第 07 讲 构造法求数列通项的六种方法
考法一：a ＝pa ＋q(p≠0，1，q≠0）
n＋1 n
例题分析
【例1】
已知各项均为正数的数列{a }满足a =1,a =2a +3（正整数n≥2)
n 1 n n-1
(1)求证：数列{a +3}是等比数列；
n
(2)求数列{a }的前n项和S .
n n
【详解】（1）证明：
设a +t=2（a +t）
n n-1
则a =2a +t
n n-1
因为a =2a +3
n n-1
所以t=3
即a +3=2（a +3）
n n-1
a +3
所以 n =2（正整数n≥2）
a +3
n-1
又a +3=4≠0，
1
所以数列{a +3}是以a +3=4为首项、以2为公比的等比数列.
n 1
（2）由（1）a +3=4×2n-1=2n+1，则a =2n+1-3(n∈N*)，
n n
所以S =a +a +⋅⋅⋅+a =22-3+23-3+⋅⋅⋅+2n+1-3
n 1 2 n
=(22+23+⋅⋅⋅+2n+1)-3n
4⋅(1-2n)
= -3n=2n+2-3n-4.
1-2满分秘籍
遇到 a ＝ p a ＋ q(p≠ 0 ， 1 ， q≠ 0 ）的形式
n＋1 n
第一步构造出： a ＋ t ＝ p （ a ＋ t ）的形式；
n＋1 n
第二步利用待定系数求出 t 的值。
则数列 { a ＋ t } 为公比为 p 的等比数列。
n
变式训练
【变式1-1】已知数列{a }满足a =2a -1,a +a =a ．
n n+1 n 1 2 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)若b =2n-1，数列{c }满足c =b ,c =a ,c =a ,c =b ，求{c }的前4n+1项和
n n 4n-3 2n-1 4n-2 2n-1 4n-1 2n 4n 2n n
S ．
4n+1
【答案】(1)a =2n-1+1
n
(2)S =4n2+6n+4n
4n+1
【分析】（1）根据递推关系解方程得a =2，进而证明数列{a -1}是等比数列，公比为2，首项为1，再根
1 n
据等比数列通项公式求解即可；
（2）由题知c +c +c +c =8n-2+3⋅4n-1，进而令d =c +c +c +c ，记数列
4n-3 4n-2 4n-1 4n n 4n-3 4n-2 4n-1 4n
{d }的前n项和为T ，则S 为T 与c 的和，再根据等差数列与等比数列求和公式求解即可.
n n 4n+1 n 4n+1
【详解】（1）解：数列{a }满足a =2a -1,a +a =a
n n+1 n 1 2 3
所以，¿，解得a =2,a =3,a =5，
1 2 3
a -1
由a =2a -1得a -1=2(a -1)，即 n+1 =2，
n+1 n n+1 n a -1
n所以，数列{a -1}是等比数列，公比为2，首项为1，
n
所以a -1=2n-1 ，即a =2n-1+1
n n
所以，{a }的通项公式为a =2n-1+1
n n
（2）解：因为b =2n-1，a =2n-1+1，
n n
所以c =b =2(2n-1)-1=4n-3，c =a =22n-2+1，c =a =22n-1+1，
4n-3 2n-1 4n-2 2n-1 4n-1 2n
c =b =4n-1，
4n 2n
所以，c +c +c +c =8n-2+3⋅22n-2=8n-2+3⋅4n-1 ，
4n-3 4n-2 4n-1 4n
令d =c +c +c +c =8n-2+3⋅4n-1 ，
n 4n-3 4n-2 4n-1 4n
设数列{d }的前n项和为T ，
n n
因为数列{8n-2}为等差数列，{3⋅4n-1}为等比数列，
n(6+8n-2) 1-4n
所以，T = +3× =4n2+2n+4n-1
n 2 1-4
因为数列{c }的前4n+1项和为T 与c 的和，c =c =4(n+1)-3=4n+1，
n n 4n+1 4n+1 4(n+1)-3
所以，S =T +c =4n+1+4n2+2n+4n-1=4n2+6n+4n .
4n+1 n 4n+1
【变式1-2】已知数列{a }满足a =1，a =3a +2(n≥2,n∈N*)．
n 1 n n-1
(1)求证：数列{a +1}是等比数列；
n
(2)若b =(2n+1)(a -a )，S 为数列{b }的前n项和，求S ．
n n+1 n n n n
【答案】(1)证明见解析
(2)S =4n⋅3n，n∈N*
na +1
n
【分析】（1）根据递推公式证明 为定值即可；
a +1
n-1
（2）先由（1）求得数列{a }的通项，从而可得数列{b }的的通项，再利用错位相减法求解即可.
n n
【详解】（1）因为a =3a +2(n≥2,n∈N*)，
n n-1
所以a +1=3(a +1)，
n n-1
又a +1=2，
1
所以{a +1}是以2为首项，以3为公比的等比数列；
n
（2）由（1）知a +1=2⋅3n-1，故a =2⋅3n-1-1，
n n
4
所以b =(2n+1)(2⋅3n-1-2⋅3n-1+1)= (2n+1)⋅3n ，
n 3
4
故S = [3×3+5×32+7×33+⋯+(2n+1)⋅3n] ，
n 3
4
则3S = [3×32+5×33+⋯+(2n-1)⋅3n+(2n+1)⋅3n+1] ，
n 3
4
两式相减得-2S = [3×3+2×32+2×33+⋯+2⋅3n-(2n+1)⋅3n+1]
n 3
4[ 6(1-3n) ]
= 3+ -(2n+1)3n+1
3 1-3
=-8n⋅3n，
所以S =4n⋅3n .
n
4 1
【变式1-3】在数列{a }中，a = ，4a =3a - ．
n 1 5 n+1 n 5
(1)求{a }的通项公式；
n(2)求数列{|a |}的前n项和S ．
n n
(3) n-1 1
【答案】(1)a = -
n 4 5
(2)S =¿
n
{ 1} 1 3 (3) n-1 1
【分析】（1）由题知数列 a + 是首项为a + =1，公比为 的等比数列，进而得a = - ；
n 5 1 5 4 n 4 5
(3) n-1 1
（2）由题知a = - 为单调递减数列，再根据a >0，a <0，分n≤6和n≥7两种情况讨论求解即可；
n 4 5 6 7
4 1
【详解】（1）解：因为在数列{a }中，a = ，4a =3a - ，
n 1 5 n+1 n 5
3 1
所以，a = a - ，
n+1 4 n 20
1 ( 1) 3( 1)
所以，等式两边同加上 得 a + = a + ，
5 n+1 5 4 n 5
4
因为，a =
1 5
{ 1} 1 3
所以，数列 a + 是首项为a + =1，公比为 的等比数列，
n 5 1 5 4
(3) n-1 1
所以，a = - ．
n 4 5
[ (3) n 1] [ (3) n-1 1] (3) n (3) n-1 (3) n-1 (3 ) 1 (3) n-1
（2）解：因为a -a = - - - = - = -1 =- × <0，
n+1 n 4 5 4 5 4 4 4 4 4 4
即a <a
n+1 n
(3) n-1 1
所以，a = - 为单调递减数列，
n 4 5
(3) 5 1 243 1 (3) 6 1 729 1
因为a = - = - >0，a = - = - <0，
6 4 5 1024 5 7 4 5 4096 5
所以，n<7时，a >0，n≥7时，a <0，
n n
(3) n
1-
记{a }的前n项和为T ，则T =
4
-
1
n=4-4×
(3) n
-
1
n，
n n n 3 5 4 5
1-
4(3) n
20-20× -n
所以，当n≤6时，a
n
>0，
S =T =4-4×
(3) n
-
1
n=
4 ；
n n 4 5 5
当n≥7时，a <0，T =a +a +⋯+a +a +⋯+a ，①
n n 1 2 6 7 n
S =a +a +⋯+a -a -⋯-a ，②
n 1 2 6 7 n
所以，①+②得：S +T =2T ，即
n n 6
(3) 6 (3) n (3) n (3) 6
40-40× -12 20-20× -n 8+20× +n-40×
4 4 4 4 ，
S =2T -T = - =
n 6 n 5 5 5
综上，S =¿
n
考法二：a ＝pa ＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
n＋1 n
例题分析
1
【例2】已知：a =1，n≥2时，a = a +2n-1，求{a }的通项公式．
1 n 2 n-1 n
3
【答案】a = +4n-6
n 2n-1
【分析】构造等比数列{a -4n+6}，即可由等比数列的性质求解.
n
1 1 1 1 1
【详解】设a +An+B= [a +A(n-1)+B]，所以a = a - An- A- B，
n 2 n-1 n 2 n-1 2 2 2
∴ ¿，解得：¿，
1
又 a -4+6=3，∴ {a -4n+6}是以3为首项， 为公比的等比数列，
1 n 2
∴ a -4n+6=3
(1) n-1
，∴ a =
3
+4n-6．
n 2 n 2n-1
满分秘籍先构造出a +An+B=p[a +A(n-1)+B] ，然后利用待定系数法求出 A 和 B 的值，即可判
n n-1
断出数列 {a +An+B } 为公比为 p 的等比数列。
n
变式训练
【变式2-1】已知数列{a }满足：a =1，a =2a +n-1．
n 1 n+1 n
（1）证明：数列{a +n}是等比数列并求数列{a }的前n项和为S ．
n n n
（2）设b =(2n-1)⋅(a +n)，求数列{b }的前n项和T ．
n n n n
n(1+n)
【答案】（1）证明见解析，S =2n+1-2- ；（2）T =(2n-3)⋅2n+1+6.
n 2 n
a +(n+1)
【分析】（1）要证数列{a +n}是等比数列，只需证明 n+1 等于同一个常数即可，根据
n a +n
n
a =2a +n-1构造即可得证；求出数列{a }的通项公式，利用分组求和法即可求出数列{a }的前n项和；
n+1 n n n
（2）求出数列{b }得通项公式，利用错位相减法即可求得数列{b }的前n项和T ．
n n n
【详解】（1）证明：因为a =2a +n-1，
n+1 n
a +(n+1)
所以a +(n+1)=2a +2n，即 n+1 =2，
n+1 n a +n
n
a +1=2，
1
所以数列{a +n}是以2为首项2为公比的等比数列，
n
则a +n=2⋅2n-1=2n ，故a =2n-n，
n n
所以S =(2+22+⋯+2n )-(1+2+⋯+n)
n
2⋅(1-2n ) n(1+n)
= -
1-2 2
n(1+n)
=2n+1-2-
；
2
（2）解：b =(2n-1)⋅(a +n)=(2n-1)⋅2n，
n n
则T =2+3×22+5×23+⋯+(2n-1)⋅2n ①
n2T = 22+3×23+5×24+⋯+(2n-3)⋅2n+(2n-1)⋅2n+1②
n
①-②得：-T =2+2×22+2×23+⋯+2×2n-(2n-1)⋅2n+1
n
=2×(2+22+⋯+2n )-2-(2n-1)⋅2n+1
=-(2n-3)⋅2n+1-6
所以T =(2n-3)⋅2n+1+6.
n
【变式2-2】设数列{a }满足a =2，a -2a =2-n(n∈N*)．
n 1 n n-1
(1)求证：{a -n}为等比数列，并求{a }的通项公式；
n n
(2)若b =(a -n)⋅n，求数列{b }的前n项和T ．
n n n n
【答案】(1)证明见解析，a =2n-1+n
n
(2)T =(n-1)×2n+1
n
【分析】（1）由递推公式可得a -n=2[a -(n-1)]，即可得到{a -n}是以1为首项，2为公比的等比数
n n-1 n
列，再根据等比数列的通项公式求出{a }的通项公式；
n
（2）由（1）可得b =n×2n-1，再利用错位相减法求和即可；
n
【详解】（1）解：因为a =2，a -2a =2-n(n∈N*)，
1 n n-1
所以a =2a +2-n，即a -n=2[a -(n-1)]
n n-1 n n-1
又a -1=2-1=1，所以{a -n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
1 n
所以a -n=1×2n-1 ，所以a =2n-1+n
n n
（2）解：由（1）可得b =(a -n)⋅n=n×2n-1 ，
n n所以T =1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n-1 ①，
n
所以2T =1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n ②，
n
①-②得-T =1+1×21+1×22+1×23+⋯+1×2n-1-n×2n
n
1-2n
即-T = -n×2n，所以T =(n-1)×2n+1；
n 1-2 n
【变式2-3】已知数列{a }中，a =1，满足a =2a +2n-1(n∈N*)，设S 为数列{a }的前n项和．
n 1 n+1 n n n
(1)证明：数列{a +2n+1}是等比数列；
n
(2)若不等式λ⋅2n+S +4>0对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
n
【答案】(1)证明见解析
(2)(-2,+∞)
【分析】（1）依题意可得a +2(n+1)+1=2(a +2n+1)，即可得到{a +2n+1}是以4为首项，公比为2
n+1 n n
的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）利用分组求和法求出S ，依题意可得λ⋅2n+2n+2-n2-2n-4+4>0对于任意正整数n恒成立，参变
n
n2+2n n(n+2)
分离可得λ> -4，令b = -4，求出(b ) ，即可得解.
2n n 2n n max
【详解】（1）因为a =2a +2n-1(n∈N*)，
n+1 n
所以a +2(n+1)+1=2(a +2n+1)，
n+1 n
所以{a +2n+1}是以a +2×1+1=4为首项，公比为2的等比数列，
n 1
所以a +2n+1=4×2n-1=2n+1 ，所以a =2n+1-2n-1．
n n
（2）因为a =2n+1-2n-1，
n所以S =a +a +⋯+a =(22-3)+(23-5)+⋯+[2n+1-(2n+1)]
n 1 2 n
22(1-2n) n(3+2n+1)
=(22+23+⋯+2n+1)-(3+5+7+⋯+2n+1) = - =2n+2-n2-2n-4，
1-2 2
若λ⋅2n+S +4>0对于∀n∈N*恒成立，即λ⋅2n+2n+2-n2-2n-4+4>0，
n
n2+2n
可得λ⋅2n>n2+2n-2n+2即λ> -4对于任意正整数n恒成立，
2n
[n2+2n ] n(n+2) 3-n2
所以λ> -4 ，令b = -4，则b -b = ，
2n n 2n n+1 n 2n+1
max
22+2×2
所以b <b >b >b >…，可得(b ) =b = -4=-2，所以λ>-2，
1 2 3 4 n max 2 22
所以λ的取值范围为(-2,+∞)．
考法三：a ＝pa ＋rqn
n＋1 n
例题分析
【例3-1】p=q
已知数列{a }的首项a =
1
，满足a =
1
a +
(1) n
(n∈N*).
n 1 2 n+1 2 n 2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b =2na ，将数列{b }分组：(b )，(b ,b )，(b ,b ,b )，(b ,b ,b ,b )，⋯，记第n组的和为c .
n n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
（i）求数列{c }的通项公式；
n
1 2 3 n 7
（ii）证明 + + +⋯+ < .
c c c c 4
1 2 3 n
(1) n
【答案】(1)a =(2n-1)
n 2(2)（i）c =n3；（ii）证明见解析
n
【分析】（1）把已知的式子a =
1
a +
(1) n
(n∈N*)变形，从而构造出一个等差数列{2na }，然后根据
n+1 2 n 2 n
等差数列的通项公式求出数列{2na }的通项公式，从而得出数列{a }的通项公式.
n n
（2）（i）先由（1）得出{b }的通项公式，然后根据分组找出分组规律，进而求出数列{c }的通项公式.
n n
{n } {n }
（ii）由（i）得出 的通项公式，然后根据该通项公式的特点进行放缩，从而求出数列 放缩后的
c c
n n
前n项和，从而证出结论.
【详解】（1）依题意2n+1a =2na +2，又2a =1，
n+1 n 1
∴数列{2na }是以1为首项，2为公差的等差数列，
n
∴2na =1+2(n-1)=2n-1，
n
(1) n
∴a =(2n-1) .
n 2
(1+2n-1)n
（2）（i）由（1）知b =2n-1.设{b }的前n项和为S ，则S = =n2 .
n n n n 2
n(n-1)
显然数列{b }分组后第n组有n项，前面n-1组共有 项，
n 2
(n(n+1)) 2 (n(n-1)) 2
∴当n≥2时，c =S -S = - =n3 ，
n n(n+1) n(n-1) 2 2
2 2
当n=1时，c =1，满足上式，
1
∴数列{c }的通项公式为c =n3 .
n n
n 1
（ii）∵ = ，
c n2
n
1 1 1( 1 1 )
∴当n≥2时， < = - .
n2 n2-1 2 n-1 n+11 7
当n=1时， =1< .
c 4
1
1 2 3 n 1( 1 1 1 1 1 1 1 )
当n≥2时， + + +⋯+ <1+ 1- + - +⋯+ - + -
c c c c 2 3 2 4 n-2 n n-1 n+1
1 2 3 n
1(3 1 1 ) 3 7
=1+ - - <1+ = ，
2 2 n n+1 4 4
1 2 3 n 7
故
+ + +⋯+ <
.
c c c c 4
1 2 3 n
p≠q
【例3-2】
已知数列{a }满足a =2a +4×3n-1 ，a =1，求数列{a }的通项公式．
n n+1 n 1 n
【答案】a =4×3n-1-3×2n-1
n
【分析】解法一：利用待定系数法可得a -4×3n=2(a -4×3n-1)，即可得到{a -4×3n-1}是首项为-3，
n+1 n n
公比为2的等比数列，从而求出其通项公式；
a 2 a 4
解法二：两边同时除以3n+1得 n+1= ⋅ n+ ，再利用构造法计算可得；
3n+1 3 3n 32
【详解】解法一：因为a =2a +4×3n-1 ，
n+1 n
设a +λ⋅3n=λ (a +λ⋅3n-1 )，
n+1 2 n
所以a =λ a +λλ ⋅3n-1-λ⋅3n=λ a +(λλ -3λ)⋅3n-1 ，
n+1 2 n 2 2 n 2
则¿，解得¿，
即a -4×3n=2(a -4×3n-1)，
n+1 n
则数列{a -4×3n-1}是首项为a -4×31-1=-3，公比为2的等比数列，
n 1
所以a -4×3n-1=-3×2n-1 ，即a =4×3n-1-3×2n-1 ；
n na 2 a 4
解法二：因为a =2a +4×3n-1 ，两边同时除以3n+1得 n+1= ⋅ n+ ，
n+1 n 3n+1 3 3n 32
所以 a n+1- 4 = 2 ⋅ ( a n- 4) ， a 1- 4 =-1，
3n+1 3 3 3n 3 3 3
{a 4} 2
所以 n- 是以-1为首项， 为公比的等比数列，
3n 3 3
所以
a
n-
4
=-
(2) n-1
，则
a
n=
4
-
(2) n-1
，所以a =4×3n-1-3×2n-1 .
3n 3 3 3n 3 3 n
满分秘籍
当 p=q 时，等式两边同时除以 p ，即可构造出一个等差数列。
当 p≠q 时，可设 a +λ⋅3n=λ (a +λ⋅3n-1 )，利用待定系数求出参数的值，即可构造出等
n+1 2 n
比数列。
变式训练
【变式3-1】已知数列{a }中,a =2,a -4a =2n+1,n∈N* ．
n 1 n+1 n
(1)求证:{a +2n}是等比数列,并求{a }的通项公式;
n n
3×2n
(2)设b = ,求数列{b }的前n项的和T ．
n 4a -2n+1+2 n n
n
【答案】(1)证明见解析,a =4n-2n
n3(2n-1)
(2)T =
n 2n+1-1
【分析】(1)计算得出a +2n+1=4(a +2n),结合等比数列的定义可证得数列{a +2n}为等比数列,确定该数
n+1 n n
列的首项和公比,即可求得数列{a }的通项公式;
n
(2)化简数列{b }的通项公式,利用裂项相消即可求得T
n n
【详解】（1）证明:∵a =2n+1+4a ,
n+1 n
∴a +2n+1=4a +2n+2=4(a +2n),
n+1 n n
∵a +2=4,
1
故数列{a +2n}是以4为首项,4为公比的等比数列,
n
∴a +2n=4×4n-1=4n ,
n
即a =4n-2n ．
n
3×2n
（2）由题知b =
n 4a -2n+1+2
n
3×2n
=
22n+2-3×2n+1+2
3×2n
=
(2n+1-1)(2n+1-2)
3×2n-1
=
(2n+1-1)(2n-1)
3( 1 1 )
= -
,
2 2n-1 2n+1-1
∴T =b +b +b +⋯+b
n 1 2 3 n3( 1 1 ) 3( 1 1 ) 3( 1 1 ) 3( 1 1 ) 3( 1 )
= - + - + - +⋯+ - = 1-
2 21-1 22-1 2 22-1 23-1 2 23-1 24-1 2 2n-1 2n+1-1 2 2n+1-1
3(2n-1)
= ,
2n+1-1
3(2n-1)
故T = .
n 2n+1-1
【变式3-2】若数列{a }满足a =2,a -2a =3n-1．
n 1 n+1 n
(1)证明:{a -3a }是等比数列；
n+1 n
(2)设{a }的前n项和为S ,求满足S <2023的n的最大值．
n n n
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】(1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可,
(2)由(1)求出{a -3a }的通项公式,与题中等式联立,求出{a }通项公式,进而求出前n项和为S ,代数使得
n+1 n n n
S <2023即可求出n的最大值.
n
【详解】（1）证明：因为a -2a =3n-1 ,
n+1 n
1 1
所以a -2a =3n ,a = a - ⋅3n-1 ,
n+2 n+1 n 2 n+1 2
a -3a 2a +3n-3a
n+2 n+1= n+1 n+1
故 a n+1 -3a n a -3⋅ (1 a - 1 ⋅3n-1)
n+1 2 n+1 2
3n-a
= n+1 =2
1 1 ,
⋅3n- a
2 2 n+1
又a =2,则a =5,a -3a =-1,
1 2 2 1
故{a -3a }是以－1为首项,2为公比的等比数列．
n+1 n（2）由(1)得a -3a =-2n-1①,
n+1 n
又a -2a =3n-1 ②,
n+1 n
②－①得,a =2n-1+3n-1 ,
n
故S =a +a +⋯+a
n 1 2 n
=(20+21+⋯+2n-1)+(30+31+⋯+3n-1)
1 3n 3
=2n-1+ (3n-1)=2n+ - ,
2 2 2
易得{S }为递增数列,
n
又S =1220<2023,S =3535>2023,
7 8
S <2023,故n的最大值为7.
n
考法四：a ＝pa ＋qa
n＋2 n+1 n
例题分析
2 1
【例4】已知数列{a }中，a =1,a =2,a = a + a ，求{a }的通项公式．
n 1 2 n+2 3 n+1 3 n n
7 3 1 n-1
【答案】a = - ⋅(- )
n 4 4 3
【分析】构造法求证{a -a }为等比数列并写出通项公式，再应用累加法求数列通项公式.
n+1 n
2 1
【详解】a = a + a 化为a -sa =t(a -sa )，即a =(s+t)a -sta ，
n+2 3 n+1 3 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1 n
¿，可得¿或¿，（所得两组数值代入上式等价），
1
不妨令a -a =- (a -a )，a -a =1，
n+2 n+1 3 n+1 n 2 1
1 1 n-1
所以{a -a }是以1为首项，- 为公比的等比数列，则a -a =(- ) ，
n+1 n 3 n+1 n 31 n-1
1-(- )
1 0 1 1 1 n-2 3 3 3 1 n-1
累加法可得：a -a =(- ) +(- ) +...+(- ) = = - ⋅(- ) ,(n≥2)，
n 1 3 3 3 1 4 4 3
1+
3
7 3 1 n-1
a = - ⋅(- ) ,(n≥2)
n 4 4 3
7 3 1 n-1
又a =1符合上式，故a = - ⋅(- ) .
1 n 4 4 3
满分秘籍
设出a -sa =t(a -sa ) ，利用待定系数求出 s 和 t 的值，则可等到数列 {a -a }为
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
公比为 t 的一个等比数列。
变式训练
【变式4-1】已知数列{a }满足a =3，a =6，a =2a +3a ，求a
n 1 2 n+2 n+1 n n
1 3
【答案】a = ．3n+1+ (-1) n-1．
n 4 4
【分析】法1：构造{a +a }为等比数列，求出其通项，再分奇偶讨论，利用累加法求解即可；法2：利
n+1 n
用二阶特征根方程求解得到a =α⋅3n+β⋅(-1) n ，根据a =3，a =6列方程组求出α和β即可.
n 1 2
【详解】法1：已知a =2a +3a ，所以a +a =3a +3a =3(a +a )，
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+1 n
则{a +a }是首项为a +a =6+3=9，公比为3的等比数列，
n+1 n 2 1
故a +a =9×3n-1=3n+1 ①，则a +a =3n+2 ②，
n+1 n n+2 n+1
②-①得，a -a =2×3n+1
n+2 n当n为奇数时，a -a =2×3n-1，a -a =2×3n-3，⋯，a -a =2×34，a -a =2×32，
n n-2 n-2 n-4 5 3 3 1
累加可得，a -a =2(32+34+⋯+3n-1)=2⋅
32-3n-1 ⋅9
=
1
⋅3n+1-
9
，
n 1 1-9 4 4
1 9 1 9 1 3
所以a = ⋅3n+1- +a = ⋅3n+1- +3= ⋅3n+1+ ，
n 4 4 1 4 4 4 4
1 3 1 3
当n为偶数时，a =3n+1-a =3n+1- ⋅3n+2- = ⋅3n+1- ，
n n+1 4 4 4 4
1 3
综上，a = ⋅3n+1+ ⋅(-1) n-1 ；
n 4 4
法2：由特征根方程x2=2x+3得，x =3，x =-1，
1 2
3 3
所以a =α⋅3n+β⋅(-1) n ，其中¿，解得α= ，β=- ，
n 4 4
3 3 1 3
a = ⋅3n- ⋅(-1) n= ⋅3n+1+ ⋅(-1) n-1 .
n 4 4 4 4
【变式4-2】已知数列{a }满足a =1，a =5，a =5a -6a ．
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明：{a -2a }是等比数列；
n+1 n
(2)证明：存在两个等比数列{b }，{c }，使得a =b +c 成立．
n n n n n
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由a =5a -6a 构造出a -2a =q(a -2a )，用等比数列定义证明即可；
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n
（2）通过两次构造等比数列，求出{a }的通项公式，根据通项公式得出结论即可.
n
【详解】（1）由已知，a =5a -6a ，∴a -2a =5a -6a -2a ，
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+1
∴a -2a =3a -6a =3(a -2a )，
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
显然a -2a =0与a =1，a =5矛盾，∴a -2a ≠0，
n+1 n 1 2 n+1 n
a -2a
∴
n+2 n+1=3，
a -2a
n+1 n∴数列{a -2a }是首项为a -2a =5-2=3，公比为3的等比数列.
n+1 n 2 1
（2）∵a =5a -6a ，∴a -3a =5a -6a -3a ，
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+1
∴a -3a =2a -6a =2(a -3a )，
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
显然a -3a =0与a =1，a =5矛盾，∴a -3a ≠0，
n+1 n 1 2 n+1 n
a -3a
∴∴
n+2 n+1=2，
a -3a
n+1 n
∴数列{a -3a }是首项为a -3a =5-3=2，公比为2的等比数列，
n+1 n 2 1
∴a -3a =2n ，①，
n+1 n
又∵由第（1）问，a -2a =3n，②，
n+1 n
∴②-①得，a =3n-2n ，
n
∴存在b =3n ，c =-2n ，两个等比数列{b }，{c }， 使得a =b +c 成立．
n n n n n n n
【变式4-3】已知数列{a }满足a =5，a =13，且a =5a -6a (n∈N*).
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)求证：数列{a -2a }是等比数列，并求{a }的通项公式；
n+1 n n
(2)若a -2n>λ(3n+1)(-1) n-1对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
n
【答案】(1)证明过程见解析，a =3n+2n
n
( 9 3)
(2) - ,
7 4
【分析】（1）根据题意结合等比数列定义证明{a -2a }为等比数列，得到a -2a =3n，再证明
n+1 n n+1 n
{a }
n-1 为等比数列，进而可求得a ；
3n n3n
（2）在第一问的基础上，分n为奇数和n为偶数两种情况，利用作差法得到c = 的单调性，进而列
n 3n+1
出不等式，求出实数λ的取值范围.
a -2a 5a -6a -2a 3a -6a
【详解】（1）∵a =5a -6a ，则 n+2 n+1= n+1 n n+1= n+1 n=3，且
n+2 n+1 n a -2a a -2a a -2a
n+1 n n+1 n n+1 n
a -2a =3≠0，
2 1
故数列{a -2a }是首项为3，公比为3为等比数列，
n+1 n
a 2 a 1
∴a -2a =3×3n-1=3n ，则 n+1= × n+ ，
n+1 n 3n+1 3 3n 3
a 2 a 1 2 a 2
n+1-1 × n+ -1 × n-
3n+1 3 3n 3 3 3n 3 2 a 2
可得 = = = ，且 n-1= ≠0，
a a a 1 3 3n 3
n-1 n-1 n-
3n 3n 3n 3
{a } 2 2
故数列
n-1
首项为 ，公比为 的等比数列，
3n 3 3
∴
a
n-1=
2
×
(2) n-1
=
(2) n
=
2n
，故a =3n+2n .
3n 3 3 3 3n n
（2）由（1）可得：a -2n>λ(3n+1)(-1) n-1，即3n>λ(3n+1)(-1) n-1，
n
3n
故3n>λ(3n+1)(-1) n-1对任意的n∈N*恒成立，等价于 >λ(-1) n-1对任意的n∈N*恒成立，
3n+1
3n 3n+1 3n (9n-1)⋅3n
设c = ，则c -c = - = >0当n∈N*时恒成立，
n 3n+1 n+1 n 3n+4 3n+1 (3n+4)(3n+1)
故数列{c }是递增数列，
n
3 3
当n为奇数时，则c >λ对任意的n∈N*恒成立，，可得c = >λ，解得λ< ；
n 1 4 4
9 9
当n为偶数时，则c >-λ对任意的n∈N*恒成立，，可得c = >-λ，解得λ>- ；
n 2 7 7( 9 3)
综上所述：实数λ的取值范围 - , .
7 4
a
考法五：a ＝ n
n＋1 pa +q
n
例题分析
a
【例5】已知数列{a }满足：a =2 , a = n-1 (n≥2) ,求通项a .
n 1 n 2a +1 n
n-1
2
【答案】a =
n 4n-3
{1 } 1 3
【分析】取倒数后得到 是等差数列，求出
=2n-
，得到通项公式.
a a 2
n n
1 1 1 1 {1 } 1 1
【详解】取倒数：
= +2⇔ - =2，故
是等差数列，首项为
=
，公差为2，
a a a a a a 2
n n-1 n n-1 n 1
1 1 3
∴ = +2(n-1)=2n- ，
a 2 2
n
2
∴a = .
n 4n-3
满分秘籍
等式两边同时取倒数，即可得到一个新的等比数列。
变式训练
a
【变式5-1】在数列{a }中，a =1,a = n ,求a ．
n 1 n+1 a +3 n
n2
【答案】a = .
n 3n-1
1 3 1
【分析】将已知关系式变形为a a +3a =a ，两边同除以a a 可得 = +1，记b = ，则
a+1 n n+1 n n n+1 a a n a
n+1 n n
b =3b +1，再构造等比数列可求解.
n+1 n
1 1 1 1
【详解】由已知关系式得 + =3( + ),
a 2 a 2
n+1 n
1 1 3 1 1 3
所以数列{ + }是以 为首项，公比为3得等比数列，故 + = ⋅3n-1 ，
a 2 2 a 2 2
n n
2
所以a = .
n 3n-1
1 a
【变式5-2】已知数列{a }中，a = ，a = n .
n 1 3 n+1 2-a
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求证：数列{a }的前n项和S <1.
n n
1
【答案】(1)a =
n 2n+1
(2)证明见解析
【分析】（1）两边同时取到数，构造等比数列求解即可；
（2）放缩法证明不等式即可.
1 a
【详解】（1）因为a = ，a = n ，故a ≠0，
1 3 n+1 2-a n
n
1 2 1 ( 1 )
所以
= -1，整理得 -1=2 -1
．
a a a a
n+1 n n+1 n
1 1 1
又a = ， -1=2≠0， -1≠0，
1 3 a a
1 n
1
-1
a
所以 n+1 =2为定值，
1
-1
a
n{1 }
故数列
-1
是首项为2，公比为2的等比数列，
a
n
1 1
所以 -1=2n ，得a = .
a n 2n+1
n
1 1
（2）因为a = < ，
n 2n+1 2n
1[ (1) n] ❑
1-
所以S <
1
+
1
+
1
+...+
1
=
2 2
=1-
(1) n
<1．
n 21 22 23 2n 1 2
1-
2
2 2a
【变式5-3】已知数列{a }的首项a = ，且满足a = n .
n 1 5 n+1 2a +1
n
{1 }
(1)求证：数列 -2 为等比数列：
a
n
1 1 1 1
(2)若 + + +⋯+ <101，求满足条件的最大整数n.
a a a a
1 2 3 n
【答案】(1)证明见解析
(2)50
【分析】（1）两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.
(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.
2a 1 2a +1 1
【详解】（1）证明：由a = n ，可得 = n =1+ ，
n+1 2a +1 a 2a 2a
n n+1 n n
1 1 1( 1 ) 1 1
-2= -1= -2 ,又 -2= ≠0,
a 2a 2 a a 2
n+1 n n 1
{1 }
故数列
-2
为等比数列.
a
n
（2）由（1）可知
1
-2=
1
×
(1) n-1
=
1
，故
1
=
1
+2.
a 2 2 2n a 2n
n n1 1
(1- )
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2n 1
+ + +⋯+ = +2+ +2+ +2+⋯+ +2= +2n=1- +2n.
a a a a 2 22 23 2n 1 2n
1 2 3 n 1-
2
1
令f (n)=1- +2n，易知f (n)随n的增大而增大，f (50)<101,f (51)>101，故满足f (n)<101的最大整数
2n
为50.
考法六：a ＝pa 2
n＋1 n
例题分析
【例6】设正项数列{a }满足a =1，a =2a2 (n≥2)，求数列{a }的通项公式．
n 1 n n-1 n
【答案】a
=22n-1-1
n
【分析】在等式a =2a2 (n≥2)两边取对数可得log a =2log a +1，可得出
n n-1 2 n 2 n-1
log a +1=2(log a +1)，可知数列{log a +1}为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列
2 n 2 n-1 2 n
{log a +1}的通项，即可得出数列{a }的通项公式.
2 n n
【详解】对任意的n∈N*，a >0，
n
因为a =2a2 (n≥2)，则log a =log (2a2 )=2log a +1，
n n-1 2 n 2 n-1 2 n-1
所以，log a +1=2(log a +1)，且log a +1=1，
2 n 2 n-1 2 1
所以，数列{log a +1}是首项为1，公比为2的等比数列，
2 n
所以，log a +1=1×2n-1=2n-1 ，解得a =22n-1-1 .
2 n n满分秘籍
两边同时取对数，可以构造出一个等比数列。
变式训练
【变式6-1】数列{a }中， a =2，a =a 2，求数列{a }的通项公式.
n 1 n+1 n n
【答案】a
=22n-1
n
【分析】对a =a 2两边同时取以2为底的对数，构造b =log❑a ，求出b ，进而得到{a }的通项公式.
n+1 n n 2 n n n
【详解】取以a =2为底的对数，得到log❑a =log❑a 2 ，log❑a =2log❑a ，设b =log❑a ，则有
1 2 n+1 2 n 2 n+1 2 n n 2 n
b =2b ，所以{b }是以b =log❑a =1为首项，2为公比的等比数列，所以b =2n-1，所以log❑a =2n-1，
n+1 n n 1 2 1 n 2 n
a
=22n-1
.
n
23．已知数列{a }，a =100，a =a2(n∈N*).
n 1 n+1 n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设b =(n+1)lga ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
【答案】（1）a =102n ；（2）T =n⋅2n+1 .
n n
【分析】（1）在等式a =a2两边取常用对数，得出lga =2lga ，可得出数列{lga }是等比数列，确定
n+1 n n+1 n n
该数列的首项和公比，可求得数列{lga }的通项公式，进而可求得数列{a }的通项公式；
n n
（2）求得b =(n+1)⋅2n，然后利用错位相减法可求得T .
n n【详解】（1）在数列{a }中，a =100，a =a2(n∈N*)，则a >0，a >0，⋯，a >0，
n 1 n+1 n 2 3 n
对任意的n∈N*，a >0.
n
lga
在等式a =a2 两边取常用对数，可得lga =2lga ，∴ n+1=2且lga =2，
n+1 n n+1 n lga 1
n
所以，数列{lga }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴lga =2×2n-1=2n ，
n n
因此，a
=102n
；
n
（2）由（1）可得b =(n+1)lga =(n+1)⋅2n，
n n
∴T =2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+(n+1)⋅2n ，
n
2T =2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n+(n+1)⋅2n+1 ，
n
22(1-2n-1)
上式-下式得-T =2⋅21+22+23+⋯+2n-(n+1)⋅2n+1=4+ -(n+1)⋅2n+1 =-n⋅2n+1，
n 1-2
因此，T =n⋅2n+1 .
n
【点睛】本题考查利用构造法求数列通项，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.
24．已知数列{a }满足a =3，a =a2-2a +2.
n 1 n+1 n n
(1)证明数列{ln(a -1)}是等比数列，并求数列{a }的通项公式；
n n
1 1
(2)若b = + ，数列{b }的前n项和S ，求证：S <2.
n a a -2 n n n
n n
【答案】(1)证明见解析，a
=22n-1+1
n
(2)证明见解析
ln(a -1)
n+1
【分析】（1）根据递推公式证明 为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项
ln(a -1)
n
即可得解；1 1 1( 1 1 )
（2）由a =a2-2a +2，得a -2=a (a -2)，则 = = - ，则
n+1 n n n+1 n n a -2 a (a -2) 2 a -2 a
n+1 n n n n
1 1 2
= - ，再利用裂项相消法求出数列{b }的前n项和S ，即可得证.
a a -2 a -2 n n
n n n+1
【详解】（1）因为a =a2-2a +2，所以a -1=(a -1) 2 ，
n+1 n n n+1 n
则ln(a -1)=ln(a -1) 2=2ln(a -1)，
n+1 n n
又ln(a -1)=ln2，
1
所以数列{ln(a -1)}是以ln2为首项，2为公比的等比数列，
n
则ln(a -1)=2n-1 ⋅ln2=ln22n-1 ，
n
所以a
=22n-1+1；
n
（2）由a =a2-2a +2，得a -2=a (a -2)，
n+1 n n n+1 n n
1 1 1( 1 1 )
= = -
则 ，
a -2 a (a -2) 2 a -2 a
n+1 n n n n
1 1 2
= -
所以 ，
a a -2 a -2
n n n+1
1 1 1 2 1 2 2
所以b = + = - + = - ，
n a a -2 a -2 a -2 a -2 a -2 a -2
n n n n+1 n n n+1
所以S =b +b +⋯+b
n 1 2 n
( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 )
= - + - +⋯+ -
a -2 a -2 a -2 a -2 a -2 a -2
1 2 2 3 n n+1
2 2 2
= - =2-
，
a -2 a -2 22n-2
1 n+1
2 2
因为
>0，所以2- <2，
22n-2 22n-2
所以S <2.
n真题专练
1
1．已知数列{a },a =1,n2a =2(n+1) 2a ，且b = a -a ．
n 1 n+1 n n 2 n+1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列{b }的前n项和T ．
n n
【答案】(1)a =n2 ⋅2n-1；
n
(2)T =(2n-1)⋅2n+1.
n
【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答.
（2）由（1）及已知，利用错位相减法求和作答.
a a
【详解】（1）因为数列{a }满足a =1,n2a =2(n+1) 2a ，则 n+1 =2⋅ n ，
n 1 n+1 n (n+1) 2 n2
a a a
因此数列{ n }是以 1=1为首项，2为公比的等比数列，即 n=2n-1 ，则a =n2 ⋅2n-1，
n2 12 n2 n
所以数列{a }的通项公式是a =n2 ⋅2n-1 .
n n
1 1
（2）由（1）知，b = a -a = (n+1) 2 ⋅2n-n2 ⋅2n-1=2n-1(2n+1)，
n 2 n+1 n 2
则T =3⋅20+5⋅21+7⋅22+⋯+(2n+1)⋅2n-1 ，
n
于是有2T =3⋅21+5⋅22+⋯+(2n-1)⋅2n-1+(2n+1)⋅2n ，
n
4(1-2n-1)
两式相减得-T =3+22+23+⋯+2n-(2n+1)⋅2n =3+ -(2n+1)⋅2n=(1-2n)⋅2n-1，
n 1-2
所以T =(2n-1)⋅2n+1.
na
2．已知数列{a }满足a =1，a = n , n∈N* ．
n 1 n+1 2a +1
n
{1 }
（1）证明：数列 是等差数列，并求数列{a }的通项公式；
a n
n
a
（2）设b = n ，数列{b }的前n项和为S ，求使不等式S ＜k对一切n∈N*恒成立的实数k的范围．
n 2n+1 n n n
1 [1 )
【答案】（1）见解析，a = ；（2） ,+∞
n 2n-1 2
1 1 1
【分析】（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出 - =2，利用等差数列的通项公式得出 ，再得
a a a
n+1 n n
出a ；
n
1( 1 1 )
（2）由（1）得b = - ，再使用裂项相消法求出S ，使用不等式得出的S 范围，从而得
n 2 2n-1 2n+1 n n
出k的范围．
a 1 1 1 1
【详解】（1）∵a = n ，两边取倒数,∴ = +2，即 - =2，又a =1，
n+1 2a +1 a a a a 1
n n+1 n n+1 n
{1 }
∴数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
a
n
1 1 1
∴ = +2(n-1)=2n-1，∴a = ．
a a n 2n-1
n 1
（2）由（1）得b = a n = 1 = 1( 1 - 1 ) ，
n 2n+1 (2n+1)(2n-1) 2 2n-1 2n+1
1[( 1) (1 1) ( 1 1 )] 1( 1 ) 1
∴S = 1- + - +⋯+ - ＝ 1- < ，
n 2 3 3 5 2n-1 2n+1 2 2n+1 2
1
要使不等式Sn＜k对一切n∈N*恒成立，则k ⩾ ．
2
[1 )
∴k的范围为: ,+∞ ．
2
【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．
1
3．已知正项数列{a }满足3a -2a ⋅a -a =0(n≥2)且a = .
n n n n-1 n-1 1 3{1 }
（1）求证：数列 -1 为等比数列，并求数列{a }的通项公式；
a n
n
3
（2）证明：数列{a }的前n项和S < .
n n 4
1
【答案】（1）证明见解析，a = ；（2）见解析.
n 2×3n-1+1
1 ( 1 )
【分析】（1）由条件易得 -1 =3 -1 ，根据等比数列的定义，即可得证，化简可得数列{a }的通
a a n
n n-1
项公式；
1 1
（2）由（1）可得a = < ，放缩后利用等比数列求和公式即可证明结果.
n 2×3n-1+1 2×3n-1
1 3
【详解】证明：（1）由，知 = -2，
a a
n n-1
1 3 ( 1 )
所以
-1= -3=3 -1
，
a a a
n n-1 n-1
{1 } 1
所以
-1
是以
-1=2为首项，3为公比的等比数列，
a a
n 1
1 1
故而 -1=2×3n-1 ，所以a = ．
a n 2×3n-1+1
n
1 1
（2）由（1）可得a = < ，
n 2×3n-1+1 2×3n-1
1 1 1
所以S =a +a +⋯+a < + +⋯+
n 1 2 n 2×30 2×31 2×3n-1
1 ( 1 )
× 1-
2 3n 3 ( 1 ) 3
= = × 1- < ．
1
4 3n 4
1-
3
4．已知数列{b }是首项为1的等差数列，数列{a }满足a -3a -1=0，且b +1=a ，a =1.
n n n+1 n 3 2 1
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）令c =a ⋅b ，求数列{c }的前n项和T .
n n n n n3n-1 (2n-1)⋅3n+1+3-2n(n+1)
【答案】(1) a = ;(2) T = .
n 2 n 8
{ 1}
【详解】试题分析: （1）根据数列{a }的递推关系式以及等比数列的定义,得出 a + 是一个等比数列,根
n n 2
据基本量运算求解即可;(2)先求出等差数列{b }的通项公式,代入c =a ⋅b ,根据错位相减法求出数列的前n
n n n n
项和.
试题解析:
1 ( 1)
（1）∵a -3a -1=0，∴a =3a +1，∴a + =3 a + ，
n+1 n n+1 n n+1 2 n 2
{ 1} 3
∴ a + 是首项为 ，公比为3的等比数列，
n 2 2
1 3 3n-1
∴a + = ×3n-1 ，即a = .
n 2 2 n 2
32-1 n⋅3n n
（2）由（1）知，b =a -1= -1=3，∴b =3+n-3=n，则c = - ，
3 2 2 n n 2 2
1 n(n+1)
∴T = (1×3+2×32+⋯+n×3n)- ，
n 2 4
令S =1×3+2×32+⋯+n×3n ，①
n
3S =1×32+2×33+⋯+n×3n+1 ，②
n
①-②得-2S =3+32+⋯+3n-n×3n+1= 3n+1-3 -n×3n+1=3n+1(1 -n ) - 3
n 2 2 2
(2n-1)⋅3n+1+3 (2n-1)⋅3n+1+3-2n(n+1)
∴S = .∴T = .
n 4 n 8
点睛: 用错位相减法求和应注意的问题 :(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达
式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
5．已知数列{a }满足a =1，且a =2a +3(n∈N* )．
n 1 n+1 n
（1）设b =a +3(n∈N* )，求证{b }是等比数列；
n n n
（2）求数列{a }的前n项和S ．
n n【答案】（1）证明见解析；（2）S =2n+2-3n-4.
n
【分析】（1）由已知a +3=2(a +3)，可得b =2b ，又b =4，由等比数列的定义即可得证；
n+1 n n+1 n 1
（2）由（1）可得到{b }的通项公式，进而得到{a }的通项公式，由分组求和法可得到S ；
n n n
【详解】解：（1）数列{a }满足a =1，且a =2a +3(n∈N*)
n 1 n+1 n
所以a +3=2(a +3)，
n+1 n
a +3
即 n+1 =2（常数），
a +3
n
又b =a +3(n∈N*)，
n n
b
所以 n+1=2，又a =1，所以b =a +3=4，
b 1 1 1
n
所以数列{b }是以4为首项，2为公比的等比数列；
n
（2）由（1）可得，b =a +3=4⋅2n-1=2n+1，
n n
所以a =2n+1-3，
n
所以S =a +a +…+a
n 1 2 n
=22-3+23-3+…+2n+1-3
=22+23+…+2n+1-(3+3+…+3)
4(2n-1)
= -3n
2-1
=2n+2-3n-4
1 1
6．设数列{a }满足a =0, - =1
n 1 1-a 1-a
n+1 n
(1)求{a }的通项公式；
n
1-❑√a k=1
(2)设b = n+1，记S =∑❑b ，证明：S <1．
n ❑√n n k n
n
1
【答案】(1)a =1-
n n(2)证明见解析
{ 1 }
【分析】（1）由已知写出 的通项公式，进而求{a }的通项公式；
1-a n
n
（2）应用裂项相消法求S ，即可证结论.
n
1 1 { 1 } 1
【详解】（1）由 - =1得：数列 是等差数列，首项为 =1，
1-a 1-a 1-a 1-a
n+1 n n 1
1 1
故 =1+(n-1)×1=n，从而a =1- .
1-a n n
n
√ 1
1-❑1-
（2） 1-❑√a n+1 ❑√n+1-❑√n 1 1 ，
b = n+1= = = -
n ❑√n ❑√n ❑√n❑√n+1 ❑√n ❑√n+1
n
1 1 1 1 1 1
所以S =∑❑b =1- + - +⋯+ - =1- <1.
n k ❑√2 ❑√2 ❑√3 ❑√n ❑√n+1 ❑√n+1
k=1
1 1
7．已知数列{a }，{b }满足a = ，2a -a =16a a ，b = -16．证明{b }为等比数列，并求{b }
n n 1 18 n+1 n n+1 n n a n n
n
的通项公式；
【答案】证明见解析，b =2n ．
n
1 2
【分析】由2a -a =16a a 可得 = -16，然后得到b =2b ，再根据等比数列通项公式求解
n+1 n n+1 n a a n+1 n
n+1 n
即可得答案.；
1
【详解】证明：因为2a -a =16a a ，a = ，
n+1 n n+1 n 1 18
1 2
所以
= -16，
a a
n+1 n
1 1
所以 -16=2( -16)，即b =2b ，
a a n+1 n
n+1 n
1
又因为b = -16=2，
1 a
1
所以{b }是首项为2，公比为2的等比数列．
n所以b =2×2n-1=2n ．
n
8．在数列{a }中，a =1，a =2a +2n .
n 1 n+1 n
a
(1)设b = n ，证明：数列{b }是等差数列；
n 2n-1 n
(2)求数列{a }的通项公式a .
n n
【答案】(1)证明见解析
(2)a =n⋅2n-1
n
a a a
【分析】（1）由已知得 n+1= n +1，由b = n ，利用等差数列的定义可得答案；
2n 2n-1 n 2n-1
（2）由（1）b =n可得a .
n n
a a a
【详解】（1）由a =2a +2n得 n+1= n +1，∵b = n ，∴b =b +1，
n+1 n 2n 2n-1 n 2n-1 n+1 n
又b =1，∴{b }是首项为1公差为1的等差数列.
1 n
a
（2）由（1）{b }为等差数列，b =1，∴b =n，b = n ，
n 1 n n 2n-1
所以a =n⋅2n-1 .
n
1 1
9．已知数列{a }和{b }满足：a = ，a =2a + ，数列{b }的前n项和为S =n2+n.
n n 1 2 n+1 n 2 n n
(1)求数列{a }和{b }的通项公式：
n n
(2)设数列c =a ⋅b ，求数列{c }的前n项和T .
n n n n n
1
【答案】(1)a =2n-1- ，b =2n
n 2 n
n2+n-4
(2)(n-1)⋅2n+1-
2【分析】（1）构造等比数列，求解{a }的通项公式；利用a =¿ 求解{b }的通项公式；（2）根据第一问的
n n n
求解，得到c =n⋅2n-n，其中n⋅2n利用错位相减法求和，进而求出数列{c }的前n项和T
n n n
1
【详解】（1）∵a =2a +
n+1 n 2
∴设a +λ=2(a +λ)，整理：a =2a +λ
n+1 n n+1 n
1
∴λ=
2
1 ( 1)
∴a + =2 a +
n+1 2 n 2
{ 1}
∴ a + 公比是2的等比数列
n 2
∴a + 1 = ( a + 1) ⋅2n-1=2n-1
n 2 1 2
1
∴a =2n-1-
n 2
当n≥2时
b =S -S =n2+n-(n-1) 2-(n-1)=2n
n n n-1
当n=1时，b =S =1+1=2，符合b =2n
1 1 n
故{b }的通项公式为：b =2n
n n
（2）c =a ⋅b =2n ( 2n-1- 1) =n⋅2n-n
n n n 2
∴设n⋅2n的前n项和为S
n
则S =2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n ①
n
2S =22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1 ②
n
2-2n+1
①-②得：-S =2+22+23+⋯+2n-n⋅2n+1= -n⋅2n+1
n 1-2∴S =(n-1)⋅2n+1+2
n
n(n+1) n2+n-4
∴T =S -(1+2+3+⋯+n)=(n-1)⋅2n+1+2- =(n-1)⋅2n+1-
n n 2 2
10．已知数列{a }满足a =1，(n-1)a -na =0(n≥2)．
n 1 n n-1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若b =2n ⋅a ，求数列{b }的前n项和S ．
n n n n
【答案】(1)a =n
n
(2)S =(n-1)⋅2n+1+2
n
{a }
【分析】（1）由题意得数列 n 为常数列，可数列{a }的通项公式；
n n
（2）利用错位相减法求数列前n项和.
a a {a } a a
【详解】（1）由(n-1)a -na =0(n≥2)，得 n= n-1 (n≥2)，所以数列 n 为常数列，有 n= 1=1，
n n-1 n n-1 n n 1
∴a =n
n
（2）b =2n ⋅a =n⋅2n，
n n
S =21+2×22+3×23+⋯+(n-1)2n-1+n⋅2n ，
n
2S =22+2×23+3×24+⋯+(n-1)2n+n⋅2n+1 ，
n
2(1-2n)
两式相减，-S =21+22+23+⋯+2n-n⋅2n+1= -n⋅2n+1=(1-n)⋅2n+1-2，
n 1-2
所以S =(n-1)⋅2n+1+2
n
11．已知数列{a }中，a =2,n(a -a )=a +1.
n 1 n+1 n n{a +1}
（1）求证：数列 n 是常数数列；
n
（2）令b =(-1) na ,S 为数列{b }的前n项和，求使得S ≤-99的n的最小值.
n n n n n
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为67.
a +1 a +1
【分析】（1）将递推关系式变形为 n+1 = n 即可证明；
n+1 n
（2）先求出数列{b }的通项公式，再分奇偶讨论求S ，然后解不等式即可.
n n
a a 1
【详解】（1）由n(a -a )=a +1得：na =(n+1)a +1，即 n+1 = n+
n+1 n n n+1 n n+1 n n(n+1)
a a 1 1 a +1 a +1 {a +1}
∴ n+1 = n+ - ，即有 n+1 = n ,∴数列 n 是常数数列；
n+1 n n n+1 n+1 n n
a +1
（2）由（1）知： n =a +1=3,∴a =3n-1,∴b =(-1) n(3n-1)
n 1 n n
即b =¿，
n
3n
∴当n为偶数时，S =(-2+5)+(-8+11)+⋯+[-(3n-4)+(3n-1)]= ，显然S ⩽-99无解；
n 2 n
3(n+1) 3n+1
当n为奇数时，S =S -a = -[3(n+1)-1]=- ，令S ≤-99，解得：n⩾66，
n n+1 n+1 2 2 n
结合n为奇数得：n的最小值为67.
所以n的最小值为67.
【点睛】方法点睛：一般根据递推关系式要证明数列为什么数列，就根据递推关系式同构成要证明的数列
的结构即可.对于含有调节数列的结构在求和时一般要分奇偶讨论.
12．已知数列{a }满足a =1,a =6，且a =4a -4a ,(n≥2,n∈N*).
n 1 2 n+1 n n-1
(1)证明数列{a -2a }是等比数列，并求数列{a }的通项公式；
n+1 n n
(2)求数列{a }的前n项和S .
n n
【答案】(1)证明见详解，a =(2n-1)2n-1
n
(2)T =(2n-3)2n+3
na
【分析】（1）根据递推公式构造可证，然后借助{a -2a }为等比数列可得通项，再构造数列{ n }可证
n+1 n 2n
为等差数列，根据等差数列通项公式可解；
（2）由错位相减法可得.
【详解】（1）因为a =4a -4a ,(n≥2,n∈N*)
n+1 n n-1
所以a -2a =2a -4a =2(a -2a )
n+1 n n n-1 n n-1
又因为a -2a =4
2 1
所以{a -2a }是以4为首项，2为公比的等比数列.
n+1 n
所以a -2a =4×2n-1=2n+1
n+1 n
a a
变形得
n+1- n=1
2n+1 2n
a a 1
所以{ n }是以 1= 为首项，1为公差的等差数列
2n 2 2
a 1 1
所以 n= +n-1=n- ，所以a =(2n-1)2n-1
2n 2 2 n
（2）因为T =1×20+3×21+5×22+⋅⋅⋅+(2n-1)2n-1…①
n
所以2T =1×21+3×22+5×23+⋅⋅⋅+(2n-1)2n …②
n
22 (1-2n-1
)
①-②得：-T =1+22+23+⋅⋅⋅+2n-1-(2n-1)2n=1+ -(2n-1)2n
n 1-2
所以T =(2n-1)2n-2n+1+3=(2n-3)2n+3
n
a -1
13．已知数列{a }中，a =5且a =2a +2n-1(n⩾2,n∈N*)，b = n
n 1 n n-1 n n+1
(1)求证：数列{b }是等比数列；
n(2)从条件①{n+b }，②{n⋅b }中任选一个，补充到下面的问题中并给出解答．
n n
求数列______的前n项和T ．
n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
n2 n
(2)选①：T = + +2n+1-2；选②：T =(n-1)2n+1+2
n 2 2 n
{a -1}
【分析】（1）根据递推公式使用构造法可得 n 的通项公式，然后可得{b }通项，再由等比数列定义
2n n
可证；
（2）选①：由分组求和法可得；选②：使用错位相减法可得.
【详解】（1）因为a =5且a =2a +2n-1(n⩾2,n∈N*)，
1 n n-1
所以当n⩾2时，a -1=2(a -1)+2n ，
n n-1
a -1 a -1 a -1 a -1
所以 n = n-1 +1，即 n - n-1 =1
2n 2n-1 2n 2n-1
{a -1} a -1
所以 n 是以 1 =2为首项，1为公差的等差数列，
2n 2
a -1
所以 n =2+(n-1)×1=n+1，
2n
a -1 (n+1)2n+1-1
所以a =(n+1)2n+1，b = n = =2n
n n n+1 n+1
a -1 b 2n
因为b = 1 =2，n≥2时， n = =2
1 1+1 b 2n-1
n-1
所以数列{b }是以2为首项，2为公比的等比数列．
n
（2）选①：因为b =2n，所以n+b =n+2n，
n n则T =(1+2)+(2+22)+(3+23)+⋅⋅⋅+(n+2n)
n
=(1+2+3+⋅⋅⋅+n)+(2+22+23+⋅⋅⋅+2n)
1 2(1-2n) n2 n
= n(n+1)+ = + +2n+1-2
2 1-2 2 2
选②：因为b =2n ，所以nb =n⋅2n ，则T =1×21+2×22+⋅⋅⋅+n×2n （i）
n n n
2T =1×22+2×23+⋅⋅⋅+n×2n+1 （ii）
n
（i）-（ii）得-T =1×21+22+23+⋅⋅⋅+2n-n×2n+1
n
2(1-2n)
T =n×2n+1- =n×2n+1-2n+1+2=(n-1)2n+1+2
n 1-2
1
14．已知数列{a }满足a = ,2(n-1)a -na =0,(n≥2)．
n 1 2 n n-1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)当c =a -a +n时，求数列{c }的前n项和为T ．
n n+1 n n n
n
【答案】(1)a =
n 2n
n+1 n2+n-1
(2)T = +
n 2n+1 2
a a a 1 1
【分析】（1）当n≥2时可得 n= n-1 ，令b = n，则b = b ，即可得到数列{b }是首项为 ，公
n 2(n-1) n n n 2 n-1 n 2
1
比为 的等比数列，从而求出b ，即可求出数列{a }的通项公式；
2 n n
（2）利用分组求和法及等差数列前n项和公式求和即可；
a a a 1
【详解】（1）解：当n≥2时，2(n-1)a -na =0，则 n= n-1 ，令b = n，则b = b ，
n n–1 n 2(n-1) n n n 2 n-1a 1 1 1
又因为b = 1= ，所以数列{b }是首项为 ，公比为 的等比数列，
1 1 2 n 2 2
所以b =
(1) n
，即
a
n=
(1) n
，从而a =
n
；
n 2 n 2 n 2n
（2）解：因为c =a -a +n，
n n+1 n
所以T =c +c +c +⋯+c =(a -a )+(a -a )+⋯+(a -a )+(1+2+3+⋯+n)
n 1 2 3 n 2 1 3 2 n+1 n
n(n+1) n+1 1 n(n+1) n+1 n2+n-1
=a -a + = - + = + ．
n+1 1 2 2n+1 2 2 2n+1 2
15．在数列{a }中，a =5，且a =2a -1(n∈N*).
n 1 n+1 n
(1)证明：{a -1}为等比数列，并求{a }的通项公式；
n n
(2)令b =(-1) n ⋅a ，求数列{b }的前n项和S .
n n n n
【答案】(1)证明见解析，a =2n+1+1
n
(2)S =¿
n
【分析】（1）依题意可得a -1=2(a -1)，即可得到{a -1}是以4为首项，2为公比的等比数列，从而
n+1 n n
求出{a }的通项公式；
n
（2）由（1）可得b =(-1) n ⋅(2n+1+1)，对n分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；
n
a -1
【详解】（1）解：因为a =2a -1，所以a -1=2(a -1)，又a -1=4，所以 n+1 =2，
n+1 n n+1 n 1 a -1
n
所以{a -1}是以4为首项，2为公比的等比数列.
n
故a -1=4×2n-1 ，即a =2n+1+1.
n n
（2）解：由（1）得b =(-1) n ⋅(2n+1+1)，
n
则b =¿，
n①当n=2k,k∈N*时，
S =(-22-1)+(23+1)-(24+1)+⋯+(-2n-1)+(2n+1+1)
n
4
=-22+23-24+25+⋯-2n+2n+1=22+24+⋯+2n= (2n-1);
3
②当n=2k-1,k∈N*时，
4 2n+2+7
S =S -b = (2n+1-1)-(2n+2+1)=- ，
n n+1 n+1 3 3
综上所述，S =¿
n
16．已知数列{a }，2a =a a +1，a =3．
n n+1 n n+1 1
{ 1 }
(1)求证：数列 是等差数列．
a -1
n
(2)设b =(1-a )(1-a )，求证：数列{b }的前n项和S <-2．
n n n+1 n n
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
1 1
【分析】（1）根据2a =a a +1，证明 - 等于定值即可；
n+1 n n+1 a -1 a -1
n+1 n
（2）利用裂项相消法求出数列{b }的前n项和S ，即可得证.
n n
【详解】（1）∵2a =a a +1，∴(a -2)a =-1，
n+1 n n+1 n n+1
1
∵a =3，∴a -2≠0，∴a = ，
1 n n+1 2-a
n
1 1 1 1
- = -
∴a -1 a -1 1 a -1
n+1 n -1 n
2-a
n
2-a 1
= n-
a -1 a -1
n n
-(a -1)+1
1
= n -
a -1 a -1
n n=-1，
{ 1 } 1 1
∴ 是首项为 = ，公差为-1的等差数列；
a -1 a -1 2
n n
1
1 3 a = +1
（2）由（1）知 =-n+ ，∴ n 3 ，
a -1 2 -n
n 2
1 1 1 1
b =(1-a )(1-a )= ⋅ = -
∴ n n n+1 3 1 3 1，
n- n- n- n-
2 2 2 2
∴S =b +b +b +⋅⋅⋅+b
n 1 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1
= - + - + - +⋅⋅⋅+ -
3 1 3 1 3 1 3 1
1- 1- 2- 2- 3- 3- n- n-
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 1
=-2-2+2- + - +⋅⋅⋅+ -
3 3 5 3 1
n- n-
2 2
1
=-2-
1，
n-
2
1
>0
∵n∈N*，∴ 1 ，
n-
2
∴S <-2．
n
17．已知各项都为正数的数列{an}满足an ＝2an ＋3an.
＋2 ＋1
(1)证明：数列{an＋an }为等比数列；
＋1
1 3
(2)若a＝ ，a＝ ，求{an}的通项公式.
1 2 2 2
【答案】(1)证明见解析
1
(2)an＝ ×3n－1
2
【分析】（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－
3an)，结合求解.
【详解】（1）证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，
a +a
n+2 n+1
所以 ＝3，
a +a
n+1 n
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
（2）由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
1
所以4an＝2×3n－1，即an＝ ×3n－1.
2
18．已知数列{an}中，a=3，a =3a +2⋅3n+1，n∈N*.
1 n+1 n
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
【答案】（1）a =(2n-1)⋅3n；（2）S =3+(n-1)⋅3n+1 .
n n
a a a
【分析】（1）由递推关系可得
n+1- n=2，再根据等差数列的定义得 n=2n-1，即可知{an}的通项公
3n+1 3n 3n
式；
（2）由（1）得a =(2n-1)⋅3n，应用错位相减法求{an}的前n项和Sn.
n
a a 2⋅3n+1
【详解】（1）由a =3a +2⋅3n+1得： n+1= n+ ，
n+1 n 3n+1 3n 3n+1
a a a
∴ n+1- n=2，即数列{ n }是首项为1，公差为2的等差数列，
3n+1 3n 3na
∴
n=2n-1，故a =(2n-1)⋅3n
.
3n n
（2）由（1）得：a =(2n-1)⋅3n，
n
∴S =1⋅31+3⋅32+5⋅33+⋯+(2n-1)⋅3n ①，3S =1⋅32+3⋅33+5⋅34+⋯+(2n-1)⋅3n+1 ②，
n n
9(1-3n-1
)
①-②得：-2S =3+2(32+33+34+⋯+3n )-(2n-1)3n+1 =3+2· -(2n-1)⋅3n+1
n 1-3
∴S =3+(n-1)⋅3n+1 .
n
19．已知数列{a }满足a =14,a =3a -4.
n 1 n+1 n
(1)求{a }的通项公式；
n
(-1) na
(2)设b = n ，数列{b }的前n项和为T ，若存在n∈N*，使m≥T ，求m的取值范围.
n (3n+1)(3n+1+1) n n n
【答案】(1)a =4×3n+2
n
[ 7 )
(2) - ,+∞
20
【分析】（1）依题意可得a -2=3(a -2)，再结合等比数列的定义即可证明；
n+1 n
（2）由（1）可得b =(-1)
n( 1
+
1 )
，再分n为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.
n 3n+1 3n+1+1
【详解】（1）证明：因为a =3a -4，
n+1 n
a -2
所以a -2=3(a -2)，即 n+1 =3(n∈N*)，
n+1 n a -2
n
因为a =14，所以a -2=12，
1 1
故数列{a -2}是以12为首项，3为公比的等比数列，
n
所以a -2=12×3n-1=4×3n ，则a =4×3n+2.
n n（2）解：由（1）知a =4×3n+2，
n
所以b = (-1) na n = (-1) n(4×3n+2) =(-1) n( 1 + 1 ) .
n (3n+1)(3n+1+1) (3n+1)(3n+1+1) 3n+1 3n+1+1
当n为偶数时，
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
T = - - + + +L+ - + +
n 3+1 32+1 32+1 33+1 3n++1 3n+1 3n+1 3n++1
1 1 1 1
=- + =- +
，
3+1 3n+1+1 4 3n+1+1
1 1 1 3
因为T =- + 是单调递减的，所以- <T ≤-
.
n 4 3n+1+1 4 n 14
当n为奇数时，
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
T = - - + + +⋯+ + + -
n 3+1 32+1 32+1 33+1 3n++1 3n+1 3n+1 3n+1+1
1 1 1 1
=- - =- -
，
3+1 3n+1+1 4 3n+1+1
1 1
又T =- - 是单调递增的，
n 4 3n+1+1
1 7 1
因为 >0，所以- ≤T <- .
3n+1+1 20 n 4
7
要使存在n∈N*，使m≥T ，只需m≥(T ) ，即m≥- ，
n n min 20
[ 7 )
故m的取值范围是 - ,+∞ .
20
20．在数列{a }中，a =2,a =8，且对任意的n∈N*，都有a =4a -4a .
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明：{a -2a }是等比数列，并求出{a }的通项公式；
n+1 n n
(2)若b =¿，且数列{b }的前n项积为T ，求T 和T .
n n n 15 20
【答案】(1)证明见解析，a =n⋅2n
n
(2)T =-264，T =2100
15 20【分析】（1）由条件变形化简，利用等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）得b =¿，计算乘积即可.
n
【详解】（1）由题意可得：a -2a =2(a -2a ),a -2a =4，
n+2 n+1 n+1 n 2 1
{a -2a }是以4为首项，2为公比的等比数列，
n+1 n
a a
所以a -2a =4×2n-1=2n+1 ⇒ n+1= n+1,
n+1 n 2n+1 2n
{a } a
n
是以1为首项，1为公差的等差数列
n=n,a =n⋅2n
；
2n 2n n
（2）由上可得：b =¿，
n
T =b ×b ...×b ×b ×b ...×b =21×23×⋯215×(-1) 7=-264;
15 1 3 15 2 4 14
同理T =21×23×⋯219×(-1) 10=2100 .
20
