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第 04 讲 五种裂项相消法求数列前 n 项和的方法
考法呈现
考法一：分式型裂项
例题分析
【例 1】已知在等差数列 中， ， ．
{a } a +a =18 a =15
n 1 5 6
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列{ 1 }的前 项和 ．
n S
(2n+1)a n
n
满分秘籍利用裂项相消法求和的注意事项
（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能是前面剩两项，后面也剩两项，也有
可能是间隔开的项剩下，一般来说是对称的。
（2）将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误。
（3）掌握常见的分式型裂项相消的公式：
1 1 1 1 1 1 1 1
公式一： = ( - )；公式二： = ( - )
n(n+k) k n n+k （2n-1）(2n+1) 2 2n-1 2n+1
1 1 1 1
公式三： = [ - ]
n(n+1)（n+2） 2 n(n+1) (n+1)(n+2)
变式训练
【变式1-1】记数列 的前n项和为 ，对任意 ，有 ．
{a } S n∈N* S =(n+1)(a -n)
n n n n
(1)证明： 为等差数列；
{a }
n
(2)求数列{ 1 }的前n项和．
a a
n n+1
【变式1-2】记S 为数列{a }的前n项和．
n n
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{a }是等差数列；
n
①数列{S }是等差数列；② n(a +1)
n S = n (n∈N*)
n n 2
(2)若数列 为等差数列，且 ， ，求数列{ n }的前 项和 ．
{a } a =1 a =5 n T
n 1 3 (n+2)S n
n【变式1-3】已知等差数列 满足 ， ，等比数列 满足 ， ．
{a } a =4 2a -a =7 {b } b =4 b +b =8(b +b )
n 2 4 5 n 3 4 5 1 2
(1)求 与 的通项公式；
{a } {b }
n n
3
(2)若b >0，设c = +b ，求{c }的前n项和S ．
n n a a n n n
n n+1
【变式1-4】已知数列 是公差为 的等差数列，且 ，若16和26分别是 中的项.
{a } d a =1 {a }
n 1 n
(1)当d取最大值时，求通项a ；
n
(2)在（1）的条件下，求数列{ 1 }的前n项和 .
S
(5n+1)a n
n
考法二：根式型裂项
例题分析
【例2】已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
{a } n S a +a =20 S =27a
n n 4 7 9 2
(1)求 的通项公式；
{a }
n
2
(2)设b = ，数列{b }的前n项和为T ，证明：当n≥3时，2T >❑√a ．
n ❑√a +❑√a n n n n+1
n+2 n满分秘籍
根式型裂项常见公式：
1 1
公式一：
= (❑√a-❑√b)
❑√a+❑√b a-b
1
公式二：
=❑√n+1-❑√n)
❑√n+❑√n+1
变式训练
【变式2-1】已知等比数列 的前 项和为 .
{a } n S ,a =S +2(n∈N*)
n n n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)在a 与a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为T ，若不等式
n n+1 n
3n
(-1) nλ<2- 对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
T
n
(3)记 b = 1 ，求证：b 1 -b 2+ b 2 -b 3+⋯+ b n -b n+1<❑√2(n∈N*) .
n log a2 ❑√b ❑√b ❑√b
2 n 1 2 n
【变式2-2】已知正项数列 满足 ，a √ 1.
{a } a =1 n+1=❑1+
n 1 a n
n
(1)求证：数列 为等差数列；
{a2}
n
(2)设 1 ，求数列 的前n项和 .
b = {b } T
n a2a +a a2 n n
n n+1 n n+11
【变式2-3】在正项数列{a }中，a = ，22n ⋅a2=1+22n-2 ⋅a2 (n≥2)．
n 1 2 n n-1
(1)求a ；
n
(2)证明： n ( ❑√i+1) 1．
∑ a - <
i 2i+1 2
i=1
1 1
【变式2-4】在①b = ；②b = ；③b =2na ，这三个条件中任选一个补充在下面横线
n ❑√a +❑√a n a a n n
n n+1 n n+1
上，并解答问题．
3 3
已知数列{a }的前n项和S =na - n2+ n．
n n n 2 2
(1)证明：数列 是等差数列；
{a }
n
(2)若 ，设___________，求数列 的前n项和 ．
a =2 {b } T
1 n n
考法三：指数型裂项
例题分析
【例3】已知 是数列 的前 项和，且 ．
S {a } n S =2n+1-2(n∈N*)
n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n(2)若
2n
，求数列 的前 项和 ．
b = {b } n T
n (a -1)(a -1) n n
n n+1
满分秘籍
指数型裂项常见公式
n∙2n-1 1 1
=
公式一： -
（2n-1+1）（2n+1） 2n-1+1 2n+1
n∙2n-1 1 1
公式二：
=
-
（2n-1-1）（2n-1） 2n-1-1 2n-1
n∙2n+1 2n+2 2n+1
公式三： = -
（n+1）（n+2） n+2 n+1
变式训练
【变式3-1】已知数列 的前n项和为 ，且 ．
{a } S 2S =3a -1
n n n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)若
3n
，求数列 的前n项和 ．
b = {b } T
n (a +1)(a +1) n n
n n+1
3
【变式3-2】已知数列{a }的前n项和为S ，满足S = a -1.
n n n 2 n(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)记 a ，求数列 的前 项和 .
b = n {b } n T
n S ⋅S n n
n n+1
【变式3-3】已知 为数列 的前 项和， ．
S {a } n a =2,S =a -3n-2
n n 1 n n+1
(1)求数列 的通项公式 ；
{a } a
n n
(2)设 2n ，记 的前 项和为 ，证明： 1．
b = {b } n T T <
n a ⋅a n n n 5
n n+1
【变式3-4】已知数列 的前 项和为 ， ，S 3n+1-1， .
{a } n S a =3 n+1= n∈N*
n n 1 S 3n-1
n
(1)求 ， 及 的通项公式；
S S {a }
2 3 n
a
(2)设 b = n+1 ，数列 {b } 的前 n 项和为 T ，若 T ≤λ(a -1) 对任意的 n∈N* 恒成立，求 λ 的最
n (a -1)(a -1) n n n n
n n+1
小值.
考法四：对数型裂项
例题分析【例4】已知数列 满足
{a } a =1,na =(n+1)a +n(n+1).
n 1 n+1 n
(1)证明：数列{a }为等差数列：
n
n
(2)设数列 满足 a ，求数列 的前 项和 .
{b } b =ln n+1 {b } n S
n n a n n
n
满分秘籍
对数型裂项常见公式
a
log n+1=log a - log a
a a a n+1 a n
n
变式训练
【变式4-1】已知数列 的首项为2， 且满足 （ 且 ），
{a } a >0 a2-a a -2a2 =0 n≥2 n∈N*
n n n n n-1 n-1
b =log a ．
n 2 n
(1)求 的通项公式；
{a }
n(2)设 b ，求 的前n项和 ．
c =log n+1 {c } S
n 2 b n n
n
【变式4-2】已知 为等差数列，前n项和为 ， ， 是首项为2的等比数列，且公比大于
{a } S (n∈N*) {b }
n n n
0，b +b =12，b =a +a ，b =S -2.
2 3 3 3 5 6 11
(1)求 和 的通项公式；
{a } {b }
n n
(2)设c =0，c -c =ln ( 1+ 1) ，n∈N*，求c ；
1 n+1 n n n
(3)设 ，其中 .求 的前2n项和 .
d =¿ k∈N* {d } T
n n 2n
【变式4-3】已知数列 {a } ， {b } ，已知对于任意 n∈N* ，都有 a =❑√3 b n +1 ，数列 {b } 是等差数列， b =1 ，
n n n n 1
且b +5，b +1，b -3成等比数列．
2 4 6
(1)求数列 和 的通项公式；
{a } {b }
n n
(2)记c =¿．
n
n
（ⅰ）求 2 ；
∑
log c ⋅log c
i=1 3 2i-1 3 2i+1
2n
（ⅱ）求 ．
∑c c
k k+1
k=1【变式4-4】已知数列 是首项为2的等差数列， 是公比为2的等比数列，且满足 ， ．
{p } {q } p =q p =q
n n 3 2 7 3
设数列 满足 ．
{a } a =p ⋅q
n n n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)在① n ；② a ；③ (n+3)⋅2n这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加
b = a b =log n b =
n n+1 n n 4n+2 n a a
n+1 n
以解答．已知数列 满足______，求 的前n项和 ．
{b } {b } T
n n n
考法五：三角函数型裂项
例题分析
【例5】已知2n＋2个数排列构成以 为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，
q (q >1)
n n
设a =log q ．
n 2 n
(1)证明：数列{1 }是等差数列；
a
n
π π
(2)设b =tan tan ，求数列{b }的前100项和S ．
n a a n 100
n n+1
满分秘籍三角函数型裂项常见公式
sin1°
公式一：
=tan（n+1） °-tann°
cosn°cos（n+1） °
tan（n+1） °-tann°
公式二：tan（n+1） °∙tann°=
tan1°
变式训练
【变式5-1】已知数列 中， ， 1，且 (n-1)a ．
{a } a =1 a = a = n (n=2,3,4,⋅⋅⋅)
n 1 2 4 n+1 n-a
n
1
(1)设b = -1(n∈N* )，试用b 表示b ，并求{b }的通项公式；
n a n n+1 n
n+1
sin3
(2)设c = (n∈N* )，求数列{c }的前n项和S ．
n cosb cosb n n
n n+1
【变式5-2】在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积
记作T ，再令a =lgT n≥1.
n n n,
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设b =tana ⋅tana ，求数列{b }的前n项和S .
n n n+1 n n
【变式5-3】已知数列 中， ， ，且 .
{a } a =2 a =4 a =3a -2a (n∈N*)
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)设 ，证明数列 是常数列；
b =a -2a {b }
n n+1 n n(2)求数列 的通项公式，并求数列 的的前 项和；
{a } {a } n
n n
( nπ nπ)
(3)设c = sin +cos ⋅log a ，求数列{c }的前2022项的和.
n 2 2 2 n n
【变式5-4】在正项等比数列 中，已知 ， .
{a } a +a =10 a +a =40
n 1 3 3 5
（1）求数列 的通项公式；
{a }
n
{ sin1° }
（2）令 b =log a ，求数列 的前 n 项和 S (n<90) .
n 2 n cosb ∘cos(b -1)∘ n
n n
真题专练
1．设数列
{a }
的前
n
项和为
S
，已知
a =1
，且数列{
3-
2S
n
}是公比为1的等比数列.
n n 1 a 3
n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)若 ，求其前 项和
b =(2n+1)3n-1 n T
n n
1
2．已知数列{a }的前n项和为S ,S = (n+2)a ，且a =1.
n n n 3 n 1(1)求证：数列{a }是等差数列；
n
n
(2)求数列{1 }的前 项和 .
n T
a n
n
3．在等差数列 中， ，其前 项和 满足 .
{a } a =4 n S S =n2+λn(λ∈R)
n 2 n n
(1)求实数λ的值，并求数列{a }的通项公式；
n
1
(2)若数列{ +b }是首项为λ，公比为2λ的等比数列，求证：数列{b }的前n项和T <2n.
S n n n
n
4．已知公差为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 成等比数列.
{a } n S ,a =3 a ,a ,2a +3
n n 2 1 3 6
(1)求a 和S .
n n
(2)设 √ 1 ，求数列 的前 项和 .
b =❑ {b } n T
n S S n n
n n+1
5．已知数列 的前n项和为 ，数列 的前n项积为 ，且满足 ．
{a } S (S ≠0) {S } T S +T =S ⋅T (n∈N*)
n n n n n n n n n
(1)求证：{ 1 }为等差数列；
S -1
n(2)记 1 ，求数列 的前2023项的和M．
b = {b }
n n2S n
n
6．已知数列 满足 a ．
{a } a =1, n =1+2a
n 1 a n
n+1
(1)证明{1 }为等差数列，并 的通项公式；
{a }
a n
n
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
c =4n2a a {c } n T
n n n+1 n n
7．已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 1 a -1.
{a } n T = n
n n T 2a
n n
(1)证明：数列 为等差数列；
{T }
n
1
(2)设b = ，求数列{b }的前n项和S .
n T T n n
n n+1
8．已知数列 的前 项和为 ，且 ，2S .
{a } n S a =1 n=n+1
n n 1 a
n
(1)求 的通项公式；
{a }
n(2)记数列{ log a n+1 }的前 n 项和为 T ，求集合 ¿ 中元素的个数.
2 a n
n
9．已知等差数列 ，首项 ，其前 项和为 ，点 ( S )在斜率为1的直线上．
{a } a =1 n S P n, n
n 1 n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1 1 1
(2)若b = ,T 为数列{b }的前n项和，求证： ≤T < ．
n a a n n 3 n 2
n n+1
10．设数列 的前 项和为 ，且 n(6+a ) .
{a } n S S = n ,a =12
n n n 2 4
(1)求a ；
n
1
(2)记b = ，数列{b }的前n项和为T ，求T .
n na n n n
n
11．已知数列 的首项 ，且满足 .
{a } a =1 3a -a =2×3-n
n 1 n+1 n
(1)求证：数列 是等差数列；
{3n ⋅a }
n
(2)若数列 满足 ，求数列{1 }的前 项和 .
{b } b =9n ⋅a a n S
n n n n+1 b n
n12．在公差不为0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列．
{a } a =5 a a a
n 4 2 3 6
(1)求 的通项公式和前n项和 ；
{a } S
n n
1
(2)设b = ，求数列{b }的前n项和公式T ．
n a a n n
n n+1
13．已知正项数列 满足 ， .
{a } a =1 a =2a +1
n 1 n+1 n
(1)证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
{a +1} {a }
n n
(2)设 a +1 ，求数列 的前 项和 .
b = n {b } n T
n a ⋅a n n
n n+1
14．已知数列 ．
{a },a =1,na -(n+1)a =1
n 1 n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
π
(2)若数列{b }满足b
=sin(
a
)+cos(πa
)，求数列{b }的前2n项和T
n n 2 n+1 n n 2n15．已知数列 的前 项和为 ，且 ．
{a } n S ,a =3 S +S =2a -3
n n 1 n n+1 n+1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
2
(2)已知_________，T 是{b }的前n项和，证明：T < ．
n n n 3
从①
2⋅3n
，②
4n+6
中选取一个补充至题中并完成问题．
b = b =
n (a -1)(a -1) n n(n+1)a
n n+1 n+1
16．已知等差数列 的前 项和为 .
{a } n S ,a +a =8,S =36
n n 2 3 6
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1
(2)若数列{c }满足c -c = (n∈N*),c =1，求数列{c }的通项公式.
n n+1 n a a 1 n
n n+1
17．已知数列 的前 项和为 ，且a +1 2.
{a } n S n =
n n S n
n
(1)证明：数列 是等差数列；
{a }
n
(2)若 ， ， 成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列 的前 项和 .（注：如果选择
a +1 a +1 a {b } n T
2 3 5 n n
多个条件分别解答，按第一个解答计分）
① b = n ；② b = 1 ；③ b = 2n+3 .
n a2a2 n ❑√a +❑√a n a a 2n+1
n n+1 n n+1 n n+118．已知数列 的前n项和为 ，且 .
{a } S 2S =3n-2n-1
n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)若 2⋅3n ，求数列 的前n项和 .
b = {b } T
n a a n n
n+1 n+2
19．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，等差数列 中， ， ．
{a } S S =2a -2 {b } b =5 b =9
n n n n n 3 5
(1)求数列 ， 的通项公式；
{a } {b }
n n
(2)记 ， c +1 ，求数列 的前n项和 ．
c =b d = n {d } T
n a n n c c n n
n n+1
20．记等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ．
{a } S a =7 S =45
n n 2 5
(1)求 的通项公式；
{a }
n
1 2
(2)设b = ，数列{b }的前n项和为T ，若T = ，求m的值．
n a a n n m 25
n n+1
