第 03 讲 分组法和并项法求数列前 n 项和
考法呈现
考法一：分组法求数列前 n 项和
例题分析
【例 1】已知数列 满足a a a n .
{a } 1+ 2+⋯+ n= (n∈N*)
n 3 32 3n 3
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)在 相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列 的前2n项和 .
{a } {b } T
n n 2n
满分秘籍若数列{c }的通项公式为c ＝a ±b ，且{a }，{b }为等差或等比数列，可采
n n n n n n
用分组分别求和法求数列{c }的前n项和．
n
变式训练
【变式1-1】已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
{a } n S a =2❑√S -1
n n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
2nπ
(2)若b =a cos ，求数列{b }的前3n+1项和T .
n n 3 n 3n+1
【变式1-2】在等比数列 中，已知 ， ．
{a } a =4 a =32
n 2 5
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
b =(-1) n ⋅log a {b } n S
n 2 n n n1
【变式1-3】在等比数列{a }中，a =8a ，且 a ，a -4，a -12成等差数列．
n 7 4 2 2 3 4
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
b =(-1) nlog a {b } T |T |=20
n 2 n n n k
【变式1-4】 为数列 的前 项和，已知 ，且 .
S {a } n 6S =a2+3a -4 a >0
n n n n n n
(1)求数列 的通项公式 ；
{a } a
n n
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插入
{b } a ,3,a ,32,33,a ,34,35,36,a ,37,38,39,310 ⋯ a a
n 1 2 3 4 k k+1
项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前100项的和.
k(k∈N*) {b }
n
考法二：并项法求数列前 n 项和
例题分析
【例2】已知数列 的前 项和 满足 ，且 ．
{a } n S 2S =(n+1)a a =1
n n n n 1
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
b =(-1) na2 {b } n T
n n n n满分秘籍
“并项求和”一般包括两类问题：①同一数列的相邻两项(三项或多项)并成
“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的求和
得出结果．②两个数列对应项的和(差)并成“大项”，通过求“大项”的和得出
结果．
变式训练
【变式2-1】已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列.
{a } a =1 d≠0 a a a
n 1 1 2 4
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)令 ，记 ，求 .
b =a S =-b +b -b +⋯+(-1) nb S
n n(n+1) n 1 2 3 n n
【变式2-2】记 为数列 的前 项和，已知 ，且满足 .
S {a } n a =1 na =(n+1)a +1
n n 1 n+1 n
(1)证明：数列 为等差数列；
{a }
na +S +1
(2)设b = n n cosnπ，求数列{b }的前2n-1项和T .
n n n 2n-1
【变式2-3】已知 是各项均为正数的数列， 为 的前n项和，且 ， ， 成等差数列．
{a } S {❑√a } ❑√a S a -2
n n n n n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
b =(-1) na {b } T
n n n n
【变式2-4】设等比数列 的首项为 ，公比为 （ 为正整数），且满足 是 与 的等差中项；
{a } a =2 q q 3a 8a a
n 1 3 1 5
3
数列{b }满足2n2-(t+b )n+ b =0（t∈R，n∈N*）.
n n 2 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)试确定 的值，使得数列 为等差数列；
t {b }
n
(3)当 为等差数列时，对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个新数列 .设 是数列
{b } k a a b {c } T
n k k+1 k n n
的前 项和，试求 .
{c } n T
n 100真题专练
1．已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n项和， ， ．
{a } b =¿ S T {a } {b } S =32 T =16
n n n n n n 4 3
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)证明：当n>5时，T >S ．
n n
2．已知数列 和 满足： ， ， （ 为常数，且 ）．
{a } {b } a =1 a +b =a a -b =λ λ λ≠1
n n 1 n n n+1 n n
(1)证明：数列 是等比数列；
{b }
n
(2)若当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，求 的表达式．
n=3 n=4 {a } S S
n n n
3．已知数列 的前 项和为 ，满足 .等差数列 满足 .
{a } n S S =2(a -1) {b } b =a ,b =a
n n n n n 4 2 8 3
(1)求 的通项公式；
{a },{b }
n n(2)将数列 满足__________（在①②中任选一个条件）的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列
{a } m a
n m
，求 的前20项和 .① ，② ，其中 .
{c } {c } T log a =b a =3b +1 k∈N*
n n 20 4 m k m k
4．已知数列 的前 项和为 .
{a } n S ,a =1,a =2,(2n+3)S =(n+2)S +(n+1)S (n∈N*)
n n 1 2 n+1 n n+2
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)已知数列{ log a n+1 }的前 n 项和为 T ,c =[T ] （取整函数 [x] 表示不超过 x 的整数，如 [2.1]=2 ），求数
2 a n n n
n
列 的前100项的和 .
{c } M
n 100
5．已知各项均不为零的数列 满足 ，其前n项和记为
，且S2-S2
， ， ，数列
{a } a =1 S n n-1=2n2 n∈N* n≥2
n 1 n a
n
满足 ， ．
{b } b =a +a n∈N*
n n n n+1`
(1)求a ，a ，S ；
2 3 102
(2)求数列 的前n项和 ．
{(1+3n)bn} T
n6．设数列 的前 项和 满足 ，且 ， ， 成等比数列.
{a } n S S =2a -a a a -1 a -3
n n n n 1 1 2 3
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
{1 }
(2)设 b +a 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b }的通项公式与前n项和T .
2 n n n n
7．已知正项数列 满足 ， .
{a } a =1 a2 -a2=8n
n 1 n+1 n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)记 (a )，求数列 的前2023项的和.
b =a ⋅sin n ⋅π {b }
n n 2 n
8．已知等比数列 的公比 ，前n项和为 ，满足： .
{a } q>1 S S =13,a2=3a
n n 3 4 6
(1)求 的通项公式；
{a }
n(2)设 ，求数列 的前 项和 .
b =¿ {b } 2n T
n n 2n
9．已知等差数列 与等比数列 的前 项和分别为： ，且满足： S 4(n+1)，
{a } {b } n S ,T a =3, 2n=
n n n n 1 S n+2
n
T -S
n 2n=2n-n2-n-1
4
(1)求数列 的通项公式；
{a },{b }
n n
(2)若 求数列 的前 项的和 .
c =¿ {c } 2n U
n n 2n
10．已知 为等差数列， 是公比为正数的等比数列，
{a } {b } a =b =2,a =2b -1,b =2a +2.
n n 1 1 2 1 3 2
(1)求 和 的通项公式;
{a } {b }
n n
(2)设 满足 ，记 的前 项和为 ，求 .
{c } c =2,c =¿ （k∈N* ） {c } n S S
n 1 n n n 6411．已知数列 ．
{a },a =1,na -(n+1)a =1
n 1 n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
π
(2)若数列{b }满足b
=sin(
a
)+cos(πa
)，求数列{b }的前2n项和T
n n 2 n+1 n n 2n
12．已知数列 满足 a +2 ．
{a } a =1,a = n ,n∈N*
n 1 n+1 a
n
(1)证明{a
n
-2}是等比数列；
a +1
n
3
(2)若b = ，求{b }的前n项和S ．
n a +1 n n
n
13．已知等差数列 满足 ， ．
{a } a =10 a -2a =6
n 3 5 2
(1)求a ；
n
(2)数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 ．
{b } b =¿ T {b } n T
n n n n 2n14．设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， .
{a } n S a =S +1 n∈N*
n n n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设 b =(-1) n (a +n) ，求数列 {b } 的前 2n 项和 T .
n n n 2n
15．已知数列 和 满足 ．
{a } {b } a =3,b =2,a =a +2b ,b =2a +b
n n 1 1 n+1 n n n+1 n n
(1)证明： 和 都是等比数列；
{a +b } {a -b }
n n n n
(2)求 的前 项和 ．
{a b } n S
n n n
16．已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 成等比数列.
{a } a =3 a ,a ,a
n 2 3 5 8
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
πa
(2)设b =a cos n，求数列{b }的前2023项和.
n n 2 n17．记 是公差不为 的等差数列 的前 项和，若 ， ．
S 0 {a } n a =a2 S =3S
n n 4 1 4 2
(1)求 的通项公式；
{a }
n
1
(2)设b = ，(b +b )S =2，求数列{b }的前2n+1项的和T ．
1 2 n n+1 n n 2n+1
18．已知数列 的首项 ，其前n项和为 ，且满足 ．
{a } a =2 S S +S =(n+1)(n+2)(n≥2)
n 1 n n n-1
(1)求S ；
21
(2)设 (-1) nn，求数列 的最大项．
c = {c }
n S n
n
19．已知公差不为零的等差数列 的首项为1，且 是一个等比数列的前三项，记数列 的前
{a } a ,a ,a {a } n
n 1 2 5 n
项和为S ．
n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列 的前20项的和．
{(-1) nS }
n20．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
{a } n S 4S =a2+2a -3(n∈N*)
n n n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)将数列 和数列 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 ，求 的前100项和.
{a } {2n} {b } {b }
n n n
21．已知数列 满足： ， ，
{a } a +(-1) n+1a =2 a =1 a =2
n n+2 n 1 2
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)记数列 的前n项和为 ，求 .
{a } S S
n n 2023
22．设 为公差不为0的等差数列 的前 项和，若 成等比数列， .
S {a } n a ,a ,a S -S =33
n n 1 4 13 6 3
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设 a ，求数列 的前 项和 .
b =2a n+ln n+1 {b } n T
n a n n
n23．已知 ， 分别为等差数列，等比数列，且 ， ， ， .
{a } {b } a =1 b =2 a =3 b =4
n n 1 1 3 2
(1)求 ， 的通项公式；
{a } {b }
n n
(2)求数列 的前n项和 .
{a +3b } S
2n 2n-1 n
24．已知等差数列 的前 项的和为 ，且 ， ，数列 满足
{a } n A a +a =3 A =15 {b }
n n 1 2 5 n
b =a ⋅ [1+(-1) nn](n∈N*) .
n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设数列 {b } 的前 n 项和为 B ，集合 P=¿ 且 B ≤100,n∈N*} ，求 P 中所有元素的和 S .
n n n
n2+n
25．已知数列{a }的前n项和S = ，等比数列{b }满足b =a ，b =a +1．
n n 2 n 2 2 3 3
(1)求数列 和 的通项公式；
{a } {b }
n n
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
c =¿ {c } 2n T
n n 2nn(n+1)
26．已知数列 {a } 为非零数列，且满足( 1+ 1 )( 1+ 1 ) ⋅⋅⋅ ( 1+ 1 ) =2 2 ．
n a a a
1 2 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列{n }的前n项和 ．
S
a n
n
27．已知数列 的前n项和为 ， ， ．
{a } S a =1 S =2S +1(n∈N )
n n 1 n+1 n +
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ，求数列 的前n项和．
b =a a +log (a a )(n∈N ) {b }
n n n+1 2 n n+1 + n
28．在正项数列 中， ， ．
{a } a =2a =4 a a +a a =2a2+2a a (n≥2)
n 2 1 n+1 n n+1 n-1 n n n-1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
b =|a -31| {b } n T
n n n n
29．已知数列 满足 1， a .
{a } a = a = n
n 2 3 n+1 2a +1
n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ，求数列 的前40项和.
b =¿ {b }
n n
20．已知正项等比数列 和数列 ，满足 是 和 的等差中项， .
{a } {b } log a b b (n∈N*)
n n 2 n 1 n
(1)证明：数列 是等差数列，
{b }
n
(2)若数列 {a } 的前 n 项积 T 满足 T =(❑√2) n2+n ，记 c =¿ ，求数列 {c } 的前20项和.
n n n n n
