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第 05 讲 错位相减法求数列前 n 项和
例题分析
【例 1】1．设 为数列 的前n项和，已知 ．
S {a } a =1,2S =na
n n 2 n n
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列{a n+1 }的前n项和 T ．
2n n
满分秘籍
(1) 如果数列 { a } 是等差数列， { b } 是等比数列，求数列 { a · b } 的前 n 项和时，常采用错位相减法．
n n n n
(2) 错位相减法求和时，应注意：
① 在写出“ S ” 与“ qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出
n n
“ S － qS ” 的表达式．
n n
② 应用等比数列求和公式必须注意公比 q 是否等于 1 ，如果 q ＝ 1 ，应用公式 S ＝ na .
n 1
变式训练
【变式1-1】已知数列 的前 项和为 ，且 .
{a } n S a +2a +3a +⋯+na =(n-1)S +2n
n n 1 2 3 n n
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
a ,a {a }
1 2 n
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
b =a ⋅log a {b } n T
n n 2 n n n1 1
【变式1-2】已知数列{a }和{b }，a =2， - =1，a =2b .
n n 1 b a n+1 n
n n
(1)求证数列{1 }是等比数列；
-1
a
n
(2)求数列{n }的前 项和 .
n T
b n
n
【变式1-3】在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该
S =2S +2 a -a =2n
n+1 n n+1 n
问题．已知数列 的前 项和为 ， ，且满足________．
{a } n S a =2
n n 1
(1)求a ；
n
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
b =(n+1)⋅a {b } n T
n n n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【变式1-4】记正项数列
{a }
的前
n
项和为
S
，已知点
(a ,6S )(n∈N*)
在函数
f(x)=(x+1)(x+2)
的图
n n n n
象上，且 ，数列 满足 ， ．
a >1 {b } b =3b b =a +1
1 n n+1 n 2 3
(1)求数列 ， 的通项公式；
{a } {b }
n n
(2)设 a a -1，求数列 的前 项和 ．
c = n + 1 {c } n T
n b b n n
n+1 n
【变式1-5】设 是公比不为 的等比数列， ， 为 ， 的等差中项.
{a } 1 a =1 a a a
n 1 2 3 4
(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列 的前 项和 .
{|(2n-10)a |} n T
n n
真题专练
1．已知 是单调递增的等差数列，其前 项和为 . 是公比为 的等比数列.
{a } n S {b } q
n n n
a =b =3,a =b ,S =q⋅S .
1 1 4 2 4 2
(1)求 和 的通项公式；
{a } {b }
n n(2)设 ，求数列 的前 项和 .
c =¿ {c } n T
n n n
2．已知数列 的前 项和为 ，且 .
{a } n S ,a =0 S =2S +2(n∈N*)
n n 1 n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
{b } b =log a {a b } n T
n n 2 n+1 n+1 n n
3．已知数列 的首项为1，前 项和 ；
{a } n S =n2
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
b =(a +1)⋅2n {b } n T
n n n n
4．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
a +a +a =15 S =20 a (S -9)=0
1 4 7 5 3 3
已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 是 与 的等比中项，___________.
{a } n S ,a a a
n n 7 3 15(1)求 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列 的前 项和 .
{2na } n T
n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
5．已知数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是 ，若对满足 的任
{a } 2 m+n≤5
n
意正整数m，n，均有a +a =a 成立．
m n m+n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)令 a ，求数列 的前 项和 ．
b = 2n-1 {b } n T
n a n n
2n
1 1
6．已知数列{a }的前n项的和为S ，S = n2+ n，数列{b }为单调递增的等比数列，且有b +b =9，
n n n 2 2 n 1 4
b ⋅b =8.
2 3
(1)求数列 的通项公式；
{a },{b }
n n
(2)设数列 满足 ，设 的前 项的和为 ，求 的值.
{c } c =a {c b } n T T
n n 2n-1 n n n n7．已知数列 的前 项和为 ,且满足 (a +2)a ,数列 的前 项积 .
{a } n S a >0,S = n n {b } n T =2n2
n n n n 4 n n
(1)求数列 和 的通项公式;
{a } {b }
n n
(2)求数列 的前n项和.
{a b }
n n
8．已知 是公差不为0的等差数列 的前n项和， 是 ， 的等比中项， .
S {a } a a a S =78
n n 2 1 4 12
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)已知 ，求数列 的前n项和 .
b =a ⋅3a n -1 {b } T
n 2n-1 n n
{ 1}
9．在①3S +1=4a ；②a =1， S + 与{a }都是等比数列；③3S =4n-1，这三个条件中任选一个，
n n 1 n 3 n n
补充在下面的问题中，并作答．
已知数列 的前n项和为 ，且______．
{a } S
n n(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
b =(2n+2)a {b } T
n n n n
注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．
10．已知数列 是公差为3的等差数列，数列 是公比为2的等比数列，且满足
{a } {b }
n n
． 将数列 与 的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列
a +a =b +b +b ,a +a =b +b {a } {b }
1 3 1 2 3 2 4 2 4 n n
．
{c }
n
(1)证明：c =b ;
n 2n
(2)求数列 的前n项和 ．
{a c } S
n n n
11．设正项数列 的前n项和为 ，且 ，当 时， ．
{a } S a =1 n≥2 α =❑√S +❑√S
n n 1 n n n-1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式．
{b } b =1 b -b =2n-1 ⋅a {b }
n 1 n+1 n n n12．已知等比数列 的前 项和为 ，且
{a } n S S =a -2(n∈N* ).
n n n n+1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列{1 }的前 项和 ．
a a n n+2 d n T
n n+1 n d n
n
13．已知数列 的前 项和为 ，且 .
{a } n S S +a =1
n n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设 ( 1 )，求数列 的前 项和 .
b =a ⋅ 2log -1 {b } n T
n n 2a n n
n
14．在数列 中， ， ．
{a } a =1 a -a =2n(n∈N*)
n 1 n+1 n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
b =na {b } S
n n n n15．已知数列 和等差数列 满足 ，且当 时， .
{a } {b } a =1，a =2，a =6 n≥2 log a =1+b ·log 3
n n 1 2 3 2 n n 2
(1)求数列 的通项 ；
{a } a
n n
(2)求数列 的前 项和 .
{na } n T
n n
16．已知等比数列 的公比 ，若 ，且 ， ， 分别是等差数列 第1，3，5
{a } q>1 a +a +a =14 a a +1 a {b }
n 2 3 4 2 3 4 n
项．
(1)求数列 和 的通项公式；
{a } {b }
n n
2a b
(2)若
c = n + n，
求数列{
c
}的前n项和
S
．
n (a -1)(a -1) a n n
n+1 n+2 n
17．已知数列 的前 项和为 ，请从以下三个条件中选择一个完成解答.
{a } n S
n n
①数列 是首项为2的单调递减的等比数列，且 成等差数列；
{a } 8a ,9a ,9a
n 1 2 3
②S =6-2a ；
n n
③ .
a +3a +32a +⋯+3n-1a =2n+1-2
1 2 3 n(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列{na }的前 项和 .
n n T
3 n
18．已知数列 满足 ，a 1．
{a } a =1 n+1=1+
n 1 3a n
n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)求数列 的前n项和 ．
{a } S
n n
1 1 2
19．设各项都为正数的数列{a }的前n项和为S ，且a =1， - = ．
n n 1 a a 4n2-1
n n+1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
(2)设函数 ，且 ，求数列 的前n项和 ．
f (x)=x⋅2x-1 b =f (a ) {b } T
n n n n20．已知数列 的前 项和 满足 .
{a } n S S =2n2-n
n n n
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
a +1
(2)令 n ，求数列{b }的前n项和T .
b =a ⋅2 2 n n
n n
