜率为1，过椭
C + =1(a>b>0) D(0,-1)
a2 b2 2
圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M，与y轴交于点N．
6
(1)若△AMD的面积为 ，求直线l的方程；
5
(2)设过原点 且与直线 平行的直线 交椭圆于点 ，求证：|AM|⋅|AN|为定值．
O l l' P
2
|OP|
题型五：和参数有关的定值问题
例题分析
【例5】已知双曲线 x2 y2 的左､右焦点分别为 ， ，且 ， 的一条渐近
C: - =1(a>0,b>0) F F |F F |=4 C
a2 b2 1 2 1 2
❑√3
线与直线l:y=- x垂直.
3
(1)求C的标准方程；
(2)点 为 上一动点，直线 ， 分别交 于不同的两点 ， （均异于点 ），且 ，
M C M F M F C A B M ⃗M F =λ⃗F A
1 2 1 1，问： 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
⃗M F =μ⃗F B λ+μ
2 2
【变式5-1】已知抛物线 的焦点为 ，圆 恰与 的准线相切.
C:y2=2px(p>0) F D:(x-1) 2+(y-2) 2=4 C
(1)求C的方程及点F与圆D上点的距离的最大值；
(2)O为坐标原点，过点M(0,1)的直线l与C相交于A，B两点，直线AD，BD分别与y轴相交于点P，Q，
mn
⃗MP=m⃗MO，⃗MQ=n⃗MO，求证： 为定值.
m+n
【变式5-2】已知圆锥曲线E上有两个定点 、 ，P为曲线E上不同于M，N的动点，
M(❑√2,1) N(-❑√2,-1)
1
且当直线PM和直线PN的斜率k ，k 都存在时，有k ⋅k =- ．
PM PN PM PN 2
(1)求圆锥曲线E的标准方程；
(2)若直线l：x=my+❑√2与圆锥曲线E交于A、B两点，交x轴于点F，点A，F，B在直线l'：x=2❑√2上
的射影依次为点D，K，G
①若直线l交y轴于点T，且 ， ，当m变化时，探究 的值是否为定值？若是，
⃗TA=λ ⃗AF ⃗TB=λ ⃗BF λ +λ
1 2 1 2
求出λ +λ 的值；否则，说明理由；
1 2
②连接AG，BD，试探究当m变化时，直线AG与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给
予证明；否则，说明理由．【变式5-3】已知椭圆x2 y2 的离心率为❑√2，四个顶点构成的四边形面积为 ．
+ =1(a>b>0) 2❑√2
a2 b2 2
(1)求椭圆方程；
❑√2
(2)若直线y=kx+m交椭圆于A(x ,y )，B(x ,y )，且S = ，求证x2+x2为定值．
1 1 2 2 △AOB 2 1 2
题型六：和距离有关的定值问题
例题分析
【例6】如图，已知直线 ， ， 是平面内一个动点， ∥ 且 与 相交于点
l :y=❑√3x l :y=-❑√3x M MA l MA l
1 2 2 1
A（A位于第一象限），MB∥l ，且MB与l 相交于点B（B位于第四象限），若四边形OAMB（O为原
1 2
❑√3
点）的面积为 .
2
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点(2,0)的直线l与C相交于P,Q两点，是否存在定直线l':x=t，使以PQ为直径的圆与直线l'相交于
|EF|
E,F两点，且 为定值，若存在，求出l'的方程，若不存在，请说明理由.
|PQ|【变式6-1】已知双曲线 x2 y2 的离心率为❑√5，且经过点 ．
C: - =1(a>0,b>0) M(2,0)
a2 b2 2
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点 的直线 与过点 的直线 的交点
G(x ,y ) l :x x+4 y y=4 H(x ,y )(x ≠x ) l :x x+4 y y=4
1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2
N在双曲线C上，直线 与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明 为定
GH 4|ON| 2-|OP| 2-|OQ| 2
值，并求出定值．
x2 y2
【变式6-2】已知双曲线C: - =1，直线l过C的右焦点F且与C交于M,N两点．
4 12
1 1
(1)若M,N两点均在双曲线C的右支上，求证： + 为定值；
|MF| |NF|
(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【变式6-3】已知双曲线 x2 y2 的渐近线方程为 ，过其右焦点F且垂直于x
C: - =1(a>0,b>0) y=±❑√3x
a2 b2
轴的直线与C交于A，B两点，且|AB|=6．
(1)求C的方程．
(2)设 为C上的动点，直线 x x y y 与直线 交于点M，与直线 （与直线 不重
P(x ,y ) l: 0 - 0 =1 AB x=t AB
0 0 a2 b2
|MF|
合）交于点N．是否存在t，使得 为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
|NF|题型七：和向量有关的定值问题
例题分析
【例7】已知双曲线 y2 的左、右焦点分别为 ， ， 是 的左顶点， 的离心率为
C: x2- =1(b>0) F F A C C
b2 1 2
2．设过F 的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限．
2
(1)求C的标准方程；
1
(2)若直线AP、AQ分别交直线x= 于M、N两点，证明：⃗M F ⋅⃗N F 为定值；
2 2 2
(3)是否存在常数λ，使得∠PF A=λ∠PAF 恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．
2 2
【变式7-1】已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 、 ，斜率不为0的直线 过点 ，
M: + =1(a>b>0) F F l F
a2 b2 1 2 1
1
与椭圆交于A,B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|=3，椭圆的离心率e= ．
2
(1)求椭圆M的方程；
(2)在x轴上是否存在点P，使得⃗PA⋅⃗PB为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式7-2】如图椭圆C：x2 y2 的离心率为❑√2，点( ❑√2)在椭圆C上．过椭圆的左焦
+ =1(a>b>0) -1,
a2 b2 2 2
点F的直线l与椭圆C交于C，D两点，并与y轴交于点M，A，B分别为椭圆的上、下顶点，直线AD与
直线BC交于点N．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，当点M异于A，B两点时，求证：⃗OM⋅⃗ON为定值．
【变式7-3】图，在平面直角坐标系 中，椭圆 x2 y2 过点( ❑√2)，且椭圆的离心率
xOy E: + =1(a>b>0) 1,
a2 b2 2
❑√2
为 .直线l:y=x+t与椭圆E相交于A､B两点，线段AB的中垂线交椭圆E于C､D两点.
2
(1)求E的标准方程；
(2)求线段CD长的最大值；
(3)证明：⃗AC⋅⃗AD为定值，并求此定值.变式训练
真题专练
1．设 为椭圆E：x2 上的三点，且点 关于原点对称， 1.
A,B,C + y2=1(a>1) A,C k ⋅k =-
a2 AB BC 2
(1)求椭圆E的方程；
1
(2)若点B关于原点的对称点为D，且k ⋅k =- ，证明：四边形ABCD的面积为定值.
AC BD 2
2．已知抛物线 ，双曲线 y2 ，点 在 的左支上，过 作 轴的平行
E:y2=2px(p>0) C:x2- =1 A(x ,y ) C A x
p2 1 1
线交E于点M，过M作E的切线l ，过A作直线l 交l 于点P，交E于点N，且⃗AP=⃗PN.
1 2 1
(1)证明：l 与E相切；
2
(2)过 作 轴的平行线交 的左支于点 ，过 的直线 平分 ，记 的斜率为
N x C B(x ,y ) P l ∠MPN l
2 2 3 3
1 1
k,∠MPN=θ，若cosθ=-k2，证明： + 恒为定值.
x x
1 23．已知双曲线 x2 y2 的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为 ．
C: - =1(a>0,b>0) ❑√3
a2 b2
(1)求双曲线C的方程．
(2)若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设⃗PF=λ⃗FA=μ⃗FB．试判断λ+μ是
否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
4．已知双曲线 x2 y2 的虚轴长为 ，左焦点为F．
C: - =1(a>0) 2❑√3
a2 a2+2
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当l⊥OB时，求△AOB的
面积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得 |⃗MN| 2 -(|⃗PM| 2 +|⃗PN| 2) 为定值，求出
点P的坐标及该定值．
5．已知椭圆 x2 y2 的右焦点为 ，点 ， 在椭圆 上运动，且 的最小值为 ；
C: + =1(a>b>0) F P Q C |PF| ❑√6-❑√3
a2 b2
1
当点P不在x轴上时点P与椭圆C的左、右顶点连线的斜率之积为- .
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l:x-2y=0与椭圆C在第一象限交于点A，若∠PAQ的内角平分线的斜率不存在.探究：直线
PQ的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.6．以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲
( π)
边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且P 2, ，Q
3
在极轴上，C为O´P的中点．以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy．
(1)求O´Q所在圆P的直角坐标方程与直线CQ的极坐标方程；
(2)过O引一条射线，分别交圆P，直线CQ于A，B两点，证明：|OA|⋅|OB|为定值．
7．已知椭圆C：x2 y2 的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为1，P为椭圆C上一点（除左、
+ =1(a>b>0)
a2 b2 2
右顶点），直线PF₁，PF₂与椭圆C的另一个交点分别为A，B，且 ， ，当m=1
⃗PF =m⃗F A ⃗PF =n⃗F B
1 1 2 2
时，|PA|=3．
(1)求椭圆C标准方程；
(2)试判断m+n是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．
3 π
8．在非Rt△ABC中，已知sin AsinBsin(C-θ)=λsin2C，其中tanθ= ( 0<θ< ) ．
4 2
1 1
(1)若tanC=2，λ=1，求 + 的值；
tanA tanB1 1 2
(2)是否存在λ使得 + + 为定值？若存在，求λ的值，并求出该定值为多少；若不存在，请
tan A tanB tanC
说明理由．
9．已知圆O的方程为x2+ y2=4，P为圆上动点，点F坐标为(1,0)，连OP，FP．过点P作直线FP的垂线
l，线段FP的中垂线交OP于点M，直线FM交l于点A．
(1)求点A的轨迹方程；
(2)记点A的轨迹为曲线C，过点G(4,0)作斜率不为0的直线n交曲线C于不同两点S，R，直线x=1与直线
n交于点H，记 S ❑ ． S ❑ ，问： 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理
λ= △ HFR μ= △ GFS λ⋅μ
S ❑ S ❑
△ HFS △ GFR
由．
10．已知椭圆 x2 y2 的离心率为❑√3，短轴长为2.
E: + =1,(a>b>0)
a2 b2 2
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为△ABC的重心；
①如果直线AB，OC的斜率都存在，求证：k ⋅k 为定值；
AB OC
②试判断△ABC的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.11．已知椭圆E：x2 y2 的离心率为❑√2，短轴长为4．
+ =1(a>b>0)
a2 b2 2
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y=kx-1(k∈R)与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线
QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
12．已知椭圆 x2 y2 的离心率为1，其左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点为 ， ，
E: + =1(a>b>0) A B F F
a2 b2 2 1 2
点P为椭圆上异于A，B的动点，且△PF F 的面积最大值为❑√3.
1 2
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过定点T(-1,0)的直线交椭圆E于M，N两点（与A，B不重合）证明：直线AM与直线BN的交点的
横坐标为定值.
13．已知椭圆 x2 y2 的离心率为❑√2，椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上顶点为 ，
C: + =1(a>b>0) C A A D
a2 b2 2 1 2
4❑√3
点A 到直线A D的距离为 .
1 2 3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点(2,1)的直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交直线A Q于点M，点N为PM的中点，
2
证明：直线A N的斜率为定值.
214．已知椭圆 x2 y2 的离心率为❑√3，且过点( ❑√3).
E: + =1(a>b>0) 1,
a2 b2 2 2
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l:x=1与x轴交于点M，过M作直线l ,l ,l 交E于A,B两点，l 交E于C,D两点.已知直线AC交l
1 2 1 2
|MG|
于点G，直线BD交l于点H.试探究 是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
|MH|
15．已知椭圆 x2 y2 的离心率为e，且过 ， 两点.
E: + =1(a>b>0) (2,0) (1,e)
a2 b2
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过M(1,0)有两条直线l ，l ，它们的斜率互为倒数，l 与椭圆E交于A，B两点，l 与椭圆E交于
1 2 1 2
C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点.试探究：△OPQ与△MPQ的面积之比是否为定值？若是，请
求出此定值；若不是，请说明理由.
16．已知双曲线 x2 y2 ， y2 x2 ，设点 在 上，点 为坐标原点.
C : - =1 C : - =1(a≥b>0) A、B C O
1 a2 b2 2 b2 a2 1
(1)若 ，求 的最小值；
a=b=1 |⃗OA⋅⃗OB|
(2)设点 在 上，直线 、 分别与 相切于点 ，对于给定的 、 ，在以下结论中选择一个正
P C PA PB C A、B a b
2 1确的结论（多选的按第一个给分），并加以证明：
①△OPA和△OPB的面积之和为定值；
②△OPA和△OPB的面积之差的绝对值为定值；
③直线AB与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为定值.
17．已知 ， 是椭圆 x2 y2 的左、右焦点，点 ( 3)是 上一点， 的中点在
F F C: + =1(a>b>0) A 1, C AF y
1 2 a2 b2 2 1
轴上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
( 3)
(2)过点A 1, 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B，C两点，设直线BC的斜率为k，证明：k为定
2
值，并求k的值．
( 3)
18．已知椭圆C的焦点为F (-1,0)和F (1,0)，且椭圆C经过点M 1, .
1 2 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F (1,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点，则在x轴上是否存在定点N，使得⃗NP⋅⃗NQ的值为定值？
2
若存在，求出点N的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆 x2 y2 的离心率是❑√3， 是椭圆C上一点.
C: + =1(a>b>0) P(2,0)
a2 b2 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点(6，0)的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是k ，k ，试问
1 2
k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
1 2
x2 y2
20．已知椭圆C: + =1的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆O:x2+ y2=4交于M，N
4 3
两点，M在N的左侧．
1
(1)若直线l的斜率k= ，求原点O到直线l的距离；
2
(2)记直线AM，BN的斜率分别为k ，k ，证明：k k 为定值．
1 2 1 2
21．已知双曲线 x2 y2 ，焦点到渐近线 的距离为2.
C: - =1(a>0,b>0) 2x- y=0
a2 b2
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左､右顶点分别为A,B，直线l交双曲线C于点M,N（点M在第一象限），记直线MA斜
率为 ，直线 斜率为 ，过原点 做直线 的垂线，垂足为 ，当k 为定值 1时，问是否存在定点 ，
k NB k O l H 1 - G
1 2 k 3
2
使得|GH|为定值，若存在，求此定点G.若不存在，请说明理由.
