第 02 讲 数列的证明和通项公式的四种求法
考法呈现
考法一：等差、等比数列基本量的运算
例题分析
【例 1】已知 为正项等差数列， 为正项等比数列，其中 ，且 ， 成等比
{a } {b } a =3,b =a a ,a +1 a +3
n n 2 1 1 2 3 5
数列，b +b +b =13．
1 2 3
求 的通项公式；
{a },{b }
n n
满分秘籍在等差数列五个基本量a ，d，n，a ，S 中，已知其中三个量，可以根据已知条
1 n n
件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两
个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
等比数列中有五个量 a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程
1 n n
(组)求关键量a 和q，问题可迎刃而解．
1
变式训练
【变式1-1】已知数列 是等差数列，其前n和为 ， ， ，数列 满足
{a } S a +a =12 S =45 {b }
n n 3 9 9 n
1 3
a b +a b +⋅⋅⋅+a b = (2n-1)3n+1+ .
1 1 2 2 n n 4 4
(1)求数列 ， 的通项公式；
{a } {b }
n n
【变式1-2】已知数列 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，数列 的前n项和为 ，且
{a } {b } {b } S
n n n n
a =b =1，a =b +1，a =S ．
1 1 2 2 4 3
(1)求数列 ， 的通项公式；
{a } {b }
n n7 3
【变式1-3】已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，且S = ，a -a = ，等差数列{b }满足
n n 3 4 1 3 4 n
b +b =12+b ，a b =1.
7 12 8 2 1
(1)求数列 ， 的通项公式；
{a } {b }
n n
【变式1-4】已知等差数列 满足 ， ，等比数列 满足 ， ．
{a } a =4 2a -a =7 {b } b =4 b +b =8(b +b )
n 2 4 5 n 3 4 5 1 2
(1)求 与 的通项公式；
{a } {b }
n n
【变式1-5】已知等差数列 满足 ，数列 是以1为首项，公比为3的等比数列.
{a } (n+1)a =n2-8n+k {b }
n n n
(1)求a 和b ；
n n【变式1-6】已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列.
{a } a =1 d≠0 a a a
n 1 1 2 4
求数列 的通项公式；
{a }
n
考法二：等差、等比数列的证明
例题分析
5
【例2】已知等比数列{a }的公比q<1，a =1，且a ，a 的等差中项等于 a ．
n 4 1 3 4 2
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ，证明：数列 为等差数列．
b =log a {b }
n 2 n n
满分秘籍证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数 n都有
a －a 等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数 n都有
n＋1 n
2a ＝a ＋a ；(3)通项公式法：得出a ＝pn＋q(p，q是常数)；(4)
n＋1 n n＋2 n
前n项和公式法：得出S ＝An2＋Bn(A，B是常数).
n
等比数列的四种常用判定方法
（1）定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，
n∈N*)，则{a }是等比数列；（2）中项公式法：若数列{a }中，a ≠0且a
n n n
＝a ·a (n∈N*)，则{a }是等比数列；（3）通项公式法：若数列{a }的
n n＋2 n n
通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a }是等
n n
比数列；（4）前n项和公式法：若数列{a }的前n项和S ＝k·qn－k(k为
n n
常数且k≠0，q≠0,1)，则{a }是等比数列。
n变式训练
【变式2-1】已知正项等比数列 和数列 ，满足 是 和 的等差中项， .
{a } {b } log a b b (n∈N*)
n n 2 n 1 n
(1)证明：数列 是等差数列，
{b }
n
【变式2-2】设数列 的前 项和为 ，且 与 的等差中项为 .
{a } n S a -4n S -a
n n n n n
(1)证明：数列 是等比数列；
{a +2}
n
1
【变式2-3】已知数列{a }的前n项和为S ，且满足a =1， S 是3与4a 的等差中项．
n n 1 2 n+1 n
(1)设 ，证明数列 是等比数列；
b =a -2a {b }
n n+1 n n【变式2-4】已知正项数列 满足 ， ，且对任意的正整数 ， 是 和 的等差中项.
{a } a =1 a =2 n 1+a2 a2 a2
n 1 2 n+1 n n+2
(1)证明： 是等差数列，并求 的通项公式；
{a2 -a2} {a }
n+1 n n
1
【变式2-5】已知数列{a }的前n项和为S ， S =a -2n-1．
n n 2 n n
(1)证明：{ a
n
}是等差数列；
2n-1
(2)求数列{a n+1 }的前
n
项积．
a
n
【变式2-6】已知 数列满足 ， ．
{a } a =3 3a -9a =3n+2
n 1 n+1 n
(1)证明：数列{a
n
}为等差数列；
3n考法三：累加法求数列的通项公式
例题分析
【例3】数列{a }满足a -4a +3a =0，且a =8 , a =2，求通项a .
n n+2 n+1 n 1 2 n
满分秘籍
当出现a ＝a ＋f(n)时，一般用累加法求通项．
n n－1
变式训练
【变式3-1】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式．
{a } a =3a +2⋅3n+1,a =3 {a }
n n+1 n 1 n
【变式3-2】已知数列 各项均为正数， ， ，且 .
{a } a =1 a >a a +a =a ⋅a (n∈N*)
n 1 n+1 n n+2 n 2 n+1
(1)若数列 为等差数列，求数列 的前 项和 ；
{a -a } {a } n S
n+1 n n n(2)若数列 为等比数列，且数列 不为等比数列，求数列 的通项公式.
{a -2a } {a } {a }
n+1 n n n
【变式3-3】数列
{a }
中，
a =
2n+1 ⋅a
n，
a =2
，求
{a }
的通项.
n n+1 2n+1+a 1 n
n
考法四：累乘法求数列的通项公式
例题分析
【例4】已知数列 {a } 的前 n 项和为 S ，且 a =1 ，{na n }是公差为2的等差数列.
n n 1 S
n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)求S .
n满分秘籍
当出现＝f(n)时，一般用累乘法求通项．
变式训练
【变式4-1】已知数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ， ．
{a } S {a } n a =1 3S =(n+2)a
n n n 1 n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
【变式4-2】在数列 中， a 2n-3 ，求 .
{a } a =1, n = (n≥2) a
n 1 a 2n+1 n
n-1
【变式4-3】已知数列 中， a ．
{a } a =1,a = n(n∈N*)
n 1 n+1 3n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n考法五：已知 S 求数列的通项公式
n
例题分析
【例5】已知数列 的前 项和为 ，且 .
{a } n S S =2a -2
n n n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
满分秘籍
通过S 求a .已知数列{a }前n项和S .
n n n n
则当n=1时 a =S
1 1
n≥2时 a =S -S(n-1)
n n
变式训练
【变式5-1】设数列 的前n项和为 ，且满足 .
{a } S S =2a -1(n∈N*)
n n n n(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
【变式5-2】设正项数列 的前 项和为 ， ．
{a } n S a2+2a =4S -1(n∈N*)
n n n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
3n2-n
【变式5-3】已知数列{a }的前n项和S = ,n∈N* .
n n 2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)证明：对任意n>1，都有m∈N*，使得a ,a ,a 成等比数列.
1 n m【变式5-4】已知 是数列 的前 项和， ， .
S {a } n a =2 S =a +1
n n 1 n n+1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
考法六：构造法求数列的通项公式
例题分析
1
【例6】已知：a =1，n≥2时，a = a +2n-1，求{a }的通项公式．
1 n 2 n-1 n
满分秘籍构造法的常见类型一般有：① a ＝pa ＋q(p≠0,1，q≠0，其中 a ＝a)，
n＋1 n 1
②a ＝pa ＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)；③a ＝pa ＋qn(p≠0,1，q≠0,1)．
n＋1 n n＋1 n
构造法的构造方法：①形如a ＝αa ＋β(α≠0,1，β≠0)的递推式可用构造
n＋1 n
法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，
构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数
列．
②递推公式 a ＝αa ＋β 的推广式 a ＝αa ＋β×γn(α≠0,1，β≠0，
n＋1 n n＋1 n
γ≠0,1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，转化为b ＝kb ＋(k≠0,1)的形式，通
n＋1 n
过构造公比是k的等比数列求解．
变式训练
1 5 1
【变式训练6-1】已知数列{a }中，a =1,a =c- .设c= ,b = ，求数列{b }的通项公式.
n 1 n+1 a 2 n a -2 n
n n
【变式训练6-2】已知数列 的前 项和为 （ 为常数）.
{a } n S ,a =1,a =λa +4 λ
n n 1 n+1 n
(1)若 ，求 的通项公式；
λ=3 {a }
n【变式训练6-3】已知数列 满足 ， ， ，求
{a } a =3 a =6 a =2a +3a a
n 1 2 n+2 n+1 n n
真题专练
1记 为数列 的前 项和，已知 的等差中项为 .
S {a } n S ,2n a
n n n n
(1)求证 为等比数列；
{a +2}
n
2．记 为数列 的前n项和，已知 .
S {a } S =(a -n)(n+1)
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n3．已知各项均为正数的数列 满足 ，其中 是数列 的前n项和.
{a } 2❑√S =a +1 S {a }
n n n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1 1
4．已知数列{a }和{b }，a =2， - =1，a =2b .
n n 1 b a n+1 n
n n
(1)求证数列{1 }是等比数列；
-1
a
n
5．设数列
{a }
的前
n
项和为
S
，已知
a =1
，且数列{
3-
2S
n
}是公比为1的等比数列.
n n 1 a 3
n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n6．已知数列 的前n项和为 ，且 ．
{a } S 2S =3a -1
n n n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
7．已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
{a } n S a =2❑√S -1
n n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1
8．在等比数列{a }中，a =8a ，且 a ,a -4,a -12成等差数列.
n 7 4 2 2 3 4
(1)求 的通项公式；
{a }
n1
9．已知数列{a }的前n项和为S ,S = (n+2)a ，且a =1.
n n n 3 n 1
(1)求证：数列{a }是等差数列；
n
n
10．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列{b }是首项为1，公差为2的等差数列．
{a } n S S =2a -2 n
n n n n n
(1)分别求出数列 的通项公式；
{a },{b }
n n
11．在等差数列 中， ，其前 项和 满足 .
{a } a =4 n S S =n2+λn(λ∈R)
n 2 n n(1)求实数λ的值，并求数列{a }的通项公式；
n
12．已知公差为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 成等比数列.
{a } n S ,a =3 a ,a ,2a +3
n n 2 1 3 6
(1)求a 和S .
n n
3
13．已知数列{a }的前n项和为S ，满足S = a -1.
n n n 2 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n1
14．已知各项为正数的数列{a }的前n项和为S ，满足S +S = a2 ,a =2．
n n n+1 n 2 n+1 1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
15．已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项积为 ，且满足 ．
{a } S (S ≠0) {S } T S +T =S ⋅T (n∈N*)
n n n n n n n n n
(1)求证：{ 1 }为等差数列；
S -1
n
2S
16．已知数列{a }的前n项和为S ，且 n=n-13.
n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n17．已知 为数列 的前 项和， ．
S {a } n a =2,S =a -3n-2
n n 1 n n+1
(1)求数列 的通项公式 ；
{a } a
n n
18．设等差数列 的公差为 ，且 ．令 n2+n，记 分别为数列 的前 项和．
{a } d d>1 b = S ,T {a },{b } n
n n a n n n n
n
(1)若 ，求 的通项公式；
3a =3a +a ,S +T =21 {a }
2 1 3 3 3 n
19．设等差数列 的前 项和为 ，公比是正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，
{a } n S {b } n T a =1 b =3
n n n n 1 1
， ，求 ， 的通项公式．
a +b =17 T -S =12 {a } {b }
3 3 3 3 n n20．已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ．
{a } a =5 S S =2S +n+5(n∈N* )
n 1 n n+1 n
(1)证明数列 是等比数列；
{a +1}
n
