第 01 讲 三角恒等变换和解三角形
考法呈现
考法一：三角函数和三角恒等变换
例题分析
π
【例 1】（2023·北京·统考高考真题）设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ ( ω>0,|φ|< ) ．
2
❑√3
(1)若f(0)=- ，求φ的值．
2
[ π 2π] (2π )
(2)已知f(x)在区间 - , 上单调递增，f =1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
3 3 3
择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．
π
条件①：f
( )=❑√2；
3
π
条件②：f
(- )=-1；
3
[ π π]
条件③：f(x)在区间 - ,- 上单调递减．
2 3
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．满分秘籍
变式训练
【变式1-1】（2021·陕西咸阳·校考二模）已知函数f (x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R
(1)求函数f (x)的对称轴和对称中心；
[π 3π]
(2)当x∈ , ，求函数f (x)的值域．
8 4
【变式1-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)在区间
π π π π
(-
,
)
上单调，其中ω>0，0<φ<π，且f
(- )=-f ( )
．
6 3 6 3
(1)求y=f(x)的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点 ( π ❑√3)在函数 的图象上，求函数 的表达式．
P - , f(x) f(x)
12 2【变式1-3】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，
⃗a=(❑√3sinωx,sinωx+cosωx)
， ，
⃗b=(2cosωx,sinωx-cosωx) f (x)=⃗a⋅⃗b
π
( )
(1)若ω=1，求f 的值；
6
(2)若函数f (x)的最小正周期为π
①求ω的值；
[5π 5π]
②当x∈ , 时，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f (x)恒成立，求m的取值范围
24 12
【变式1-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数 .
f (x)=2cos2ω x-sinω x
1 2
(1)求f (0)的值；
(2)从①ω =1,ω =2；②ω =1,ω =1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x)在
1 2 1 2
[ π π]
- , 上的最小值，并直接写出函数f (x)的一个周期.
2 6
【变式1-5】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量 ，其
⃗m=(2sinωx,cos2ωx),⃗n=(❑√3cosωx,1)
中ω>0，若函数f (x)=⃗m⋅⃗n的最小正周期为π.
(1)求f (x)的单调增区间；
(2)在△ABC中，若f (B)=-2,BC=❑√3,sinB=❑√3sinA，求⃗BA⋅⃗BC的值.考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形
例题分析
【例2】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在△ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A,B,C，
cosB+cosAcosC 4❑√3
已知a=4， =
sinBcosC b
(1)若c=2❑√3，求sin A；
❑√37
(2)若AB边上的中线长为 ，求AB的长.
2
满分秘籍变式训练
【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）在三角形△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且
3
sin A= ,b=4,c≥b>a．
5
(1)从下列中选择一个证明：
a b b2+c2-a2
①证明： = ；②证明：cosA=
sin A sinB 2bc
(2)求三角形△ABC面积的最小值．
【变式2-2】（2022·上海奉贤·统考一模）在△ABC中，A､B､C所对边a､b､c满足
(a+b-c)(a-b+c)=bc.
(1)求A的值；
4
(2)若a=❑√3，cosB= ，求△ABC的周长.
5cos2A cos2B 1 3
【变式2-3】（2021·广东佛山·统考二模）在① - = ，②⃑BA⋅⃑BC= ，③
a2 b2 2 4
❑√2
sin A-sinB= 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
2
π
问题：已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c；a=1，C= ，求△ABC的面积.
3
【变式2-4】（2023·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，
2π
AB=2，CD=5，∠ABC= ．
3
(1)若AC=2❑√7，求梯形ABCD的面积；
(2)若AC⊥BD，求tan∠ABD．
【变式2-5】（2019·河南·校联考二模）在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
sin2A+sinAsinB-6sin2B=0.
a
（1）求 的值；
b
3
（2）若cosC= ，求sinB的值.
4【变式2-6】（2023·广东东莞·校考三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
π
bsin A=acos ( B- ) .
6
(1)求角B的大小；
(2)设a=2，c=3，求sin(2A-B)的值.
考法三：利用正弦定理求外接圆半径
例题分析
【例3】（2023·山东烟台·统考二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
bcosC+❑√3csinB=a+c．
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为钝角三角形，且a-c=2，求△ABC外接圆半径的取值范围．
满分秘籍变式训练
【变式3-2】（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
sin A+sinB b-c
a，b，c，已知a=2，且 = ．
sinC b-a
(1)求△ABC的外接圆半径R；
(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围．
b+c b-a
【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足 = ，
a b-c
1
且ab= ，a+b-❑√2c=0
3
(1)求C；
(2)求△ABC外接圆的半径R.
【变式3-4】（2023·山东聊城·统考一模）在四边形ABCD中，AB//CD．
(1)证明：AD⋅sin∠BAD=BC⋅sin∠BCD；
(2)若AD=1，AB=3，BC=❑√3，∠BAD=2∠BCD，求△BCD外接圆的面积．【变式3-5】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
17
b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①cosA=- ；②△ABC的面积
25
6❑√21
是 ；③c=3．
5
问题：已知角A为钝角，b=5，______．
(1)求△ABC外接圆的面积；
(2)AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的长．
考法四：正弦和余弦定理边角互化的应用
例题分析
【例4】（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形OACB中，△ABC的三内角A,B,C对应的
三边为a,b,c．
给出以下三个条件：①cos2A-cos2C=2sin2B-2sinAsinB
A+B
②asin =csin A
2
❑√3
③△ABC的面积为 (a2+b2-c2)
4
(1)从以上三个条件中任选一个，求角C；
(2)设OA=OB=2,AB=AC，在（1）的条件下，求四边形OACB的面积的最大值．
满分秘籍
变式训练
【变式4-1】（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所
B+C
对的边分别为a，b，c，已知csin =asinC
2
(1)求角A的大小；
❑√21
(2)若b=1，sinB= ，求边c及cos(2B+A)的值．
7【变式4-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知sin(2A+B)=2sin A(1-cosC).
(1)证明：b=2a；
(2)点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD=AD=1，求△ABC的周长.
【变式4-3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知a,b,c分别为锐角△ABC内
角A,B,C的对边，b-2acosC=a．
(1)证明：C=2A；
sinA
(2)求 的取值范围．
cosC
【变式4-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且2acosB+❑√3b=2c.
(1)求A的大小；
(2)若b=3， c=❑√3，求BC边上高的长.
【变式4-5】（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向
量⃗m=(2b,1)，⃗n=(2a-c,cosC)，且⃗m//⃗n．
(1)求角B的大小；
(2)若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．
【变式4-6】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为
a,b,c，满足b=❑√3,2sinBcosA=2sinC-sin A．
(1)求角B；(2)若acosC-ccosA=1，求A-C．
【变式4-7】（2023·广东深圳·校考二模）记△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知
A
sinBsinCcos2 =2sin2A.
2
(1)证明：b+c=3a；
4❑√6 AD 3
(2)若角B的平分线交AC于点D，且BD= ， = ，求△ABC的面积.
5 DC 2
【变式4-8】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对
的边，且2bcosC=2a+c.
(1)求角B的大小；
(2)若2❑√3sin
(A
+
π)
cos
(A
+
π) -2sin2(A
+
π)
=
11
，求cosC的值.
2 6 2 6 2 6 13
考法五：求三角形面积及面积最值或范围
例题分析
【例5】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
△
sinA
已知 =cos(A+C)sinC，c=2.
a
(1)求B；3
(2)D为AC的中点，BD2= BC,求△ABC的面积.
4
满分秘籍
变式训练
【变式5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别
是a,b,c，且ccosA+❑√3csinA=a+b.
(1)求角C；
(2)若△ABC的中线CD长为2❑√3，求△ABC面积的最大值.
【变式5-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=135°，BD=❑√5，CD=❑√2.
(1)求cos∠CBD；
(2)若△ABD为锐角三角形，求△ABD的面积的取值范围.
【变式5-3】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在同一水平
面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处
测得顶点A的仰角分别为60°，30°，45°，CD=20米．
(1)求雕像AB的高度；
(2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积．
1
【变式5-4】（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知向量⃗a=（sinx，1+cos2x），⃗b=（cosx， ），
2
1
f (x)=⃗a⋅⃗b- .
2
(1)求函数y=f (x)的最大值及相应x的值；
7π 1
(2)在 ABC中，角A为锐角且A+B= ，f (A)= ，BC=2，求△ABC的面积.
12 2
△
【变式5-5】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2=bcosC+ccosB，且b+c=2．
π
(1)求证：A≤ ；
3
(2)求△ABC面积的最大值．
【变式5-6】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
b2+c2-a2 π
a，b，c，已知b- =2acosBcosC，其中，C≠ ．
2b 2
(1)求角B的大小；
(2)若b2+3c2=12-5ac，求△ABC面积的最大值．
考法六：求三角形边长（比）或周长范围
例题分析
❑√3
【例6】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， bsinC+ccosB=a.
3
(1)若a=2,b=1，求△ABC的面积；
(2)若c=2，求△ABC周长的取值范围.满分秘籍
变式训练
【变式训练6-1】（四川省巴中市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在△ABC中，内角A，B，C
1
所对的边分别为a，b，c，已知a2-c2- bc=abcosC.
2
(1)求角A的大小；
(2)若a=2❑√3，求△ABC周长的取值范围.
【变式训练6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若a2+c2-ac=4，b=2．
(1)求角B的大小；
a
(2)求 的取值范围．
c
【变式训练6-3】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在△ABC中，内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，bsin2B+csin2C=(b+c)⋅sin2A．3sin A
(1)若tanB+tanC= ，求出cosC的值；
cosC
(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求边长b的取值范围．
【变式训练6-4】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、
π
b、c，已知bsin ( A+ )-asinB=0．
3
(1)求角A；
BD
(2)若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB=2∠ACB，求 的取值范围．
CD
【变式训练6-5】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形ABCD中，
2π
AB=BC=❑√7,∠ABC= .
3
1
(1)若BD=2❑√7,cos∠ABD= .求CD的长；
7
(2)若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值.
真题专练
1．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.2．（2023·全国·统考高考真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB．
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高．
b2+c2-a2
3．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 =2．
cosA
(1)求bc；
acosB-bcosA b
(2)若 - =1，求△ABC面积．
acosB+bcosA c
4．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为
❑√3，D为BC中点，且AD=1．
π
(1)若∠ADC= ，求tanB；
3
(2)若b2+c2=8，求b,c．
5．（2023·天津·统考高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c．已知
a=❑√39,b=2,∠A=120∘．
(1)求sinB的值；(2)求c的值；
(3)求sin(B-C)．
6．（2023·全国·统考高考真题）设a>0，函数f(x)=2|x-a|-a．
(1)求不等式f (x)<x的解集；
(2)若曲线y=f (x)与x轴所围成的图形的面积为2，求a．
7．（2022·天津·统考高考真题）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
1
a=❑√6,b=2c,cosA=- .
4
(1)求c的值；
(2)求sinB的值；
(3)求sin(2A-B)的值.
8．（2022·浙江·统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
3
4a=❑√5c,cosC= ．
5
(1)求sinA的值；
(2)若b=11，求△ABC的面积．9．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边
❑√3 1
长的三个正三角形的面积依次为S ,S ,S ，已知S -S +S = ,sinB= ．
1 2 3 1 2 3 2 3
(1)求△ABC的面积；
❑√2
(2)若sin AsinC= ，求b．
3
10．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
11．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
25
(2)若a=5,cosA= ，求△ABC的周长．
31
12．（2022·北京·统考高考真题）在△ABC中，sin2C=❑√3sinC．
(1)求∠C；
(2)若b=6，且△ABC的面积为6❑√3，求△ABC的周长．13．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cosA sin2B
= ．
1+sinA 1+cos2B
2π
(1)若C= ，求B；
3
(2)求a2+b2的最小值．
c2
14．（2021·天津·统考高考真题）在△ABC，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知
sin A:sinB:sinC=2:1:❑√2，b=❑√2．
（I）求a的值；
（II）求cosC的值；
( π)
（III）求sin 2C- 的值．
6
15．（2021·全国·统考高考真题）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，
c=a+2.．
（1）若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2π
16．（2021·北京·统考高考真题）在△ABC中，c=2bcosB，C= ．
3
（1）求∠B；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC
边上中线的长．
条件①：c=❑√2b；
条件②：△ABC的周长为4+2❑√3；
3❑√3
条件③：△ABC的面积为 ；
4
17．（2021·浙江·统考高考真题）设函数f (x)=sinx+cosx(x∈R).
2
（1）求函数 [ ( π)] 的最小正周期；
y= f x+
2
( π) [ π]
（2）求函数y=f(x)f x- 在 0, 上的最大值.
4 2
18．（2021·全国·统考高考真题）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在
边AC上，BDsin∠ABC=asinC.
（1）证明：BD=b；
（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.19．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）△ABC的角A,B,C的对边分别为
a,b,c,⃗AB⋅⃗AC=-1,△ABC的面积为❑√2.
(1)若a=2❑√2，求△ABC的周长；
(2)设D为AC中点，求A到BD距离的最大值.
120．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
a=6，bsin2A=4❑√5sinB.
π
(1)若b=1，证明：C=A+ ；
2
8❑√5
(2)若BC边上的高为 ，求△ABC的周长.
3
21．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知
❑√3
sin A=sinCcosB- sinBsinC，
3
(1)求角C的大小；
(2)若C的角平分线交AB于点D，且CD=2，求a+2b的最小值，
22．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，
acosC+❑√3asinC-b-c=0．(1)求A；
(2)若a=❑√13，且△ABC的面积为3❑√3，求△ABC周长．
23．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
1
cosB= .
3
B A+C
(1)求cos2 +tan2 的值；
2 2
(2)若 ， ，求 的值.
b=4 S =2❑√2 c
△ABC
24．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且
acosC+(2b+c)cosA=0，角A的平分线与边BC交于点D.
(1)求角A；
(2)若AD=2，求b+4c的最小值.
25．（2023·广东佛山·统考模拟预测）在△ABC中，AB=2，BC=2❑√7，M点为BC的中点，N点在线
1
段AC上且AN= AC，BN=2.
3
(1)求AC；
(2)若点P为AM与BN的交点，求∠MPN的余弦值.26．（2023·河北·校联考三模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
a b
cosB+ cosA=1．
❑√a2+b2 ❑√a2+b2
(1)判断△ABC的形状；
3
(2)若a=3,b=4，点D,E,F分别在边BC,AC,AB上，且⃗CD=2⃗DB,⃗AE=3⃗EC,⃗AF= ⃗FB，求△≝¿
2
的面积．
27．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且
sin(A-B)cosC=cosBsin(A-C)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若 为锐角三角形，且 1 ，求b2+a2 的最大值．
△ABC a=
sinB (ab) 2
28．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足
sin A sin2A-sin2C，且 ．
-1= A≠C
sinC sin2B
(1)求证：B=2C；
(2)已知BD是∠ABC的平分线，若a=6，求线段BD长度的取值范围．29．（2023·河南·校联考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，
6cosBcosC-1=3cos(B-C).
π
(1)若B= ，求cosC；
6
8❑√3
(2)若c=3，点D在BC边上，且AD平分∠BAC,AD= ，求△ABC的面积.
7
30.（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(a+b+c)(a+b-c)=ab.
(1)求角C；
(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求 ABC面积的最小值.
△
