文档文本内容
第 08 讲 用空间向量解决立体几何问题的六种题型
考法呈现
考法一：用空间向量证明平行或垂直
例题分析
【例1-1】
如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且
1 1
BM= BD，AN= AE．求证：MN⊥AD.
3 3【例1-2】
在三棱台 中， 平面 为
A B C -ABC ∠BAC=90°,A A⊥ ABC,A A=❑√3, AB=AC=2A C =2,D
1 1 1 1 1 1 1
BC的中点．证明：平面A AD⊥平面BCC B ．
1 1 1
满分秘籍
用向量法证明异面直线垂直，可以用基向量法，也可以用空间直角坐标系。通过方向向
量（或法向量）之间的关系证明垂直或平行。
变式训练
【变式1-1】如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，点E,F分别为线段AB,A A的中点，
1 1 1 1
A A=AC=BC,∠ACB=90°．证明：EF⊥平面B CE．
1 1【变式1-2】如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=2，
CD=AD=4，棱PA⊥平面ABCD，PA//BE，PA=4,BE=2，F为PD的中点.
(1)求证：AF//平面PBC；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的大小.
【变式1-3】如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AD=A A =1，AB=3，点E在棱AB上移动．
1 1 1 1 1
(1)证明：D E⊥A D；
1 1
1
(2)当⃗AE= ⃗AB时，求D E与平面ACD 所成角的正弦值．
3 1 1【变式1-4】如图所示，在正方体ABCD-A B C D 中，O为AC与BD的交点，G为CC 的中点，求证：
1 1 1 1 1
A O⊥平面GBD．
1
考法二：用空间向量解决异面直线成角问题
例题分析
1
【例2】已知三棱台A B C -ABC，A A⊥面ABC，4A B =AB=AC=4，cos∠BAC=- ，D是
1 1 1 1 1 1 4
线段A A中点，且BD⊥DC.
1
(1)证明：BD⊥B C；
1
(2)请选择合适的基底向量，求直线B C与A A 所成角的余弦值.
1 1满分秘籍
1. 图示：
2. 计算公式：
3. 易错点：向量的夹角并不一定是异面直线的成角。
变式训练
【变式2-1】已知正方体ABCD-A B C D ，点E为A D 中点，直线B C 交平面CDE于点F.
1 1 1 1 1 1 1 1(1)证明：点F为B C 的中点；
1 1
(2)若点 为棱 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为6❑√5，求A M的值.
M A B MF CDE 1
1 1 25 A B
1 1
【变式2-2】如图，平行六面体ABCD-A B C D 的所有棱长都相等，平面CDD C ⊥平面ABCD，
1 1 1 1 1 1
AD⊥DC，二面角D -AD-C的大小为120°，E为棱C D 的中点．
1 1 1
(1)证明：CD⊥AE；
(2)点F在棱CC 上，AE//平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
1【变式2-3】如图，在三棱台ABC-A B C 中，BA⊥BC，平面A B BA⊥平面ABC，二面角
1 1 1 1 1
B -BC-A的大小为45°，AB=2，BC=A B =A A =1.
1 1 1 1
(1)求证：A A ⊥平面ABC；
1
(2)求异面直线BA 与B C所成角的余弦值.
1 1
【变式2-4】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘.点D、E、N分别为棱PA、
PC、BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
(1)求证：MN//平面BDE；
❑√7
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
21【变式2-5】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AD=2CD=2BC=2，
CD⊥BC，BC∥AD，E，F分别为AD，PC的中点.
(1)证明：PE⊥CD；
(2)若BF与CD所成的角为60°，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.
考法三：用空间向量解决线面夹角问题
例题分析
【例3】已知三棱柱ABC-A B C 中，AB=AC=2,A A=A B=A C=2,∠BAC=90°,E是BC的中
1 1 1 1 1 1
点，F是线段A C 上一点.
1 1
(1)求证：AB⊥EF；
(2)设P是棱A A 上的动点（不包括边界），当△PBC的面积最小时，求直线PC 与平面A A B B所成角
1 1 1 1
的正弦值.满分秘籍
1. 图示：
2.计算公式：
3.易错点：线面夹角的正弦等于向量夹角余弦的绝对值。
变式训练
【变式3-1】如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAD为等边三角形，AB=2，
SC=2❑√2．(1)证明：平面SAD⊥平面ABCD；
❑√21
(2)侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于 ？若存
7
在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
2π
【变式3-2】如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，∠AOB= ，E为PB中点，点F在线
3
段AB上，且AF=2FB.
(1)证明：平面AOP⊥平面OEF；
(2)若OP=AB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值.【变式3-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，且PO⊥平
面ABCD，PO=2，F，G分别是PB，PD的中点，E是PA上一点，且AP=3AE.
(1)求证：BD//平面EFG；
2π
(2)若∠DAB= ，求直线PA与平面EFG所成角的余弦值.
3
【变式3-4】在圆柱O O 中，等腰梯形ABCD为底面圆O 的内接四边形，且AD=DC=BC=1，矩形
1 2 1
ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线，CG=1.
(1)求证：平面O CG ∥平面ADE；
1
❑√105
(2)设⃗DP=λ⃗DE，λ∈[0,1]，试确定λ的值，使得直线AP与平面ABG所成角的正弦值为 .
35【变式3-5】如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，四边形CDEF为平行四边形，对角线
CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠DCF=60∘，G是线段BE上一动点
（不含端点）．
(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG//平面CDEF；
(2)若AD=1,CD=DE=2，且直线DG与平面CDEF成45∘角，求二面角E-DG-F的正弦值．
考法四：用空间向量解决面面夹角问题
例题分析
【例4】如图，在三棱柱ABC-A B C 中，侧面BB C C为菱形，∠CBB =60°，AB=BC=2，
1 1 1 1 1 1
.
AC=AB =❑√2
1
(1)证明：平面ACB ⊥平面BB C C；
1 1 1
(2)求平面ACC A 与平面A B C 夹角的余弦值.
1 1 1 1 1满分秘籍
1 图示：
2 计算公式：
π
3 易错点：两个平面成角范围是[0, ]，二面角的范围[0,π]。
2
变式训练【变式4-1】如图，在四棱锥A-BCDE中，侧面ADE⊥底面BCDE，底面BCDE为菱形，
∠BCD=120°,AE⊥AD,∠ADE=30°．
(1)若四棱锥A-BCDE的体积为1，求DE的长；
(2)求平面ABE与平面ACD所成二面角的正弦值．
1
【变式4-2】如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB= CD，
2
CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=45∘，AD=❑√2，BE=❑√3.
(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD；
(2)求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值.
【变式4-3】如图所示，在几何体PABCD中，AD⊥平面PAB，点C在平面PAB的投影在线段PB上
(BC<PC)，BP=6，AB=AP=2❑√3，DC=2，CD∥平面PAB.(1)证明：平面PCD⊥平面PAD.
❑√7
(2)若二面角B-CD-P的余弦值为- ，求线段AD的长.
14
【变式4-4】在三棱台ABC-≝¿中，G为AC中点，AC=2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．
(1)求证：BC⊥平面DEG；
π
(2)若AB=BC=2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为 ，求三棱锥E-DFG的体积．
3
【变式4-5】如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=AD=1，A A =2，点E在线段DD 上.
1 1 1 1 1 1(1)求D到BC 的距离；
1
(2)当E是DD 的中点时，求直线AC与平面BC E所成角的大小；
1 1
1
(3)若平面A A D D与平面BC E所成角的余弦值为 ，求线段DE的长.
1 1 1 3
考法五：用空间向量解决点到平面的距离问题
例题分析
【例5】如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，
AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
π
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为 ，求N到平面CPM的距离.
6满分秘籍
1 图示：
2 计算公式：
变式训练
【变式5-1】已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M为PD中点，
PA=AD=1.(1)求证：直线PB//平面MAC；
(2)求点P到平面MAC的距离.
【变式5-2】如图，在四棱柱ABCD-A BC D 中，侧棱AA⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，
1 1 1 1 1
AD=CD=2，AA=AB=4，E为棱AA 的中点．
1 1
(1)证明：BC⊥C E．
1
2❑√5
(2)设⃗CM=λ⃗CE（0<λ<1），若C 到平面BBM的距离为 ，求λ．
1 1
5
【变式5-3】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥面ABCD，AB⊥PC，BC=AP=❑√2AB=2．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)求二面角C-PD-A的正弦值．
【变式5-4】底面为菱形的直棱柱ABCD-A B C D 中，E、F分别为棱A B 、A D 的中点.
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)在图中作一个平面α，使得BD⊂α，且平面AEF//α.（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱
ABCD-A B C D 的截面）；
1 1 1 1
(2)若 ，求平面 与平面 的距离 .
AB=A A =2,∠BAD=60∘ AEF α d
1
【变式5-5】如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=2❑√2，M
为BC的中点.(1)求证：AM⊥平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
考法六：用空间向量解决点到直线距离问题
例题分析
1
【例6】如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，
4
G四点共面.
(1)证明：平面BDF⊥平面BCG；
❑√15
(2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为 ，且线段AB长度为2，求点G到直线DF的距离.
5满分秘籍
1 图示：
2 计算公式
变式训练
【变式6-1】如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=EC，沿AE将
△ADE折成△APE，如图2所示，连接PB,PC，得到四棱锥P-ABCE.(1)若平面PAE∩平面PBC=l，求证： l//BC；
(2)若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.
【变式6-2】在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=2❑√2，AD=DC=❑√2，如图1．现将
△ADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-B，如图2，点M在线段BP上．
(1)求证：AP⊥CM；
2❑√5 BM
(2)若点M到直线AC的距离为 ，求 的值．
5 BP
【变式6-3】异面直线l 、l 上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线l 与直线l 之间的距离.如图，
1 2 1 2
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面PBC，PB⊥PC，点D为线段AC中点，AP=BP=CP=1.点E、F
分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明： .
|⃗DM|>dAB PC
(2)若 = =k (k>1)，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
AE FC
【变式6-4】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中，E为线段DD 的中点，F为线段BB 的
1 1 1 1 1 1
中点．
(1)求直线FC \到直线AE的距离；
1
(2)求直线FC 到平面AB E的距离．
1 1
【变式6-5】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，
CP的中点，AB=AC=1,PA=2.
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离；
(3)求点P到直线EF的距离．真题专练
1．如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，
AB∥CD,∠ADC=90∘,PD=CD=2AD=2AB=2.
(1)求异面直线AB与PC所成角的大小；
(2)求二面角B-PC-D的余弦值.
2．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角
形，AC=2，BE=❑√3，点M为线段CD上一点．
(1)求证：DE⊥AM；
π
(2)若EM与平面ACD所成角为 ，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
3
3．如图，棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中，P为线段B D 上动点．
1 1 1 1 1 1(1)证明：CP ∥平面A BD；
1
❑√3
(2)当直线BP与平面A BCD 所成的角正弦值为 时，求点D到平面A BP的距离．
1 1 6 1
4．已知△ABC和△ADE所在的平面互相垂直，AD⊥AE，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，D是
线段BC的中点，AD=❑√3.
(1)求证：AD⊥BE；
(2)设AE=2，在线段AE上是否存在点F（异于点A），使得二面角A-BF-C的大小为45°.
5．如图，在三棱柱ABC-A B C 中，侧面BCC B 为正方形，平面BCC B ⊥平面ABB A ，AB＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1
BC＝2，M，N分别为A B ，AC的中点．
1 1
(1)求证：MN//平面BCC B ；
1 1
(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
6．如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，平面A BC⊥侧面ABB A ，且A A =AB=2.
1 1 1 1 1 1 1(1)求证：AB⊥BC；
π
(2)若直线AC与平面A BC所成的角为 ，E为线段A C的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二面角
1 6 1
的大小.
7．如图，在△ABC中，∠B=90°，P为AB边上一动点，PD//BC交AC于点D，现将△PDA沿PD
翻折至△PDA'.
(1)证明：平面CBA' ⊥平面PBA'；
(2)若PB=CB=2PD=4，且A'P⊥AP，线段A'C上是否存在一点E（不包括端点），使得锐二面角
3❑√14 A'E
E-BD-C的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在请说明理由.
14 EC8．如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AE=AD，△ABC为底面圆O的内接正三角形，圆锥的高
DO=18，点P为线段DO上一个动点.
(1)当PO=3❑√6时，证明：PA⊥平面PBC；
(2)当P点在什么位置时，直线PE和平面PBC所成角的正弦值最大.
9．已知直三棱柱ABC-A B C 中，侧面A A B B为正方形，AB=BC，E，F分别为AC和CC 的中点，
1 1 1 1 1 1
D为棱A B 上的动点.BF⊥A B .
1 1 1 1
(1)证明：BF⊥DE；
(2)求平面BB C C与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
1 1
10．四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=❑√2,SA=2,∠SAB=60∘ ，∠SAD=45∘，平面
SAD与平面SBC的交线为l.(1)求证：直线l平行于平面ABCD；
(2)求二面角D-SA-B的余弦值.
11．如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正
三角形，AC=4，BE=❑√3，点F在AC上.
(1)若BF//平面CDE，求CF；
(2)若F是AC的中点，求二面角F-DE-C的正弦值.
12．如图，在多面体ABCD-EFGH中，上底面EFGH与下底面ABCD平行，且都是正方形，该多面体
各条侧棱相等，且每条侧棱与底面ABCD所成角都相等．已知AB=2, AE=❑√5,CM⊥DG，垂足为点
4
M，三棱锥C-ABE的体积为 ．
3(1)证明：AE⊥平面MBC；
(2)求直线AE与平面BEF所成角θ的正弦值．
13．如图，平面ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，
AB=AD=2．
(1)求证：GH∥平面ABCD；
(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值．
14．在长方体ABCD-A B C D 中，AB=BC=2CC ，点P为棱C D 上任意一点.
1 1 1 1 1 1 1(1)求证：平面A A C C⊥平面PBD；
1 1
(2)若点E为棱CC 上靠近点C的三等分点，求点P在棱C D 上什么位置时，平面BDE与平面PBD夹角
1 1 1
6❑√2
的余弦值为 .
19
15．已知直角梯形形状如下，其中AB⊥AD，⃗DC=2⃗AB=6⃗AE，AB=6，AD=2．
(1)在线段CD上找出点F，将四边形ADFE沿EF翻折，形成几何体A'BE-D'CF．若无论二面角
A'-EF-B多大，都能够使得几何体A'BE-D'CF为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过
程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角A'-EF-B为直二面角，求棱台A'BE-D'CF的体积，并求出此时二面角
B-A'D'-E的余弦值．
16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,BC=2,∠ACB=60°,E为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，
将△ADE沿ED翻折，使得面ADE⊥面BCDE，点M是棱AC上一点，且BM//面ADE．AM
(1)求 的值；
MC
(2)求二面角M-BE-C的余弦值．
1
17．如图，在三棱台ABC—A B C 中，BB =B C =C C= BC=2，AB⊥BC，平面A A B B⊥
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
平面BB C C.
1 1
(1)证明：AB⊥平面BB C C；
1 1
π
(2)若二面角B-C C-A的大小是 ，求侧面A A C C与底面ABC所成二面角的正弦值.
1 6 1 1
18．三棱台ABC-A B C 中，A A ⊥平面ABC，∠ABC=90°，且AB=BC=A A =2，B C =1，F
1 1 1 1 1 1 1
是A A 的中点．
1(1)求三角形ABC重心G到直线B C 的距离；
1 1
(2)求二面角B -BC -F的余弦值．
1 1
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，PB⊥底面ABCD，M为棱PC上的点，
PB=AB=BC=2，AD=1.
(1)若DM //平面PAB，求证：点M为PC的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面CBD与平面BDM夹角的余弦值.
条件①：PA //平面BDM
1
条件②：直线BM与BD夹角的余弦值为
5
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.20．如图，正△ABC是圆柱底面圆O的内接三角形，其边长为a.AD是圆O的直径，PA是圆柱的母线，E
是AD与BC的交点，圆柱的轴截面是正方形.
(1)记圆柱的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，求V ；
V P-ABC V 1
1 2 V
2
1
(2)设F是线段PE上一点，且FE= PF，求二面角A-FC-O的余弦值.
2
