第 05 讲 错位相减法求数列前 n 项和
例题分析
【例 1】1．设S 为数列{a }的前n项和，已知a =1,2S =na ．
n n 2 n n
(1)求{a }的通项公式；
n
{a }
(2)求数列 n+1 的前n项和T ．
2n n
【分析】（1）根据a =¿即可求出；
n
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为2S =na ，
n n
当n=1时，2a =a ，即a =0；
1 1 1
当n=3时，2(1+a )=3a ，即a =2，
3 3 3
当n≥2时，2S =(n-1)a ，所以2(S -S )=na -(n-1)a =2a ，
n-1 n-1 n n-1 n n-1 n
a a a
化简得：(n-2)a =(n-1)a ，当n≥3时， n = n-1 =⋯= 3=1，即a =n-1，
n n-1 n-1 n-2 2 n
当n=1,2,3时都满足上式，所以a =n-1(n∈N*)．
n
a n
（2）因为
n+1=
， …………确定通项为“等差×等比”的形式，采用错位相减
2n 2n
(1) 1 (1) 2 (1) 3 (1) n
所以T =1× +2× +3× +⋯+n× ，
n 2 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n (1) n+1
T =1× +2× +⋯+(n-1)× +n× ，
2 n 2 2 2 2
…………乘以“等比”的q，写的时候，最好将两式错位对其，次数相同的项对齐，以便准确的相减
两式相减得，1 [ (1) n]
× 1-
1
T =
(1) 1
+
(1) 2
+
(1) 3
+⋯+
(1) n
-n×
(1) n+1
=
2 2
-n×
(1) n+1
，
2 n 2 2 2 2 2 1 2
1-
2
( n)(1) n
=1- 1+ ， …………相减并化简之后并没有结束，注意前面的系数
2 2
即T =2-(2+n)
(1) n
，n∈N*．
n 2
满分秘籍
(1) 如果数列 { a } 是等差数列， { b } 是等比数列，求数列 { a · b } 的前 n 项和时，常采用错位相减法．
n n n n
(2) 错位相减法求和时，应注意：
① 在写出“ S ” 与“ qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出
n n
“ S － qS ” 的表达式．
n n
② 应用等比数列求和公式必须注意公比 q 是否等于 1 ，如果 q ＝ 1 ，应用公式 S ＝ na .
n 1
变式训练
【变式1-1】已知数列{a }的前n项和为S ，且a +2a +3a +⋯+na =(n-1)S +2n.
n n 1 2 3 n n
(1)求a ,a ，并求数列{a }的通项公式；
1 2 n
(2)若b =a ⋅log a ，求数列{b }的前n项和T .
n n 2 n n n
【答案】(1)a =2；a =4；a =2n
1 2 n
(2)T =2n+1 (n-1)+2
n
【分析】（1）将n=1、n=2代入求a ,a ，根据a ,S 关系及递推式可得S =2a -2(n≥2)，再次由a ,S
1 2 n n n n n n
关系及等比数列定义写出通项公式；
（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求结果.
【详解】（1）由题意a +2a +3a +⋯+na =(n-1)S +2n①，
1 2 3 n n当n=1时a =2；当n=2时a +2a =S +4=a +a +4⇒a =4；
1 1 2 2 1 2 2
当n≥2时，a +2a +3a +⋯+(n-1)a =(n-2)S +2(n-1)②，
1 2 3 n-1 n-1
①－②得na =(n-1)S -(n-2)S +2=S +(n-2)a +2⇒S =2a -2(n≥2)，
n n n-1 n n n n
当n=1时，a =2也适合上式，所以S =2a -2，所以n≥2时S =2a -2，
1 n n n-1 n-1
两式相减得a =2a (n≥2)，故数列{a }是以2为首项，2为公比的等比数列，
n n-1 n
所以a =2n .
n
（2）由（1）得b =n⋅2n，
n
T =1×21+2×22+⋯+(n-1)2n-1+n2n ③，
n
2T =1×22+2×23+⋯+(n-1)2n+n2n+1 ④，
n
2(1-2n
)
③－④得：-T =21+22+⋯+2n-n2n+1= -n2n+1=2n+1 (1-n)-2，
n 1-2
所以 T =2n+1 (n-1)+2.
n
1 1
【变式1-2】已知数列{a }和{b }，a =2， - =1，a =2b .
n n 1 b a n+1 n
n n
{1 }
(1)求证数列 -1 是等比数列；
a
n
{n }
(2)求数列 的前n项和T .
b n
n
【答案】(1)证明见解析
n+2
(2)T =n2+n-2+
n 2n
1 1( 1 ) {1 } 1
【分析】（1）通过题中关系，可得 -1= -1 ，进而可得数列 -1 是以- 为首项，公比为
a 2 a a 2
n+1 n n
1
的等比数列.
22n n n n
（2）由（1）可得a = ，b =2n- ，则 =2n- ，可利用分组求和与错位相减求和解题.
n 2n-1 n 2n b 2n
n
1 1 2 1
【详解】（1）由a =2， - =1，a =2b 得 - =1，
1 b a n+1 n a a
n n n+1 n
1 1( 1 ) 1 1
整理得 -1= -1 ，而 -1=- ≠0，
a 2 a a 2
n+1 n 1
{1 } 1 1
所以数列 -1 是以- 为首项，公比为 的等比数列
a 2 2
n
1 1(1) n-1 1 2n
（2）由（1）知 -1=- =- ，∴a = ，
a 2 2 2n n 2n-1
n
1 2n n 2n+1-1 n
∴b = a = ， =n⋅ =2n- ，
n 2 n+1 2n+1-1 b 2n 2n
n
1 2 n 1 1 2 n
设S = + +⋯+ ，则 S = + +⋯+ ，
n 2 22 2n 2 n 22 23 2n+1
1( 1 )
1-
1 1 1 1 n 2 2n n n+2
两式相减得 S = + +⋯+ - = - =1- ，
2 n 2 22 2n 2n+1 1 2n+1 2n+1
1-
2
n+2
从而S =2-
n 2n
n(2+2n) n+2
∴T = -S =n2+n-2+ .
n 2 n 2n
【变式1-3】在①S =2S +2，②a -a =2n这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该
n+1 n n+1 n
问题．已知数列{a }的前n项和为S ，a =2，且满足________．
n n 1
(1)求a ；
n
(2)若b =(n+1)⋅a ，求数列{b }的前n项和T ．
n n n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)a =2n
n(2)T =n⋅2n+1
n
【分析】（1）若选①，利用a 与S 的关系即可求解；若选②，利用累加法结合等比数列前n项和公式即可
n n
求解.
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）若选①，因为S =2S +2，
n+1 n
当n≥2时，S =2S +2，两式相减得a =2a ，
n n-1 n+1 n
当n=1时，S =2S +2，即a +a =2a +2，
2 1 1 2 1
又a =2，所以a =4，
1 2
故a =2a 也满足a =2a ，
2 1 n+1 n
所以{a }是首项为2，公比为2的等比数列，故a =2n ；
n n
若选②，因为a -a =2n ，
n+1 n
所以a -a =(a -a )+(a -a )+⋯+(a -a )
n 1 2 1 3 2 n n-1
2(1-2n-1)
=21+22+⋯+2n-1= =2n-2，故a =2n .
1-2 n
（2）由（1）知b =(n+1)⋅a =(n+1)⋅2n，
n n
则T =2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n ，①
n
2T =2×22+3×23+4×24+⋯+(n+1)⋅2n+1 ，②
n
两式相减得-T =4+22+23+⋯+2n-(n+1)⋅2n+1
n
4(1-2n-1)
=4+ -(n+1)⋅2n+1
1-2
=4-4+2n+1-(n+1)⋅2n+1=-n⋅2n+1，
故T =n⋅2n+1 .
n【变式1-4】记正项数列{a }的前n项和为S ，已知点(a ,6S )(n∈N*)在函数f(x)=(x+1)(x+2)的图
n n n n
象上，且a >1，数列{b }满足b =3b ，b =a +1．
1 n n+1 n 2 3
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
a a -1
(2)设c = n + 1 ，求数列{c }的前n项和T ．
n b b n n
n+1 n
【答案】(1)a =3n-1；b =3n
n n
13 (13 n)(1) n
(2)T = - +
n 12 12 2 3
【分析】（1）由递推关系可得数列{a }是首项为2，公差为3的等差数列，则可求得{a }通项公式，由
n n
b =3b 知，{b }是以3为公比的等比数列，即可求出{b }的通项公式；
n+1 n n n
3n+2
（2）可得c = ，利用错位相减法可求得T .
n 3n+1 n
【详解】（1）因为点(a ,6S )(n∈N*)在函数f(x)=(x+1)(x+2)的图象上，
n n
所以6S =(a +1)(a +2)=a2+3a +2，
n n n n n
当n=1时，6S =a 2+3a +2，所以a 2-3a +2=0，解得a =1或a =2，
1 1 1 1 1 1 1
因为a >1，所以a =2，
1 1
当n≥2时，6S =a2+3a +2，6S =a2 +3a +2，
n n n n-1 n-1 n-1
两式相减得：6a =a2-a2 +3a -3a ，即(a +a )(a -a )=3(a +a )，
n n n-1 n n-1 n n-1 n n-1 n n-1
因为a >0，所以a -a =3，
n n n-1
所以数列{a }是首项为2，公差为3的等差数列，
n
所以a =2+(n-1)⋅3=3n-1；
n由b =3b 知，{b }是以3为公比的等比数列，又b =a +1=9，
n+1 n n 2 3
所以b =b ⋅3n-2=3n .①
n 2
a a -1 3n-1 2-1 3n+2
（2）因为c = n + 1 = + = ，
n b b 3n+1 3n 3n+1
n+1 n
(1) 2 (1) 3 (1) 4 (1) n+1
T =c +c +⋯+c =5× +8× +11× ...+(3n+2)× ，
n 1 2 n 3 3 3 3
1 (1) 3 (1) 4 (1) 5 (1) n+2
T =5× +8× +11× ...+(3n+2)× ，
3 n 3 3 3 3
2 (1) 2 (1) 3 (1) 4 (1) n+1 1 n+2
两式相减可得 T =5× +3× +3× +...+3× -(3n+2)×( )
3 n 3 3 3 3 3
5 [ (1) 2 (1) 3 (1) n] (1) n+2
= + + +...+ -(3n+2)×
9 3 3 3 3
(1) 2[ (1) n-1]
1-
5 3 3 (1) n+2
= + -(3n+2)×
9 1 3
1-
3
5 1[ (1) n-1] (1) n+2 13 (13 n)(1) n
= + 1- -(3n+2)× = - +
9 6 3 3 18 18 3 3
13 (13 n)(1) n
所以T = - + .
n 12 12 2 3
【变式1-5】设{a }是公比不为1的等比数列，a =1，a 为a ，a 的等差中项.
n 1 2 3 4
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求数列{|(2n-10)a |}的前n项和T .
n n
【答案】(1)a =(-2) n-1
n
(2)T =¿
n
【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；（2）设c =(5-n)2n，其前n项和为S ，利用错位相减法求出S ，再分n≤5和n≥6两种情况讨论即可得解.
n n n
【详解】（1）设{a }公比为q,q≠1，a 为a ，a 的等差中项，
n 2 3 4
即2a =a q+a q2 ，
2 2 2
即为q2+q-2=0，解得q=-2或q=1(舍去)，
所以a =1⋅(-2) n-1=(-2) n-1 ；
n
（2）|(2n-10)a |=|n-5|2n=¿，
n
设c =(5-n)2n ，其前n项和为S ，
n n
所以S =c +c +⋅⋅⋅+c =4×2+3×22+⋅⋅⋅+(5-n)×2n ，①
n 1 2 n
2S =4×22+3×23+⋅⋅⋅+(5-n)×2n+1 ， ②
n
①-②得-S =8-22-23-⋅⋅⋅-2n-(5-n)2n+1
n
4-2n+1
=8- -(5-n)2n+1
1-2
=12+(n-6)2n+1，
所以S =(6-n)2n+1-12，
n
所以当n≤5时，T =S =(6-n)2n+1-12，
n n
当n≥6时，T =c +c +⋅⋅⋅+c -c -c -⋅⋅⋅-c
n 1 2 5 6 7 n
=S -(S -S )=2S -S
5 n 5 5 n
=(n-6)⋅2n+1+12+2×52
=(n-6)⋅2n+1+116，
所以T =¿.
n真题专练
1．已知{a }是单调递增的等差数列，其前n项和为S .{b }是公比为q的等比数列.
n n n
a =b =3,a =b ,S =q⋅S .
1 1 4 2 4 2
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)设c =¿，求数列{c }的前n项和T .
n n n
【答案】(1)a =2n+1,b =3n
n n
(2)T =¿
n
【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；
（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.
【详解】（1）设等差数列{a }的公差为d>0，
n
由题意可得：¿，解得¿或¿（舍去），
所以a =3+2(n-1)=2n+1,b =3×3n-1=3n .
n n
n(3+2n+1)
（2）由（1）可得S = =n2+2n，
n 2
当n为奇数时，则c =a b =(2n+1)⋅3n ，
n n n
设A =c +c +⋅⋅⋅+c =3×3+7×33+⋅⋅⋅+(2n+1)⋅3n ，
n 1 3 n
则9A =3×33+7×35+⋅⋅⋅+(2n+1)⋅3n+2 ，
n
(
n-1)
108× 1-9 2
两式相减得 -8A =9+4×33+4×35+⋅⋅⋅+4×3n-(2n+1)⋅3n+2=9+ -(2n+1)⋅3n+2
n 1-9
(4n+1)⋅3n+2+9
=- ，
2
(4n+1)⋅3n+2+9
所以A = ；
n 16a b (2n-1)⋅3n (2n-1)⋅3n 1[ 3n+2 3n ]
当n为偶数时，则c = n-1 n = = = - ，
n (a +7)S (2n+8)(n2+2n) 2n(n+2)(n+4) 8 (n+2)(n+4) n(n+2)
n n
1[ 34 32 36 34 3n+2 3n ]
设B =c +c +⋅⋅⋅+c = - + - +⋅⋅⋅+ -
n 2 4 n 8 4×6 2×4 6×8 4×6 (n+2)(n+4) n(n+2)
1[ 3n+2 9]
= - ，
8 (n+2)(n+4) 8
1[ 3n+2 9]
所以B = - ；
n 8 (n+2)(n+4) 8
综上所述：c =¿，
n
当n为奇数时，则T =c +c +⋅⋅⋅+c =(c +c +⋅⋅⋅+c )+(c +c +⋅⋅⋅+c )
n 1 2 n 1 3 n 2 4 n-1
(4n+1)⋅3n+2+9 1[ 3n+1 9]
=A +B = + - ；
n n-1 16 8 (n+1)(n+3) 8
当n为偶数时，则T =c +c +⋅⋅⋅+c =(c +c +⋅⋅⋅+c )+(c +c +⋅⋅⋅+c )
n 1 2 n 1 3 n-1 2 4 n
(4n-3)⋅3n+1+9 1[ 3n+2 9]
=A +B = + - ；
n-1 n 16 8 (n+2)(n+4) 8
综上所述：T =¿.
n
2．已知数列{a }的前n项和为S ,a =0，且S =2S +2(n∈N*).
n n 1 n+1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列{b }满足b =log a ，求数列{a b }的前n项和T .
n n 2 n+1 n+1 n n
【答案】(1)a =¿
n
(2)T =(n-1)2n+1+2
n
【分析】（1）由条件结合S ,a 的关系可得a ，a =2a (n≥2)，由此可求{a }的通项公式；
n n 2 n+1 n n（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为S =2S +2(n∈N*)，
n+1 n
所以当n=1时，S =a +a =2a +2=2，
2 1 2 1
∵a =0,∴a =2，
1 2
∵S =2S +2，
n+1 n
∴n≥2时，S =2S +2，
n n-1
所以a =2a (n≥2)，
n+1 n
∴a =¿；
n
（2）由（1）知b =log a =n.
n 2 n+1
令c =a b =n⋅2n ，则
n n+1 n
T =1×21+2×22+3×23+⋯+n2n ，
n
2T =1×22+2×23+⋯+(n-1)2n+n2n+1 ，
n
2-2n+1
所以-T =21+22+23+⋯+2n-n2n+1= -n2n+1=(1-n)2n+1-2，
n 1-2
∴T =(n-1)2n+1+2.
n
3．已知数列{a }的首项为1，前n项和S =n2；
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若b =(a +1)⋅2n，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
【答案】(1)a =2n-1
n
(2)T =(n-1)⋅2n+2+4
n
【分析】（1）利用S 与a 之间的关系可得，注意要验证首项是否符合通项公式；
n n
（2）一个等差数列乘以一个等比数列构成一个新数列，利用错位相减法求这个新数列的前n项和.
【详解】（1）因为S =n2①，所以有S =(n-1) 2②，
n n-1
②-①得S -S =2n-1，即a =2n-1，
n n-1 n经验证a =1符合a =2n-1，
1 n
所以数列{a }的通项公式为a =2n-1.
n n
（2）b =(a +1)⋅2n=2n⋅2n=n⋅2n+1，
n n
所以T =1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1 ①，
n
2T =1×23+2×24+3×25+⋯+n⋅2n+2 ②，
n
①-②可得-T =22+23+24+⋯+2n+1-n⋅2n+2 ，
n
22 (1-2n
)
即-T = -n⋅2n+2，化简得T =(n-1)⋅2n+2+4，
n 1-2 n
所以数列{b }的前n项和T =(n-1)⋅2n+2+4.
n n
4．在①a +a +a =15，②S =20，③a (S -9)=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
1 4 7 5 3 3
已知公差不为0的等差数列{a }的前n项和为S ,a 是a 与a 的等比中项，___________.
n n 7 3 15
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)求数列{2na }的前n项和T .
n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)a =n+1
n
(2)T =n×2n+1
n
【分析】（1）根据所选条件，等差数列通项公式，求和公式及等比中项的性质得到方程组，解得a❑、d，
1
即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）选条件①：设等差数列{a }的公差为d(d≠0)，
n
则¿，所以¿，得¿，所以数列{a }的通项公式为a =2+(n-1)=n+1.
n n
选条件②：设等差数列{a }的公差为d(d≠0)，
n
则¿，所以¿，得¿，
所以数列{a }的通项公式为a =2+(n-1)=n+1.
n n
选条件③：因为a 是a 与a 的等比中项，所以a ≠0，由a (S -9)=0，可得S =9，
7 3 15 3 3 3 3
设等差数列{a }的公差为d(d≠0)，
n
则¿，所以¿，得¿，
所以数列{a }的通项公式为a =2+(n-1)=n+1.
n n
（2）令b =2na =(n+1)2n，
n n
则T =b +b +⋅⋅⋅+b =2×21+3×22+4×23+⋅⋅⋅+(n+1)2n ①，
n 1 2 n
2T =2×22+3×23+4×24+⋅⋅⋅+(n+1)2n+1 ②，
n
2(1-2n)
①-②得-T =2×21+22+23+⋅⋅⋅+2n-(n+1)2n+1=2+ -(n+1)2n+1=-n×2n+1，
n 1-2
所以T =n×2n+1 .
n
5．已知数列{a }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任
n
意正整数m，n，均有a +a =a 成立．
m n m+n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
a
(2)令b = 2n-1 ，求数列{b }的前n项和T ．
n a n n
2n
n，n=2k-1
【答案】(1) a ={ n (k∈N*)
n
22，n=2k2n+3
(2)T =3-
n 2n
【分析】（1）由题意分别令m=n=1，或m=1，n=2，根据数列{a }的奇数项成等差数列，偶数项成等比
n
数列，且公差和公比都是2即可求出首项，写出通项公式即可；
（2）利用错位相减法即可求出数列{b }的前n项和T ．
n n
【详解】（1）对满足m+n≤5的任意正整数m，n，
均有a +a =a 成立，
m n m+n
令m=n=1，则a +a =a 即a =2a ，
1 1 2 2 1
令m=1，n=2，得a +a =a ，
1 2 3
∵a =a +2，
3 1
∴3a =a +2，
1 1
解得a =1，a =2，
1 2
由题意数列{a }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，
n
(n+1
)
1+2 -1 ，n=2k-1 n，n=2k-1
∴a ={ 2 (k∈N*)，即a ={
n
(k∈N*)，
n n
n
-1
22，n=2k
2⋅22 ，n=2k
a 2n-1
（2）由(1)知b = 2n-1= ，
n a 2n
2n
1 1 2 1 3 1 n
则T =1× +3×( ) +5×( ) +…+(2n-1)×( ) ，
n 2 2 2 2
1 1 2 1 3 1 4 1 n+1
∴ T =1×( ) +3×( ) +5×( ) +…+(2n-1)×( ) ，
2 n 2 2 2 2
∴
1
T =
1
+2[(
1
)
2
+(
1
)
3
+(
1
)
4
+…+
(1
) n
]
-(2n-1)×(
1
)
n+1
2 n 2 2 2 2 2 2
1( 1 )
2× 1-
1 4 2n-1 1 n+1 3 1 n+1
= + -(2n-1)×( ) = -(2n+3)×( ) ，
2 1 2 2 2
1-
2
2n+3
∴T =3- ．
n 2n1 1
6．已知数列{a }的前n项的和为S ，S = n2+ n，数列{b }为单调递增的等比数列，且有b +b =9，
n n n 2 2 n 1 4
b ⋅b =8.
2 3
(1)求数列{a },{b }的通项公式；
n n
(2)设数列{c }满足c =a ，设{c b }的前n项的和为T ，求T 的值.
n n 2n-1 n n n n
【答案】(1)a =n；b =2n-1
n n
(2)T =(2n-3)⋅2n+3
n
【分析】（1）根据a =¿作差求出{a }的通项公式，根据下标和性质得到b ⋅b =8，即可求出b 、b ，从
n n 1 4 1 4
而求出公比q，即可求出{b }的通项公式；
n
（2）由（1）可得c =2n-1，则c b =(2n-1)×2n-1，利用错位相减法求和即可.
n n n
1 1
【详解】（1）因为S = n2+ n，
n 2 2
当n=1时，a =S =1，
1 1
1 1 1 1 [1 1 ]
当n≥2时，S = (n-1) 2+ (n-1)，所以a =S -S = n2+ n- (n-1) 2+ (n-1) =n，
n-1 2 2 n n n-1 2 2 2 2
经检验n=1时a =n也成立，所以a =n；
n n
因为{b }为等比数列，所以b ⋅b =b ⋅b =8，结合b +b =9，可得¿或¿，
n 2 3 1 4 1 4
b
因为数列{b }单调递增，所以¿，所以q3= 4=8，则q=2；
n b
1
即数列{b }为首项b =1,q=2的等比数列，即可得b =2n-1 .
n 1 n
（2）因为数列{c }满足c =a ，可得c =2n-1，
n n 2n-1 n
所以c b =(2n-1)×2n-1 ，
n n数列{c b }的前n项的和为T =1×1+3×2+⋯+(2n-1)⋅2n-1 ，
n n n
2T =1×2+3×22+⋯+(2n-1)⋅2n ，
n
将上面两式相减可得-T =1+2×(2+22+⋯+2n-1)-(2n-1)⋅2n
n
2(1-2n-1)
=1+2× -(2n-1)⋅2n，
1-2
化简可得-T =(3-2n)⋅2n-3，
n
所以T =(2n-3)⋅2n+3.
n
(a +2)a
7．已知数列{a }的前n项和为S ,且满足a >0,S = n n ,数列{b }的前n项积T =2n2 .
n n n n 4 n n
(1)求数列{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)求数列{a b }的前n项和.
n n
【答案】(1)a =2n,b =22n-1
n n
(3n-1)⋅4n+1+4
(2)
9
(a +2)a
【分析】（1）对于数列{a },根据a >0,S = n n ,利用a 和S 的关系求解;对于数列{b },因为其前n项
n n n 4 n n n
T
积T =2n2 ,根据b = n (n≥2)即可求解;
n n T
n-1
（2）由（1）知a b =n⋅4n ,利用错位相减法求解即可.
n n
(a +2)a
【详解】（1）当n=1时,a = 1 1 ,
1 4∴a =2,
1
(a +2)a (a +2)a
当n≥2时,a =S -S = n n- n-1 n-1 ,
n n n-1 4 4
化简得a2-a2 =2(a +a ),
n n-1 n n-1
∵a >0,∴a -a =2,
n n n-1
∴数列{a }是首项为2,公差为2的等差数列,
n
∴a =2+(n-1)×2=2n.
n
当n=1时,b =T =2,
1 1
T 2n2
当n≥2时,b = n = =22n-1 ，当n=1时也满足，
n T 2(n-1)2
n-1
所以b =22n-1 .
n
（2）a b =2n⋅22n-1=n⋅4n ,
n n
设R =a b +a b +⋯+a b =1⋅41+2⋅42+⋯+n⋅ 4n①,
n 1 1 2 2 n n
则4R =1⋅42+2⋅43+⋯+n⋅4n+1 ②,
n
4(1-4n) 1-3n 4
①-②得-3R =41+42+⋯+4n-n⋅4n+1= - n⋅4n+1 = ⋅4n+1- ,
n 1-4 3 3
(3n-1)⋅4n+1+4
∴R = .
n 9
8．已知S 是公差不为0的等差数列{a }的前n项和，a 是a ，a 的等比中项，S =78.
n n 2 1 4 12
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)已知b =a ⋅3a n -1，求数列{b }的前n项和T .
n 2n-1 n n
【答案】(1)a =n
n
(2)T =(n-1)×3n+1
n【分析】（1）根据题意列式求解a ,d，即可得结果；
1
（2）由（1）可得：b =(2n-1)×3n-1，利用错位相减法求和.
n
【详解】（1）设数列{a }的公差为d，
n
因为a 是a ，a 的等比中项，则a2=a a ，
2 1 4 2 1 4
即(a +d) 2=a (a +3d)，且d≠0，
1 1 1
整理得d=a ①，
1
d
又因为S =12a + ×12×11=78，整理得6a +33d=39②
12 1 2 1
由①②解得，a =1，d=1，
1
所以a =1+(n-1)=n.
n
（2）由（1）知，b =a ×3n-1=(2n-1)×3n-1，
n 2n-1
则T =1×30+3×3+5×32+⋅⋅⋅+(2n-1)×3n-1 ，
n
可得3T =1×31+3×32+5×33+⋅⋅⋅+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n ，
n
两式相减得-2T =1×30+2×31+2×32+2×33+⋅⋅⋅+2×3n-1-(2n-1)×3n
n
6(1-3n-1
)
=1+ -(2n-1)×3n =(2-2n)×3n-2，
1-3
所以T =(n-1)×3n+1.
n
{ 1}
9．在①3S +1=4a ；②a =1， S + 与{a }都是等比数列；③3S =4n-1，这三个条件中任选一个，
n n 1 n 3 n n
补充在下面的问题中，并作答．
已知数列{a }的前n项和为S ，且______．
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n(2)若b =(2n+2)a ，求数列{b }的前n项和T ．
n n n n
注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．
【答案】(1)a =4n-1
n
4
(3n+2)22n+1
(2)T =- +
n 9 9
【分析】（1）若选①或③，已知a 和S 的关系，求解a 即可；若选②设出公比求解即可；
n n n
（2）用错位相减法求数列的和即可.
【详解】（1）若选①：当n=1时，3S +1=4a ，解得a =1；
1 1 1
当n≥2时，3S +1=4a ，3S +1=4a ，
n n n-1 n-1
两式相减得：3a =4a -4a ，
n n n-1
a
即a =4a ，所以 n =4，
n n-1 a
n-1
所以数列{a }是以a =1为首项，4为公比的等比数列.
n 1
所以a =4n-1 .
n
若选②：{a }都是等比数列，设{a }的公比为：q，
n n
{ 1} ( 1) 2 ( 1)( 1)
因为 S + 是等比数列， S + = S + S + ，
n 3 2 3 1 3 3 3
即 ( 1+q+ 1) 2 = ( 1+ 1)( 1+q+q2+ 1) ，解得q=0（舍去）或q=4，
3 3 3
因为a =1，所以a =4n-1 .
1 n
若选③：当n=1时，3S =41-1，解得a =1；
1 1
当n≥2时，3S =4n-1，3S =4n-1-1，
n n-1
两式相减得：3a =4n-4n-1 ，所以3a =3×4n-1
n n
所以a =4n-1 ，当n=1时，符合a =1，
n 1故a =4n-1 .
n
（2）由（1）可知：a =4n-1，
n
所以b =(2n+2)a =(2n+2)⋅4n-1=(n+1)22n-1 ，
n n
所以数列{b }的前n项和为：
n
T =2×21+3×23+4×25+⋅⋅⋅+(n+1)22n-1 ，
n
4T =2×23+3×25+4×27+⋅⋅⋅+(n+1)22n+1 ，
n
两式相减得：-3T =2×21+23+25+27+⋅⋅⋅+22n-1-(n+1)22n+1 ，
n
所以-3T =2+21+23+25+27+⋅⋅⋅+22n-1-(n+1)22n+1 ，
n
21-22n-1×4
所以-3T =2+ -(n+1)22n+1，
n 1-4
4
(3n+2)22n+1
所以T =- + .
n 9 9
10．已知数列{a }是公差为3的等差数列，数列{b }是公比为2的等比数列，且满足
n n
a +a =b +b +b ,a +a =b +b ． 将数列{a }与{b }的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列
1 3 1 2 3 2 4 2 4 n n
{c }．
n
(1)证明：c =b ;
n 2n
(2)求数列{a c }的前n项和S ．
n n n
【答案】(1)证明见解析
(2)S =n4n+1
n
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出 ，得到 ， 的通项公式，进而判断出 是数列{
a ,b {a } {b } b
1 1 n n k+2a }的项，即可证明；（2）利用错位相减法求和.
n
【详解】（1）由a +a =b +b +b ，得2a +6=7b ，
1 3 1 2 3 1 1
由a +a =b +b ，得2a +12=10b ，
2 4 2 4 1 1
解得，a =4,b =2.
1 1
因为数列{a }的公差为3，数列{b }的公比为2，
n n
所以a =3n+1,b =2n
n n
b =2不是数列{a }的项，b =4是数列{a }的第1项．
1 n 2 n
设b =2k=3m+1，则
k
b =2k+1=2×2k=2(3m+1)=3×2m+2,
k+1
所以b 不是数列{a }的项．
k+1 n
因为❑
=2k+2=4×2k=4(3m+1)=3(2m+1)+1，
k+2
所以b 是数列{a }的项．
k+2 n
所以c =b
n 2n
（2）由（1）可知，C =b =4n,a c =(3n+1)4n．
n 2n n n
S =4×4+7×42+10×43+⋯+(3n+1)4n
n
4S =4×42+7×43+10×44+⋯+(3n+1)4n+
n
所以-3S =16+3(42+43+44+⋯+4n)-(3n+1)4n+1
n
=4+3(4+42+43+44+⋯+4n)-(3n+1)4n+1
4(1-4n)
=4+3× -(3n+1)4n+1
1-4
=4n+1-(3n+1)4n+1=-3n4n+1,
所以S =n4n+1 ．
n
11．设正项数列{a }的前n项和为S ，且a =1，当n≥2时，α =❑√S +❑√S ．
n n 1 n n n-1(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列{b }满足b =1，且b -b =2n-1 ⋅a ，求数列{b }的通项公式．
n 1 n+1 n n n
【答案】(1)a =2n-1
n
(2)b =(2n-5)⋅2n-1+4
n
【分析】（1）根据a =S -S 结合题意可得{❑√S }是以❑√S =1为首项，1为公差的等差数列，进而可得
n n n-1 n 1
{a }的通项公式；
n
（2）根据累加法与错位相减法求解即可.
【详解】（1）由a =❑√S +❑√S ，得S -S =❑√S +❑√S ，
n n n-1 n n-1 n n-1
因为S >0，所以❑√S -❑√S =1，
n n n-1
所以{❑√S }是以❑√S =1为首项，1为公差的等差数列，所以❑√S =1+(n-1)=n，
n 1 n
所以，当n≥2时，a =❑√S +❑√S =n+n-1=2n-1，
n n n-1
当n=1时，a =1也满足上式，
1
所以数列{a }的通项公式为a =2n-1．
n n
（2）由b -b =2n-1 ⋅a =(2n-1)⋅2n-1知：
n+1 n n
当n≥2时，b =b +(b -b )+(b -b )+⋯+(b -b )，
n 1 2 1 3 2 n n-1
=1+1×20+3×21+⋯+(2n-3)⋅2n-2①，
则2b =2+1×21+3×22+⋯+(2n-3)⋅2n-1 ②，
n
2×(2n-2-1)
由①-②得：-b =2(21+22+⋯+2n-2 )-(2n-3)⋅2n-1=2× -(2n-3)⋅2n-1，
n 2-1
化简得：b =(2n-5)⋅2n-1+4(n≥2)，
n当n=1时，b =1也满足上式，
1
所以数列{b }的通项公式为b =(2n-5)⋅2n-1+4．
n n
12．已知等比数列{a }的前n项和为S ，且S =a -2(n∈N* ).
n n n n+1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
{1 }
(2)在a 与a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列，求数列 的前n项和T ．
n n+1 n d n
n
【答案】(1)a =2n
n
n+3
(2)T =3- ．
n 2n
【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）S =a -2(n∈N* )，
n n+1
当n≥2时，S =a -2，
n-1 n
两式相减可得，a =2a (n≥2)，
n+1 n
故等比数列{a }的公比为2，
n
∵a =a +2=2a ，
2 1 1
∴a =2，
1
故数列{a }的通项公式为a =2n ．
n n
（2）由(1)得：a =2n，a =2n+1，
n n+1
1 n+1
故a =a +(n+1)d ，即 = ，
n+1 n n d 2n
n
1 1 1 1
T =2× +3× +4× +⋅⋅⋅+(n+1) ①，
n 2 22 23 2n
1 1 1 1 1
T =2× +3× +4× +⋅⋅⋅+(n+1)⋅ ②，
2 n 22 23 24 2n+1①-②得：
1 1
[1-( ) n-1 ]
1 1 1 1 1 1 4 2 1 3 n+3
T =2× +( + +⋅⋅⋅+ )-(n+1)⋅ =1+ -(n+1)⋅ = - ，
2 n 2 22 23 2n 2n+1 1 2n+1 2 2n+1
1-
2
n+3
故T =3- ．
n 2n
13．已知数列{a }的前n项和为S ，且S +a =1.
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
( 1 )
(2)设b =a ⋅ 2log -1 ，求数列{b }的前n项和T .
n n 2a n n
n
1
【答案】(1)a =
n 2n
2n+3
(2)T =3-
n 2n
【分析】（1）由a 与S 的关系即可求解；
n n
（2）求出数列{b }的通项公式后用错位相减法求解.
n
【详解】（1）因为S +a =1，
n n
所以当n≥2时，a =S -S =1-a -(1-a )，所以2a =a ，
n n n-1 n n-1 n n-1
1
又当n=1时，2a =1，解得a = ，
1 1 2
a 1
所以a ≠0，所以 n = ，
n a 2
n-1
1 1
所以{a }是首项为 ､公比为 的等比数列，
n 2 2
1
所以{a }的通项公式为a = .
n n 2n( 1 ) 2n-1
（2）由（1）知b =a ⋅ 2log -1 = ，
n n 2a 2n
n
1 3 5 2n-3 2n-1
所以T = + + +⋯+ + ，
n 2 22 23 2n-1 2n
1 1 3 2n-3 2n-1
所以 T = + +⋯+ + ，
2 n 22 23 2n 2n+1
两式相减，得
1( 1 )
1-
1 1 ( 1 1 ) 2n-1 1 4 2n-1 2n-1 3 2n+3
T = +2 +⋯+ - = +2× - = - ，
2 n 2 22 2n 2n+1 2 1 2n+1 2 2n+1
1-
2
2n+3
所以T =3-
.
n 2n
14．在数列{a }中，a =1，a -a =2n(n∈N*)．
n 1 n+1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若b =na ，求数列{b }的前n项和S ．
n n n n
【答案】(1)a =2n-1
n
n2+n-4
(2)S =(n-1)⋅2n+1-
n 2
【分析】（1）由a -a =2n，结合a =a +(a -a )+(a -a )⋯+(a -a )，利用等比数列的求和公
n+1 n n 1 2 1 2 1 n n-1
式，即可求解；
（2）由（1）得到b =na =n⋅2n-n，结合等差、等比数的求和公式，以及乘公比错位相减法求和，即可
n n
求解.
【详解】（1）解：因为数列{a }满足a =1且a -a =2n，
n 1 n+1 n
当n≥2时，可得a =a +(a -a )+(a -a )⋯+(a -a )=1+(2+22+⋯+2n-1 )
n 1 2 1 2 1 n n-12⋅(1-2n-1
)
=1+ =2n-1，
1-2
当n=1时，a =1适合上式，所以数列{a }的通项公式为a =2n-1.
1 n n
（2）解：由（1）知a =2n-1，可得b =na =n⋅2n-n，
n n n
所以S =b +b +⋯+b =1×21-1+2×22-2+⋯+n⋅2n-n
n 1 2 n
=(1×21+2×22+⋯+n⋅2n )-(1+2+⋯+n)，
设T =1×21+2×22+⋯+n⋅2n ，
n
则2T =1×22+2×23+⋯+n⋅2n+1 ，
n
2(1-2n
)
两式相减得-T =21+22+23+⋯+2n-n⋅2n+1= -n⋅2n+1=(1-n)⋅2n+1-2，
n 1-2
所以T =(n-1)⋅2n+1+2，
n
n(n+1)
又由1+2+⋯+n= ，
2
n(n+1) n2+n-4
所以S =(n-1)⋅2n+1+2- =(n-1)⋅2n+1-
n 2 2
15．已知数列{a }和等差数列{b }满足a =1，a =2，a =6，且当n≥2时，log a =1+b ·log 3.
n n 1 2 3 2 n n 2
(1)求数列{a }的通项a ；
n n
(2)求数列{na }的前n项和T .
n n
【答案】(1)a =¿
n
(2n-1)⋅3n-1+1
(2)T =
n 2
【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式以及对数函数的性质即可求解；（2）根据乘公比错位相减
法即可求解.
【详解】（1）设等差数列{b }的公差为d，
n由log a =1+b ·log 3=log 2+log 3b n=log (2·3b n)得：a =2·3b n(n≥2)，
2 n n 2 2 2 2 n
由a =2，得：b =0，
2 2
由a =6，得：b =1，
3 3
所以：d=b -b =1,b =b -d=-1，
3 2 1 2
所以：b =-1+(n-1)×1=n-2
n
所以：当n≥2时，a =2·3n-2 ，
n
又因为a =1不满足a =2⋅3n-2 ，
1 n
所以：a =¿.
n
（2）T =a +2a +3a +⋯+na ，
n 1 2 3 n
当n=1时，T =1；
1
当n≥2时，T =1+4⋅30+6⋅31+⋅⋅⋅+2n⋅3n-2 ，①
n
3T =3+4⋅31+6⋅32+⋅⋅⋅+2n⋅3n-1 ，②
n
①-②得：-2T =2+2(31+32+⋅⋅⋅+3n-2)-2n⋅3n-1
n
3(1-3n-2)
=2+2⋅ -2n⋅3n-1
1-3
=-1+(1-2n)⋅3n-1，
(2n-1)⋅3n-1+1
所以：T = (n≥2)，
n 2
(2n-1)⋅3n-1+1
又T =1也满足T = ，
1 n 2
(2n-1)⋅3n-1+1
综上：T = (n∈N*).
n 2
16．已知等比数列{a }的公比q>1，若a +a +a =14，且a ，a +1，a 分别是等差数列{b }第1，3，5
n 2 3 4 2 3 4 n
项．
(1)求数列{a }和{b }的通项公式；
n n2a b
(2)若c = n + n，求数列{c }的前n项和S ．
n (a -1)(a -1) a n n
n+1 n+2 n
3 1
【答案】(1)a =2n-1；b = n+
n n 2 2
1 3n+7
(2)8- -
2n+1-1 2n
【分析】（1）先列方程组求出数列{a }的首项和公比，从而得到数列{a }的通项公式，再求出{b }的首项
n n n
和公差，从而求出{b }的通项公式.
n
（2）分别用裂项相消法和错位相减法求解.
【详解】（1）因为a ，a +1，a 分别是等差数列{b }的第1，3，5项，所以2(a +1)=a +a ，
2 3 4 n 3 2 4
又a +a +a =14，所以得a =4，所以a q2=4且a +a =a q+a q3=10，
2 3 4 3 1 2 4 1 1
由q>1可解得q=2，a =1，所以a =2n-1 ；
1 n
b -b 3
又b =a =2，b =a +1=5，故等差数列{b }的公差d= 3 1= ，
1 2 3 3 n 2 2
3 3 1
所以b =2+(n-1)⋅ = n+ .
n 2 2 2
2n 3n+1
（2）由（1）知c = + ，
n (2n-1)(2n+1-1) 2n
2n 3n+1
令d = ，e = ，设数列{d }的前n项和为A ，数列{e }的前n项和为B ，则
n (2n-1)(2n+1-1) n 2n n n n n
S =A +B
n n n
2n 1 1
因为d = = - ，
n (2n-1)(2n+1-1) 2n-1 2n+1-1
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1
所以A = - + - +⋯+ - =1- ，
n 2-1 22-1 22-1 23-1 2n-1 2n+1-1 2n+1-14 7 10 3n-2 3n+1
因为B = + + +⋯+ + ，
n 21 22 23 2n-1 2n
1 4 7 10 3n-2 3n+1
所以 B = + + +⋯+ + ，
2 n 22 23 24 2n 2n+1
1 [ (1) n-1]
1-
两式相减，得 1 2 B n =2+ 2 3 2 + 2 3 3 +⋯+ 2n 3 -1 + 2 3 n - 3 2 n n + +1 1 =2+3× 22 1 2 - 3 2 n n + +1 1 = 7 2 - 3 2 n n + +1 7 ，
1-
2
3n+7
所以B =7- ，
n 2n
1 3n+7 1 3n+7
所以S =1- +7- =8- - ．
n 2n+1-1 2n 2n+1-1 2n
17．已知数列{a }的前n项和为S ，请从以下三个条件中选择一个完成解答.
n n
①数列{a }是首项为2的单调递减的等比数列，且8a ,9a ,9a 成等差数列；
n 1 2 3
②S =6-2a ；
n n
③a +3a +32a +⋯+3n-1a =2n+1-2.
1 2 3 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
{na }
(2)求数列 n 的前n项和T .
3 n
(2) n-1
【答案】(1)a =2×
n 3
2n+1
(2)T =6-(n+3)×
n 3n
【分析】（1）若选择①，利用等差中项和等比数列的通项公式列式求出公比，即可得a ；若选择②，根
n
据a =S -S (n≥2)，即可求出a ；若选择③，利用两式相减可求出a ；
n n n-1 n n
（2）根据错位相减法可求出结果.
4 2
【详解】（1）若选择①，设公比为q，则18a =8a +9a ，即9q2-18q+8=0，解得q= 或 ，
2 1 3 3 32 (2) n-1 (2) n-1
又数列{a }单调递减，故q= ，此时a =a ⋅ =2× ；
n 3 n 1 3 3
若选择②，则当n=1时，a =S =6-2a ，即a =2，
1 1 1 1
2
当n≥2时，a =S -S =(6-2a )-(6-2a )，即a = a ，
n n n-1 n n-1 n 3 n-1
(2) n-1 (2) n-1
故a =a ⋅ =2× ；
n 1 3 3
若选择③，n≥2时，则
3n-1a =(a +3a +⋯+3n-1a )-(a +3a +⋯+3n-2a )=(2n+1-2)-(2n-2)=2n,a =2×
(2) n-1
；
n 1 2 n 1 2 n-1 n 3
(2) n-1
当n=1时，a =2符合上式，即a =2× .
1 n 3
（2）
na
n=n×
(2) n
，则T =1×
2
+2×
(2) 2
+⋯+n×
(2) n
，
3 3 n 3 3 3
2 (2) 2 (2) n (2) n+1
则 T =1× +⋯+(n-1)× +n× ，
3 n 3 3 3
2 2 n
(1-( ) )
1 2 (2) 2 (2) n (2) n+1 3 3 2 n+1 2 n
两式相减得 T = + +⋯+ -n× = -n×( ) =2(1-( ) )
3 n 3 3 3 3 2 3 3
1-
3
2 n+1
-n×( ) ，
3
2n+1
从而有T =6-(n+3)× .
n 3n
a 1
18．已知数列{a }满足a =1， n+1=1+ ．
n 1 3a n
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列{a }的前n项和S ．
n n
【答案】(1)a =n×3n-1
n
(2n-1)×3n+1
(2)S =
n 4{a } a
【分析】（1）利用递推式得出 n 是以1为首项，3为公比的等比数列，求出 n=3n-1，进而求解a 即可.
n n n
（2）利用错位相减法求解数列前n项和即可.
a 1 a a
【详解】（1）由 n+1=1+ ，得 n+1 =3× n，
3a n n+1 n
n
a {a }
又 1=1，∴ n 是以1为首项，3为公比的等比数列，
1 n
a
∴
n=3n-1，a =n×3n-1
，
n n
即数列{a }的通项公式为a =n×3n-1 .
n n
（2）由（1）知，a =n×3n-1，
n
则S =1×30+2×31+⋅⋅⋅+n×3n-1 ，①
n
①×3得3S =1×31+2×32+⋅⋅⋅+n×3n ，②
n
①－②得-2S =1+31+32+⋅⋅⋅+3n-1-n×3n
n
1-3n 3n-1
= -n×3n= -n×3n，
1-3 2
(2n-1)×3n+1
故S = ．
n 4
1 1 2
19．设各项都为正数的数列{a }的前n项和为S ，且a =1， - = ．
n n 1 a a 4n2-1
n n+1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设函数f (x)=x⋅2x-1，且b =f (a )，求数列{b }的前n项和T ．
n n n n
【答案】(1)a =2n-1，n∈N*；
n
(6n-5)⋅4n+5
(2)T = .
n 9【分析】（1）由递推关系，根据累加法求数列{a }的通项公式；
n
（2）由条件可得b =(2n-1)⋅4n-1，利用错位相减法求数列{b }的前n项和T .
n n n
1 1 2 1 1 2 1 1
【详解】（1）由 - = ，可得 - = = - ，
a a 4n2-1 a a (2n-1)(2n+1) 2n-1 2n+1
n n+1 n n+1
1 1 1 1
当n≥2时， - = - ，
a a 2n-3 2n-1
n-1 n
1 1 1 1 1 1 1
- = - ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅, - =1-
a a 2n-5 2n-3 a a 3
n-2 n-1 1 2
1 1 1
以上各式分别相加得 - =1- ，又a =1，
a a 2n-1 1
1 n
所以当n≥2时，a =2n-1，
n
经检验a =1符合a =2n-1，
1 n
所以a =2n-1，n∈N*；
n
（2）b =f (a )=f (2n-1)=(2n-1)⋅4n-1 ，
n n
T =1×40+3×41+5×42+⋅⋅⋅+(2n-3)⋅4n-2+(2n-1)⋅4n-1 ，
n
4T =1×41+3×42+⋅⋅⋅+(2n-3)⋅4n-1+(2n-1)⋅4n ，
n
两式相减得：
-3T =1+2×41+2×42+⋅⋅⋅+2×4n-1-(2n-1)⋅4n ，
n
2×41(1-4n-1)
所以-3T =1+ -(2n-1)⋅4n，
n 1-4
故-3T =1+ 2 ×4n- 8 -(2n-1)⋅4n=- 5 - ( 2n- 5) ⋅4n ，
n 3 3 3 3
(6n-5)⋅4n+5
所以T = .
n 9
20．已知数列{a }的前n项和S 满足S =2n2-n.
n n n
(1)求数列{a }的通项公式；
na +1
(2)令 b =a ⋅2 n 2 ，求数列{b n }的前n项和T n .
n n
【答案】(1)a =4n-3
n
(2)T =
26
+
(2n
-
13)
4n+1
n 9 3 18
【分析】（1）根据S =2n2-n，利用数列通项和前n项和的关系求解；
n
a +1
（2）由（1）得到b =a ⋅2 n 2 = ( 2n- 3) 4n，再利用错位相减法求解.
n n 2
【详解】（1）解：当n=1时，a =1，
1
当n≥2时，由 S =2n2-n，
n
得S =2(n-1) 2-(n-1)，
n-1
两式相减得a =4n-3，
n
又a =1适合上式，
1
所以a =4n-3；
n
a +1
（2）由（1）知：b =a ⋅2 n 2 = ( 2n- 3) 4n，
n n 2
所以T =b +b +...+b ，
n 1 2 n
= 1 41+ 5 42+ 9 43+...+ ( 2n- 3) 4n ，
2 2 2 2
则4T = 1 42+ 5 43+ 9 44+...+ ( 2n- 3) 4n+1 ，
n 2 2 2 2
两式相减得-3T =2+2(42+43+...+4n)+...- ( 2n- 3) 4n+1 ，
n 2
=2+2
(42(1-4n-1))
- ( 2n- 3) 4n+1，
1-4 2
=- 26 - ( 2n- 13) 4n+1 ，
3 6
所以T =
26
+
(2n
-
13)
4n+1 .
n 9 3 18
