ARTICLE · 1358369
高中数学第一单元:集合知识点全总结(附例题)
集合是高中数学的第一课，内容不难，却是后面函数和逻辑的地基。这一篇把知识点一次讲全，每个知识点配一道例题，孩子自己看也能跟上。
集合这一单元，课本上就十几页，很多孩子翻一翻觉得"太简单"，结果一考试，丢分全丢在细节上：0 到底算不算自然数、空集能不能漏、参数求出来不检验。今天把这一单元的知识点系统梳理一遍，每个知识点配一道例题，看完自己动手做一遍，这个单元就稳了。
一、集合的概念
知识点1：集合与元素。把一些元素组成的总体叫集合，集合里的元素必须满足三个特性：确定性（能不能进集合，标准明确）、互异性（同一元素只算一次）、无序性（调换顺序还是同一个集合）。
例1：下列对象能构成集合的是（ ）①接近于0的数 ②小于3的正整数 ③个子高的人 ④方程 x²＝1 的所有实数根
解：①③标准不明确，不满足确定性；②可写成 {1，2}，④可写成 {－1，1}。答案：②④。
知识点2：元素与集合的关系、常用数集。元素与集合之间是属于关系：a∈A 或 a∉A。常用数集要记牢：自然数集 N、正整数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R。
例2：用符号填空：0 ＿ N；√3 ＿ Q；－2 ＿ Z；3.14 ＿ Q。
解：0 不是正整数，0∉N*；√3 是无理数，√3∉Q；－2∈Z；3.14 是有限小数，3.14∈Q。注意：0 是自然数，但不是正整数，这是最爱考的一个小坑。
二、集合的表示方法
知识点3：列举法。把集合的元素一一列出来，写在花括号里，元素之间用逗号隔开。
例3：用列举法表示方程 x²－5x＋6＝0 的解集。
解：方程分解为 (x－2)(x－3)＝0，解得 x＝2 或 x＝3，解集为 {2，3}。
知识点4：描述法。格式是 {x | x 满足的条件}，竖线左边是代表元素，右边是元素的共同特征。元素个数太多列不完时，用描述法。
例4：用列举法表示集合 A＝{x∈N | x＜5}。
解：满足条件的自然数是 0、1、2、3、4，所以 A＝{0，1，2，3，4}。提醒一句：0 是自然数，最容易漏掉。
三、集合间的基本关系
知识点5：子集、真子集、集合相等。A 中任意元素都是 B 中的元素，记 A⊆B；若 B 中还有元素不在 A 中，记 A⊊B；若 A⊆B 且 B⊆A，则 A＝B。
例5：设 A＝{1，2}，B＝{x∈R | x²－3x＋2＝0}，判断 A、B 的关系。
解：方程 x²－3x＋2＝0 的根是 1 和 2，B＝{1，2}，所以 A＝B。
知识点6：空集。不含任何元素的集合叫空集，记作 ∅。规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。做题时只要方程无解、条件互相矛盾，就要想到空集。
例6：写出方程 x²＋2＝0 的实数解集。
解：x²＝－2 无实数解，所以解集是 ∅。注意不能写成 {∅}，那是含有一个元素的集合，不一样。
知识点7：子集个数。含 n 个元素的集合，有 2ⁿ 个子集、2ⁿ－1 个真子集、2ⁿ－2 个非空真子集。
例7：求集合 {a，b，c} 的子集、真子集、非空真子集的个数。
解：n＝3，子集有 2³＝8 个，真子集 8－1＝7 个，非空真子集 8－2＝6 个。
四、集合的基本运算
知识点8：交集。A∩B 是由既属于 A 又属于 B 的所有元素组成的集合，取的是公共部分。
例8：设 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，求 A∩B。
解：公共元素是 2 和 4，A∩B＝{2，4}。
知识点9：并集。A∪B 是由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集合，合并之后要去掉重复元素。
例9：同上条件，求 A∪B。
解：合并后去掉重复的 2、4，A∪B＝{1，2，3，4，5，6}。
知识点10：补集。在全集 U 中，不属于 A 的元素组成的集合，叫 A 的补集，记 ∁ᵤA。求补集之前，先看清全集是什么，换了全集，补集就变了。
例10：设 U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，6}，求 ∁ᵤA。
解：从全集中去掉 2、4、6，∁ᵤA＝{1，3，5}。
知识点11：元素个数公式。card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)。两个集合重叠的部分被数了两次，要减掉一次。配合 Venn 图看，最清楚。
例11：某班 45 名学生，参加数学小组 28 人，参加物理小组 25 人，两个小组都参加 12 人。问两个小组都不参加的有多少人？
解：至少参加一个小组的有 28＋25－12＝41 人，都不参加的有 45－41＝4 人。
五、易错点提醒
知识点12：含参数问题，求完必须检验。带参数的集合题，参数求出来不算完，一定要代回去检查互异性和包含关系，这是这一单元最常见的丢分点。
例12：已知 A＝{x | x²－3x＋2＝0}，B＝{x | x²－ax＋a－1＝0}，若 B⊆A，求实数 a。
解：A＝{1，2}。B 中方程分解为 (x－1)(x－a＋1)＝0，根是 1 和 a－1。由 B⊆A 得 a－1＝1 或 a－1＝2，即 a＝2（此时 B＝{1}）或 a＝3（此时 B＝{1，2}）。答案：a＝2 或 3。
集合这一单元，知识点就这些，难的不是概念，是细心。建议孩子把这篇的 12 道例题遮住答案自己做一遍，全对，这个单元就过关了；错哪道，就回去补哪个知识点，比盲目刷题管用。
我把这一单元整理成了一份 PDF 文件《集合知识点总结》，知识点和 12 道例题都在里面，可以打印出来贴在书桌前随时看。想要的家长，点赞后在评论区留言「集合」，或者私聊我，我把 PDF 发你。
配套刷题可以打开小程序「逆袭刷题社」，集合这一章的题按知识点分好了类，做完自动进错题本，哪个知识点薄弱一目了然。
