高中数学知识点归纳(共47页)_数学_专项复习_2025年_2025年新高考高中数学知识点总结全归纳电子版选修必修公式定理_高中数学知识点汇编

新课标高中数学知识总结归纳
1、集合的基本概念
(1)集合的概念：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）；
(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
(3)集合的三种表示方法：自然语言法、列举法、描述法．
2、集合的运算
（1）子集：若集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则AB；
真子集：若AB，且A B，则A  B；
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
 
（2）交集：AB= xxA且xB
 
（3）并集：AB= xxA或xB
3、集合的常用运算性质
(1)A=；AA= A；
(2)A= A；AA= A；
(3)A(C A)=；A(C A)=U ；C (C A)= A；
U U U U
 
(4)补集：若U 为全集，AU ，则C A= xxU,且xA ；
U
(5)AB  AB= A  AB= B；
(6)C (AB)= (C A)(C B)；C (AB)= (C A)(C B)；
U U U U U U
(7)如图所示，用集合A、B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合
分别是AB；C (AB)；C (AB)；C (AB)．
A B U
(8)card(AB)=card(A)+card(B)−card(AB)．
4、常见数集及其表示符号
N ：自然数集； N N ： 正整数集； Z ：整数集； Q：有理数集； R：实数集
+
C：复数集
5、已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n −1个真子集，它有2n −1个非空子集，
它有2n −2非空真子集.
6、函数的概念
7、函数的定义域、值域
（1）定义域：函数y= f(x),xA中，x叫做自变量，自变量x的取值集合叫做函数的定义域；
 
（2）值域：所有函数值构成的集合 y y = f(x),xA 叫做这个函数的值域．显然，值域是集合B的
子集．
1 / 47（3）两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
．．．．．．．．
8、函数的三要素：定义域、值域和对应法则．
9、函数的表示方法主要有：列表法、解析法和图象法．
10、分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因定义域不同而分别用几个不同的式子来表示，这
种函数称为分段函数．
注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函
数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
11、求函数解析式的方法主要有：[来源:学,科,网Z,X,X,K]
①代入法；②换元法；③待定系数法；④图象法；⑤列方程组法；⑥配凑法等.
12、求函数值域的方法主要有：
①直接(观察)法；②配方法（针对二次函数）；③换元法；④分离常数法；⑤反解法；⑥判别式法等.
13、函数的单调性
(1)单调性定义：给定区间 D 上的函数y = f(x)，若对任意x ,x D，当x  x 时，都有 f(x )
1 2 1 2 1
f(x )，则 f(x)为区间D上的增函数；当x  x 时，都有 f(x ) f(x )，则 f(x)为区间D上的
2 1 2 1 2
减函数．
注意：单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．
(2)证明函数单调性的步骤：
证明函数的单调性一般从定义入手（以后将会学习用“求导”的方法证明函数单调性），利用定义证明
函数单调性的一般步骤是：①设元（取量）：任取x ,x D，且令x  x ；②作差：计算 f(x )− f(x )
1 2 1 2 1 2
并化简整理；
③判号（判断整理结果的符号）； ④结论（利用单调性定义判断.
14、与单调性有关的结论
(1)若 f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则 f(x)+g(x)为某区间上的增(减)函数；
(2)若 f(x)为增(减)函数，则− f(x)为减(增)函数；
   
(3)y = f g(x) 是定义在M上的函数，若 f(x)与g(x)的单调性相同，则y = f g(x) 是增函数，若
 
f(x)与g(x)的单调性相反，则y = f g(x) 是减函数(同增异减的原则)；
 
(4)若函数 f(x)在闭区间 a,b 上是减函数，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)，值域为
 
f(b), f(a) ．
15、函数的最值
设函数y = f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：①对于任意xI ，都有 f(x)M ，②存在
x ∈I，使得 f(x )=M，那么称M 是函数y = f(x)的最大值；类比定义y = f(x)的最小值．
0 0
16、函数的奇、偶性：（对于函数 f(x)，其定义域关于原点对称）
．．．
(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 f(−x)= − f(x)，那么函数 f(x)是奇函数；
(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 f(−x)= f(x)，那么函数 f(x)是偶函数；
2 / 47也就是说： f(−x)+ f(x)=0函数 f(x)是奇函数， f(−x)− f(x)=0函数 f(x)是奇函数.
17、奇、偶函数的性质
(1)奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称；
(2)若奇函数 f(x)在x=0处有意义，则 f(0)= 0；
(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相同；若偶函数在关于原点对称的两
个区间上分别单调，则其单调性相反；
(4)奇奇=奇；偶偶=偶；奇奇=偶；偶偶=偶；奇偶=奇.
18、函数的周期性
(1)周期函数定义：对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的任何值时，
．．．．
都有 f(x+T)= f(x)，那么就称函数y = f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期；
(2)最小正周期：如果在周期函数y = f(x)的所有周期中存在一个最小的的正数，那么这个最小正数
就叫做 f(x)的最小正周期．
19、函数的图象
（1）利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
（2）利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象．
①平移变换
y=
f(x)⎯⎯h0⎯,左
⎯
移h⎯ 个单
⎯
位
⎯→y= f(x+h) y=
f(x)⎯⎯k0⎯,上
⎯
移k⎯ 个单
⎯
位
⎯→y= f(x)+k
h0,右移|h|个单位 k0,下移|k|个单位
②伸缩变换
y = f(x)⎯0⎯⎯1,⎯ 伸 →y = f(x)
1,缩
y =
f(x)⎯0⎯A⎯1,缩
⎯→y = Af(x)
A1,伸
③对称变换
x轴 y轴
y = f(x)⎯⎯⎯→y =−f(x) y = f(x)⎯⎯⎯→y = f(−x)
y = f(x)⎯ 原 ⎯ 点 ⎯→y=−f(−x) y = f(x)⎯ 直 ⎯ 线 ⎯ y= ⎯ x →y = f −1(x)
去掉y轴左边图象
y = f(x)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y= f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
y = f(x)⎯⎯
保
⎯
留 ⎯x轴
⎯
上
⎯
方图
⎯
象
⎯⎯→y=| f(x)|
将x轴下方图象翻折上去
（3）识图
3 / 47对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（4）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
（5）有关函数对称性的几个重要结论
函数自身的对称性
①函数y = f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是 f(x)+ f(2a−x)=2b
② 函 数 y = f(x) 的 图 像 关 于 直 线 x=a 对 称 的 充 要 条 件 是 f(a+x)= f(a−x) ， 即
f(x)= f(2a−x)
两个函数的对称性
③函数y = f(x)与y=2b− f(2a−x)的图像关于点A(a,b)成中心对称
④函数y = f(x)与y=(2a−x)的图像关于直线x=a成轴对称
⑤指数函数y =ax(a 0,且a 1)图像与对数函数y = log x(a  0，且a1)图像关于直线y = x
a
对称
⑥三角函数的图像对称问题详见《必修4》第一章三角函数
《必修1》第二章 基本初等函数
1、根式的概念：一般地，如果xn = a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N *．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0 =0．
a (a 0)
当n是奇数时，n an = a，当n是偶数时，n an =|a|= 
−a (a 0)
2、分数指数幂
m
正数的分数指数幂的意义，规定：an = n am(a 0,m,nN*,n 1)，
− m 1 1
a n = = (a 0,m,nN*,n 1)
m n am
an
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3、有理数幂的运算性质
(1)ar as = ar+s ；(2)(ar)s = ars ；(3)(ab)r = arbr(其中a,b0,r,sQ）．
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
4 / 47一般地，函数y =ax(a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定
．．．．
义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围:a(0,1)(1,+)．
（2）指数函数的图象和性质
a 1 0a1
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
11 11
-4 -2 0 2 4 6 -4 -2 0 2 4 6
-1 -1
定义域R 定义域R
值域(0,+) 值域(0,+)
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
①在  a,b  上， f(x)=ax(a0,且a1)值域是  f(a), f(b)  或  f(b), f(a)  ；
②若x0，则 f(x)1； f(x)取遍所有正数当且仅当xR；
③对于指数函数 f(x)=ax(a0,且a1)，总有 f(1)=a.
5、对数的概念：一般地，如果ax = N (a 0,a 1)，那么数x叫做以a为底N 的对数，记作：
x = log N （其中a叫底数，N 叫真数，log N 叫对数式）
a a
说明：①注意底数的限制：a  0且a 1； ②ax = N log N = x； ③注意对数的书写格式．
a
6、两个重要对数：
①常用对数：以10为底的对数lgN ；②自然对数：以无理数e = 2.71828为底的对数的对数lnN ．
7、指数式与对数式的互化: 若ab = N， 则b=log N(N 0,a0,a1)
a
8、对数恒等式
①alog aN ＝N (a>0且a≠1，N>0)； ②log ab =b(a>0且a≠1，b∈R)．
a
9、对数运算法则(a0,a1,,M 0,N 0)
①log (MN)=log M +log N
a a a
M
②log ( )=log M −log N
a N a a
5 / 47③log (N)n =nlog N
a a
log N
10、换底公式：log N = a (a0,a0,b0,b1,N 0)．
b log b
a
推论： ① log blog a=1 ② log blog c=log c ③ log bn =log b ④
a b a b a an a
n
log bn = log b
am m a
11、 对数函数及其性质
（1）对数函数的概念
函数y = log x(a  0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+)，值域是
a ．．．．
R.
注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别， 如：y =2log x， x
y =log
2 5 5
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；
②对数函数对底数的限制：(a 0，且a1)；对数函数对真数x的限制：x0.
（2）对数函数的性质
a 1 0a1
3 3
2.5 2.5
2 2
1.5 1.5
11 11
0.5 0.5
-1 0 11 2 3 4 5 6 7 8 -1 0 11 2 3 4 5 6 7 8
-0.5 -0.5
-1 -1
-1.5 -1.5
-2
-
.5
2
-2
-
.5
2
定义域(0,+) 定义域(0,+)
值域为R 值域为R
在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)
12、幂函数
（1）幂函数的概念
一般地，形如y = x(aR)的函数称为幂函数，其中为常数．
（2）幂函数性质归纳
①所有的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1)；
②0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+)上是增函
数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函
数的图象上凸；
③0时，幂函数的图象在区间(0,+)上是减函数．在第一象限
6 / 47内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴
上方无限地逼近x轴正半轴．
《必修1》第三章 函数的应用
1、方程的根与函数的零点
（1）函数零点的概念：对于函数 y = f(x)(xD)，把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数
y = f(x)(xD)的零点.
（2）函数零点的意义：函数y = f(x)的零点就是方程 f(x)=0实数根，亦即函数y = f(x)的图象
与x轴交点的横坐标.
．．．
即：方程 f(x)=0有实数根函数y = f(x)的图象与x轴有交点函数y = f(x)有零点．
（3）函数零点的求法
①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f(x)的图象联系起来，并利用函数的
性质找出零点．
2、二次函数的零点：二次函数y =ax2 +bx+c(a 0)．
（1） 0，方程ax2 +bx+c =0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有
两个零点．
（2） =0，方程ax2 +bx+c =0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有
一个二重零点或二阶零点．
（3）0，方程ax2 +bx+c =0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
3、函数零点的判定（零点存在定理）
 
如果函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，且 f(a)与 f(b)异号（即 f(a) f(b)0），那么在开区间
(a,b)内至少有函数的 f(x)一个零点，即至少有一点x (a x b)使 f(x )=0.
0 0 0
 
推论：若函数 f(x)在闭区间 a,b 上严格单调，且 f(x)图象是连续不断的一条曲线，则
．．．．
 
f(a) f(b)0 函数 f(x)在 a,b 上只有一个零点（唯一零点的证明依据）。
   
注意：若函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，且函数 f(x)在闭区间 a,b 上不单调，
．．．
则 f(a) f(b)＞0无法说明函数 f(x)在  a,b  上没有零点。
7 / 47《必修 2》第一章 空间几何体
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相
平行，由这些面所围成的几何体。
分类：①以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；②以侧棱是否垂直于
底面作为分类标准分为直棱柱和斜棱柱。
表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE− A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'。
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平
行于底面的
截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
表示：用各顶点字母，如五四棱锥S − ABCD。
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其面积比等于顶点到截面距离
与高的比的
平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD− ABCD。
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形； ②侧面是梯形； ③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是全等的圆； ②母线与轴平行； ③轴与底面圆的半径垂直； ④侧面展开图是一
个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆； ②母线交于圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分。
几何特征：①上下底面是两个圆； ②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
几何特征：①球的截面是圆； ②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
8 / 472、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点（横不变、纵减半）：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
3、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高， h为斜高，l为母线）
1 1
S =ch S = ch S =rl S = （c +c )h
直棱柱侧面积 正棱锥侧面积 2 圆锥锥侧面积 正棱台侧面积 2 1 2
S =（r+R))l S =2r（r+l)) S =r（r+l))
圆台侧面积 圆柱表 圆锥表
S =（r2 +rl +r l +r 2)
圆台表 1 1 2 2
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
1
V =Sh V =Sh=r2h V = Sh
柱 圆柱 锥 3
1 1 1
V
圆锥
= 1
3
r2hV
台
=
3
(S' + S'S +S)h V
圆台
=
3
(S' + S'S +S)h=
3
(r2 +rR+R2)h
4
（4）球体的表面积和体积公式：S =4R2 V = R3
球面 球 3
《必修2》第二章 点、线、面的位置关系
1、平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有
一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2、空间中两直线的位置关系
9 / 47 平行
共面直线
(1)位置关系的分类： 相交

 异面直线：不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b∥b，把a′与b′所成的锐角
 
(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；②范围：0, ．

 2
(3)平行公理（公理4）和等角定理
公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3、空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
4、直线与平面平行的判定与性质
判定
性质[来源:学科网][来源:Zxxk.Com][来源:学科
定义[来
定理 网ZXXK]
源:Zxxk.Com]
图形
a∥，a⊂，∩
条件 a= a⊂，b⊄，a∥b a∥
=b
结论 a∥ b∥ a= a∥b
5、面面平行的判定与性质
判定
性质
定义 定理
图形
 ，b  ，a∩b = p， ∥，∩＝
条件 ∩= ∥，a⊂
a∥，b∥ a，∩＝b
结论 ∥ ∥ a∥b a∥
10 / 476、直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，记作l ⊥.
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面内的两条相 若l ⊥,l ⊥b,a,b，且
交直线都垂直，则该直线与此平 ab = P，则l ⊥
面垂直
7、直线与平面所成的角
(1)如图，一直线PA和一平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，
过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在
平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们
 
所成的角是0的角，于是，直线与平面所成角的范围是 0,90 ．
8、二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫
做二面角的面．如右图：可记为−l−，或Q− AB−P.
9、二面角的平面角
在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直棱的射线，则两条射线构成
 
的角叫做二面角的平面.如图：平面角AOB，范围： 0,180
规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少
度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
10、平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平
11 / 47面与垂直，记作⊥.
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
11、直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
12、平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
《必修2》第三章 直线与方程
1、直线的倾斜角
（1）倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）倾
 
斜角的范围： 0,90
2、直线的斜率
（1）定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，
 ) ( )
即k =tan, 0,90  90,180 .
y − y
（2）过两点的直线的斜率公式：直线经过两点P(x ,y )，P (x ,y )，其斜率k = 2 1 (x  x ).
1 1 1 2 2 2 x −x 1 2
2 1
3、直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
(x ,y )是直线上一定
1 1
点斜式 y− y =k(x−x ) 不垂直于x轴
1 1
点，k 是斜率
k 是斜率，b是直线在
斜截式 y=kx+b y轴上的截距（纵截 不垂直于x轴
距）
y− y x−x (x ,y ),(x ,y )是直线
两点式 1 = 1 (x  x ,y  y ) 1 1 2 2 不垂直于x轴和y轴
y − y x −x 2 1 2 1
2 1 2 1 上两定点
a是直线在x轴上的非
不垂直于x轴和y轴，
x y
截距式 + =1(ab0) 零截距，b是直线在y
a b 且不过原点
轴上的非零截距
一般式 Ax+By+C =0(A2 +B2 0) A，B，C为系数 任何直线
4、两条直线平行与垂直的判断
l ：Ax+B y+C =0 (A,B 不同时为0）；l ：A x+B y+C =0 (A ,B 不同时为0）.
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
（1）当l //l 时 AB −A B =0且BC −B C 0(或AC −AC 0).
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
12 / 47（2）当l 与l 重合时 AB −A B =0且BC −B C =0(或AC −AC =0).
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
（3）当l ⊥l 时 AA +BB =0.
1 2 1 2 1 2
5、两点间的距离公式
若P(x ,y ) P (x ,y )，则 PP = (x −x )2 +(y − y )2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
6、点到直线的距离公式：
Ax +By +C
点P(x ,y )到直线l：Ax+By+C =0的距离d = 0 0
0 0
A2 +B2
7、两条平行直线的距离公式
C −C
两平行直线Ax+By+C =0与Ax+By+C =0间的距离d = 1 2
1 2
A2 +B2
《必修2》第四章 圆与方程
1、圆的标准方程
设圆心坐标为(a,b)，半径为r，则圆的标准方程为：(x−a)2 +(y−b)2 =r2
特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：x2 + y2 =r2
2、圆的一般方程
（1）当D2 +E2 −4F 0时，方程x2 + y2 +Dx+Ey+F =0叫做圆的一般方程，
D E D2 +E2 −4F
其中圆心为(− ,− ) 半径为 .
2 2 2
（2）用待定系数法求圆的方程的大致步骤
根据题意选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a,b,r或D,E,F 的方程组；
解出a,b,r或D,E,F，代入标准方程或一般方程.
3、点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d ，半径为r.
d r 点P在圆内 d =r 点P在圆上 d r 点P在圆外
4、直线与圆的位置关系
（1）代数法：
直线与圆的方程联立消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，此方程的判别式为，则
直线与圆相交 0 直线与圆相切 =0 直线与圆相离 0
13 / 47（2）几何法：
设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则
直线与圆相交 d r 直线与圆相切 d =r 直线与圆相离 d r
5、圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含．
6、圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r ,r ，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d 与r ,r r −r  d  r +r
1 2 d  r +r d = r +r 1 2 1 2 d = r −r 0 d  r −r
1 2 1 2 1 2 1 2
的关系
(2)代数法
联立两圆的方程组成方程组．
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
7、过圆上一点(x ,y )的圆的切线方程的求法
0 0
1
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为− ，由点斜式可得切线方程．如果斜
k
率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y= y 或x= x .
0 0
8、过圆外一点(x ,y )的切线方程的求法
0 0
设切线方程为y−y =k(x−x )，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k ，也就得切线方
0 0
程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x= x ，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情
0
况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
9、求切线长最小值的两种方法
①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；②(几
何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
10、一般地过直线 Ax+By+C =0与圆C:x2 + y2 +Dx+Ey+F =0交点的圆系方程可设为：
x2 + y2 +Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程．
11、 一般地过圆C ：x2 + y2 +Dx+E y+F =0与圆C ：x2 + y2 +D x+E y+F =0的交点的
1 1 1 1 2 2 2 2
14 / 47圆的方程可设为x2 + y2 +Dx+E y+F +(x2 + y2 +D x+E y+F )=0(−1)，然后再由其
1 1 1 2 2 2
他条件求出，即可得圆的方程．
12、两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C ：x2 + y2 +Dx+E y+F =0与圆C ：x2 + y2 +D x+E y+F =0相交，则两圆公共弦
1 1 1 1 2 2 2 2
所在直线的方程为(D −D )x+(E −E )y+F −F =0.
1 2 1 2 1 2
13、公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾
股定理求解．
14、求弦长的两种方法
涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：
l
①由于半径长r，弦心距d ，弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2 +( )2 =r2求解．
2
②联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横
1.简单随机抽样
（1）总体和样本
总体：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．
个体：把每个研究对象叫做个体．
总体容量：把总体中个体的总数叫做总体容量．
为了研究总体x的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：x ,x ,x ,x 研究，我们称它为样本．其
1 2 3 n ．．
中个体的个数称为样本容量。
．．．．
（1）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽
取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，
彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之
间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
（3）简单随机抽样常用的方法：
①抽签法；②随机数表法；③计算机模拟法；④使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：总体变异情况；允许误差范围；概率保证程度。
2、系统抽样
（1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采
用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规
则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，
15 / 47说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施
也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量
的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
3、分层抽样
（1）分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个
类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成
总体的样本。
（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样
本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
（3）分层的比例问题：
①按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
②不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主
要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要
先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结
构。
4、用样本的数字特征估计总体的数字特征
x +x ++x
（1）本均值：x = 1 2 n
n
(x −x)2 +(x −x)2 ++(x −x)2
（2）样本标准差：s = s2 = 1 2 n
n
（3）用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到
的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和
标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当
样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。
说明：①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x−3s,x+3s)的应用；“去掉一个最高分，
去掉一个最低分”中的科学道理
《必修3》第三章 概率
1、随机事件的概率及概率的意义
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
16 / 47（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件
n
A出现的次数n（A）为事件A出现的频数；称事件A出现的比例f (A)= A 为事件A出现的概率：
n
n
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f (A)稳定在某个常数上，把这
n
个常数记作P（A），称为事件A的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n（A）与试验总次数n的比
n
值 A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度
n
越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
2、概率的基本性质
概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件 A 与 B 为对立事件，则
A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
基本性质：
（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
（2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
（3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—
P(B)；
（4）互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，
其具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事
件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情
形：事件A发生B不发生；事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3、古典概型及随机数的产生
（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
A包含的基本事件数
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
总的基本事件个数
4、几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
17 / 47构成事件A的区域长度（面积或体积）
P（A）= ；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
（3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出
现的可能性相等．
《必修4》第一章 三角函数
1、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象
．．．
限角．
．．
 
第一象限角的集合： k360 k360 +90 ,k
 
第二象限角的集合： k360 +90 k360 +180 ,k
 
第三象限角的集合： k360 +180 k360 +270 ,k
 
第四象限角的集合： k360 +270 k360 +360 ,k
2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在坐标轴上，则称为轴线角．
．．．
 
终边在x轴上的角的集合： =k180 ,k
 
终边在y轴上的角的集合： =k180 +90 ,k
   
终边在y = x上的角的集合： =k180 +45,kZ 或 =k180 +225,kZ
   
终边在y =−x上的角的集合： =k180−45,kZ 或 =k180 +135,kZ
 
终边在坐标轴上的角的集合： =k90 ,k
 
终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合： =k45,kZ

3、已知角终边的象限，求 终边所在象限（八卦图解决）
2

第一象限 为第一、三象限角
2

第二象限 为第一、三象限角
2

第三象限 为第二、四象限角
2

第四象限 为第二、四象限角
2
4、与角终边相同的角的集合
 
=2k+,k 即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度（rad ）．
18 / 47一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
6、弧度制与角度制的换算公式

2=360 ； =180； =90； ……
2
 180
1 = ； 1=   57.3 ．
180   
7、若扇形的圆心角为(为弧度制)
，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S
1 1
则弧长l =r； 周长C =2r+l
； 扇形面积
S = lr = r2
2 2
 
8、特殊角的三角函数值表( 0,2 内的特殊角）
角度
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
函数
    2 3 5 3
角的弧度 0  2
6 4 3 2 3 4 6 2
1 2 3 3 2 1
sin 0 1 0 −1 0
2 2 2 2 2 2
3 2 1 1 2 3
cos 1 0 − − − −1 0 1
2 2 2 2 2 2
3 3
tan 0 1 3 − 3 −1 − 0 0
3 3
9、单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O(0,0)为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
10、设是一任意角，的终边上任意一点(非顶点)P(x,y)，点P(x,y)到原点的距离为r，
( ) y x y y
其中r = x2 + y2 0 ，则sin= , cos= , tan= .
r r x
P T
11、三角函数在各象限的符号：一象限全为正，二象限正弦为正，三象限正
v
切为正，四象限余弦为正． O M A x
12、三角函数线：sin= MP（正弦线），cos= OM （余弦线），
tan= AT （正切线）． 三角函数线：MP、OM、AT
13、同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2a+cos2a=1 sin= 1−cos2 cos= 1−sin2
sina 
商的关系： = tana(a  k+ ,kZ)
cosa 2
1
倒数关系：tan=
cot
19 / 4715、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函 y =sinx y=cosx y=tanx
性 数
质
图象
  
定义域 R R x xk+ ,k
 2 
值域
−1,1 −1,1
R

当x=2k+ (k)
2
当x=2k(k)时，
时，y =1；当
max
最值 y =1；当x=2k+ 既无最大值也无最小值
max

x=2k−
2 (k)时，y =−1．
min
(k)时，y =−1．
min
周期性 T =2 T =2 T =
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
  
在 2k− ,2k+
 
 2 2 在2k−,2k(k)
  
(k)上是增函数； 上是增函数； 在 k− ,k+ 
 2 2
单调性
  3 在2k,2k+(k)
在 2k+ ,2k+ (k)上是增函数．
 
 2 2 
上是减函数．
(k)上是减函数．
对称性 对称中心(k,0) (k) 对称中心    k+  2 ,0    (k) 对称中心    k 2  ,0    (k)

对称轴x=k+ (k)
2 对称轴x = k(k) 无对称轴
注意：y =sinx周期为2；y=|sinx|周期为；y=|sinx+k|周期为2；y=sin|x|不是周期
函数.
14、函数的诱导公式（公式一〜公式六）（口诀：奇变偶不变，符号看象限）：
公式一：sin(2k+)= sin， cos(2k+)= cos， tan(2k+)= tan（kZ) .
公式二：sin(+)= −sin， cos(+)= −cos， tan(+)= tan ．
20 / 47公式三：sin(−)= −sin， cos(−)= cos， tan(−)= −tan ．
公式四：sin(−)= sin， cos(−)= −cos， tan(−)= −tan ．
   
公式五：sin( −)= cos， cos  −  = sin， tan( −)= cot ．
2  2  2
   
公式六：sin( +)= cos， cos  +  = −sin， tan( +)= −cot ．
2  2  2
3 3 5
另：sin( +)=−cos cos( −)=−sin tan( +)=−cot
2 2 2
16、得到函数y= Asin(x+)图像的方法
y=sinx⎯平⎯移⎯变换⎯→y=sin(x+)⎯周⎯期⎯变换⎯→y=sin(x+)⎯振⎯幅⎯变换⎯→y= Asin(x+)

向左或向右平移| |个单位
y=sinx⎯周⎯期⎯变换⎯→y=sinx⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y=sin(x+)⎯振⎯幅⎯变换⎯→y= Asin(x+)
17、简谐运动
 )
①解析式：y = Asin(x+),x 0,+ ；
②振幅：A就是这个简谐运动的振幅（A0)；
2
③周期：T =

1 
④频率： f = = ；⑤相位和初相：x+称为相位，x=0时的相位称为初相.
T 2
说明：为x前面的系数；在物理学上它叫角频率=2 f(0).
《必修4》第二章 平面向量
1、向量的有关概念
(1)向量的定义：既有大小又有方向的量；
(2)向量的长度（向量的模）：向量的大小（起点与终点的距离）；
(3)零向量：长度等于零的向量；
(4)单位向量：长度等于1个单位的向量
(5)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量；
(6)相等向量：长度相等方向相同的向量；
(7)相反向量：长度相等方向相反的向量
2、向量运算
(1)加减法法则（如右图）：
(2)①AB+BC＝AC，AB+BA＝0，AB− AC＝CB，
→ → →
②A A ＋A A ＋……＋A A ＋A A ＝0，③ a − b  ab  a + b
1 2 2 3 n－1 n n 1
21 / 473、共线向量定理：
向量a//b 存在唯一一个实数，使得a=b(b0)
4、平面向量基本定理：
如果e ,e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数
1 2
,,使a=e +e .
1 2 1 1 2 2
5、向量的夹角（共起点）：
a,b0,180（a,b表示a与b的夹角）；
6、平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i, j作为基底，对任一向量a，有
唯一一对实数x,y，使得：a= xi+ yj，那么(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y)；
7、向量共线的坐标表示：设a=(x ,y ),b=(x ,y )，其中b0，则a,b共线 x y −y x =0.
1 1 2 2 1 2 1 2
8、数量积的有关概念：两个非零向量a与b
→ →
(1)过O点作OA＝a，OB＝b，则AOB=叫做向量a与b的夹角；夹角范围是0,180
.

(2)a与b的夹角为= 时，叫a ⊥b.
2
(3)若a与b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cosθ.
(4)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则ab = x x + y y
1 1 2 2 1 2 1 2
(5)a在b的方向上的投影为： a cosa,b； b在a的方向上的投影为： b cosa,b.
(6)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，夹角为θ，
1 1 2 2
ab x x + y y
则 a ＝ x2 + y2 ， cosθ＝ = 1 2 1 2
1 1
a  b x2 + y2  x 2 + y 2
1 1 2 2
(7)
a ⊥b⇔x
1
x
2
+ y
1
y
2
=0；a//b⇔x
1
y
2
−x
2
y
1
=0；
2 2 2 2
(8)
a2= a = aa； ab =(ab)2 =a 2ab+b
9、数量积满足的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
22 / 47(1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
《必修4》第三章 三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）sin(α＋β)＝sincos+cossin； （2）cos(α＋β)＝coscos−sinsin；
tan+tan
（3）tan(α＋β)＝ ； （4）sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(−)；
1−tantan
tanα－tanβ
（5）cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(−)； （6） ＝tan(−)
1＋tanαtanβ
2、辅助角公式
b a
asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)，（其中sinφ＝ ，cosφ＝ ）；
a2 +b2 a2 +b2
3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sincos； (2)cos2α＝cos2−sin2＝2cos2−1＝1−2sin2；
2tanα kπ π π
(3)tan2α＝ (α≠ ＋ 且α≠kπ＋ )．
1－tan2α 2 4 2
4、半角公式
α 1−cos α 1+cos α 1−cos sinα 1－cosα
(1)sin ＝ ；(2)cos ＝ ； (3)tan ＝ ＝ ＝ .
2 2 2 2 2 1+cos 1＋cosα sinα
5、万能公式（了解）
2sincos 2tan cos2−sin2 1−tan2
sin2= = cos2= =
sin2+cos2 1+tan2 sin2+cos2 1+tan2
《必修5》 第一章 解三角形
1、正弦定理及性质
a b c
＝ ＝ ＝2R. （其中R为△ABC外接圆半径）．
sinA sinB sinC
常用变形：① a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC;
a b c
②sinA＝ , sinB＝ , sinC＝ ;
2R 2R 2R
2aR
③ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
a+b+c a b c
④ = = = =2R.
sinA+sinB+sinC sinA sinB sinC
23 / 472、余弦定理及变形
a2 =b2 +c2 −2bccosA； b2 =a2 +c2 −2accosB； c2 =a2 +b2 −2abcosC
b2 +c2 −a2 a2 +c2 −b2 a2 +b2 −c2
cosA＝ ； cosB＝ ； cosC＝ ；
2bc 2ac 2ab
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.
3、三角形常用面积公式
1
①S＝ a·h (h 表示a边上的高);
2 a a
1 1 1 abc
②S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA＝ ;
2 2 2 4R
1
③S＝ r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
2
《必修5》第二章 数 列
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
2、等差中项
(1) 前提：三个数a,A,b成等差数列；(2) 结论：A叫做a,b的等差中项；(3)满足的关系式：2A=
a+b．
3、等差数列递推公式和通项公式
递推公式 通项公式
a −a =d(d为常数nN) a =a +(n−1)d(nN)
n+1 n n 1
4、等差数列的性质
（1）两项关系：a =a +(n−m)d(m,nN).
n m
（2）多项关系：若m+n= p+q(m,n,p,qN)，则a +a = a +a ，特别地，若m+n =2p，
m n p q
则a +a = 2a .
m n p
 
(3) 若 a 是公差为d的等差数列，则下列数列：
n
①{c＋a }(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
n
 
② ca (c为任一常数)是公差为cd的等差数列.
n
   
(4) 若 a ， b 分别是公差为d ,d 的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 pd1＋
n n 1 2
24 / 47     
qd2的等差数列；特别地， a ， b 分别是公差d ,d 的等差数列，则 a +b 是公差为d +d
n n 1 2 n n 1 2
的等差数列．
5、等差数列前n项和公式：
n(a +a ) n(n−1)
S ＝ 1 n ＝na + d（d 为等差数列  a  的公差）.
n 2 1 2 n
6、数列前n项和S 与a 的关系
n n
(1) S 记法：数列{a }中，前n项和记为S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a .
n n n 1 2 3 n－1 n
S
1
（n＝1）
(2) a 与S 的关系：若数列的前n项和为S ，则通项公式a ＝ .
n n n n
S
n
－S
n－1
（n≥2）
7、等差数列的前n项和的主要性质
（1）S ,S −S ,S −S ,…成等差数列(等差数列中依次n项和成等差数列)；
n 2n n 3n 2n
S a
（2）若S ,T 分别为等差数列  a  ,  b  的前n项和，则 2n−1 = n .
n n n n T b
2n−1 n
8、等比数列的定义
⑴ 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q 0)．
9、等比中项
(1) 前提：三个数a,G,b成等比数列；(2) 结论：G 叫做a,b的等比中项；(3)满足的关系式：G2 =ab．
10、等比数列递推公式和通项公式
递推公式 通项公式
a
n+1 = q(q为非零常数nN) a =a qn−1(nN)
a n 1
n
11、等比数列的通项公式与指数函数
⑴ 等比数列的通项公式a =a qn−1可以看作是指数型函数y =cqx.
n 1
⑵ 等比数列的增减性：
 
①当q 1,a 0或0 q 1,a 0时，等比数列 a 是递增数列;
1 1 n
 
②当q 1,a 0或0 q 1,a 0时，等比数列 a 是递减数列;
1 1 n
 
③当q =1时，等比数列 a 是常数列;
n
25 / 47 
④当q0时，等比数列 a 是摆动数列．
n
12、等比数列的性质
 
若数列 a 是公比为q (q 0)的等比数列，则
n
⑴ a =a qn−m(m,nN)；
n m
⑵ 若m+n= p+q =2k(m,n,p,q,kN)，则a a = a a = a 2；
m n p q k
 
⑶ 等比数列 a 的奇数项同号，偶数项同号；
n
 
⑷ ca (c  0)是公比为q的等比数列；
n
 
⑸ a 是公比为 q 的等比数列；
n
    
⑹ 若 a , b 分别是公比为q ,q 的等比数列，则数列 a b 是公比为q q 的等比数列.
n n 1 2 n n 1 2
13、等比数列前n项和公式
 na (q =1)
1

 
S =a (1−qn) a −a q （q为等比数列 a 的公比）.
n 1 = 1 n (q 1) n

 1−q 1−q
14、等比数列的前n项和的主要性质
（1）S ,S −S ,S −S ,…成等比数列(等比数列中依次n项和成等比数列)；
n 2n n 3n 2n
a (1−qn) a a
（2）当等比数列  a  公比q 1时，则S = 1 = 1 − 1 qn，所以若S = A+Bqn，
n n 1−q 1−q 1−q n
则A+B =0.
《必修5》第三章 不等式
1、两个实数比较大小的方法
（1）作差法：a−b0ab；a−b=0a=b；a−b0ab (a,bR).
（2）作商法：
a a
① 1 a b(aR,bR+)； ② =1 a =b(aR,bR+)
b b
a
③ 1 a b(aR,bR+).
b
2、不等式的性质
1. 双向性：①abba； ②aba+cb+c
2. 单向性 ：
（1）传递性：ab,bcac；
26 / 47（2）同向可加性：ab,cd a+cb+d
（3）同向可乘性：
①ab,c0acbc， ②ab,c0acbc；
③ab0,cd 0acbd ； ④ab0an bn(n,n1)；
⑤ab0 n a  n b(n,n1)．
3、不等式的一些常用结论
1 1 1 1
（1）倒数性质：a b,ab0  ； a 0b  .
a b a b
b−m b b+m
（2）分数性质：若a b 0,m0，则   (b−m0)（“糖水”不等式）
a−m b a+m
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
1 3 1
①舍去或加上一些项，如：(a+ )2 + (a+ )2.
2 4 2
②将分子或分母放大（缩小），
1 1 1 1 2 2 1 2
 ,  , =   ,
k2 k(k−1) k2 k(k+1) 2 k k + k k k + k−1
如
1 2
 (kN*,k 1)
k k + k+1
等.
5、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系（三个“二次”）：
判别式=b2 −4ac  0  =0 0
二次函数y=ax2 +bx+c
(a 0)的图象
有两个相异实数根 有两个相等实数根
一元二次方程ax2 +bx
−b  b 没有实数根
+c=0 (a0)的根 x = (x x ) x = x =−
1,2 2a 1 2 1 2 2a
27 / 47ax2 +bx+c0
 b 
 x x x或x x  x x−  R
一元二次不
(a0) 1 2  2a
等式的解集
ax2 +bx+c0
 
x x  x x  
(a0) 1 2
6、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式ax2 +bx+c0（或0）(a0,=b2 −4ac0)解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数； 二判：判断对应方程的根；
三求：求对应方程的根； 四画：画出对应函数的图象；
五解集：根据图象写出不等式的解集；
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
7、含参数的不等式的解法
解形如ax2 +bx+c0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
（1）讨论a与0的大小；（2）讨论与0的大小；（3）讨论两根的大小.
8、高次不等式的解法：穿根法（了解）
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶不穿），结合原式不等号的方向，写出不
等式的解集.
9、分式不等式的解法（了解）：先移项通分标准化
f(x)
0 f(x)g(x)0
g(x)
f(x) f(x)g(x)0
0 
g(x) g(x)0 “或”
则 （ 时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
10、无理不等式的解法（了解）：转化为有理不等式求解
f(x)0 f(x)0
f(x) a(a0) f(x) a(a0)
f(x)a2 f(x)a2
⑴ ⑵
f(x)0 f(x)0
 f(x)0 
f(x)  g(x)g(x)0 或 f(x)  g(x)g(x)0

g(x)0

f(x)[g(x)]2 f(x)[g(x)]2
⑶ ⑷
28 / 47f(x)0

f(x)  g(x) g(x)0

f(x) g(x)
⑸
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
11、指数不等式的解法：
a 1 af(x) ag(x)  f(x) g(x) 0a1 af(x) ag(x)  f(x) g(x)
⑴当 时, ；⑵当 时,
规律：根据指数函数的性质转化.
12、对数不等式的解法
a 1 0a1
⑴当 时, ⑵当 时,
f(x)0 f(x)0
 
log f(x)log g(x) g(x)0 log f(x)log g(x)g(x)0 .
a a a a
 
f(x) g(x) f(x) g(x)
 
规律：根据对数函数的性质转化.
13、恒成立问题
ax2 +bx+c0
（1）不等式 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当a=0时b=0,c0
a0
②当a0时
0
（2）不等式ax2 +bx+c0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当a=0时b=0,c0
a0
②当a0时
0
（3） f(x)a恒成立 f(x) a， f(x)a恒成立 f(x) a
max max
（4） f(x)a恒成立 f(x) a， f(x)a恒成立 f(x) a
min min
14、基本不等式
a2 +b2
若aR，bR，则a2 +b2 2ab，即 ab（当且仅当a =b时等号成立）．
2
a+b
若a0，b0，则a+b2 ab，即  ab （当且仅当a =b时等号成立）．
2
(a+b)2
变形公式：a2 +b2  2ab （请重视它们的变形使用）
2
29 / 47平均不等式（了解）：
2 a+b a2 +b2
 ab   (a,b 0，当且仅当a =b时等号成立）
1 1 2 2
+
a b
从左往右依次是正数a,b的调和平均数，几何平均数，算数平均数，平方平均数
15、利用基本不等式求最值问题
设x、y都为正数，则有
s2
⑴ 若x+ y =s（和为定值），则当x= y时，积xy取得最大值 ．
4
⑵ 若xy = p（积为定值），则当x= y时，和x+ y取得最小值2 p ．
注意：在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正──各项都是正数；二定──和或积为定
值；三相等──等号能取得”，这三个方面缺一不可.
《选修2-1》第一章 常用逻辑用语
1、命题 充分条件、必要条件
若 pq，则 p是q的充分条件，q是 p的必要条件．
若 p q，则 p是q的充要条件（充分必要条件）．
2、全称命题和特称命题
（1）全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 
（2）全称命题和特称命题
名称
全称命题 特称命题
形式
结构 对M 中任意一个x，有 p(x)成立 存在M 中的一个x ，使 p(x )成立
0 0
简记 xM,p(x) x M,p(x )
0 0
否定 x M,p(x ) xM,p(x)
0 0
（3）记准两类否定: ①(pq)(p)(q) ②(pq)(p)(q)．
《选修2-1》第二章 圆锥曲线方程
1、曲线方程
30 / 47求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化
①建立适当的直角坐标系；②设动点M(x,y)及其他的点；
③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。
2、椭圆的定义
平面内与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭
1 2 1 2
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a>0，
1 2 1 2
c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集．
3、椭圆的标准方程和几何性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 ＋ ＝1 (a>b>0) ＋ ＝1 (a>b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A (－a，0)，A (a,0) A (0，－a)，A (0，a)
1 2 1 2
顶点
B (0，－b)，B (0，b) B (－b,0)，B (b,0)
1 2 1 2
轴 长轴A A 的长为2a；短轴B B 的长为2b
1 2 1 2
性
焦距 |F F |＝2c
1 2
质
c b2
离心率 e= = 1− (0e1)
a a2
a，b，c的关系 a2 =b2 +c2（a最大）
a2 a2
准线方程 x= y=
c c
4、点P(x ,y )和椭圆的关系
0 0
x2 y2 x2 y2
(1)点P(x ，y )在椭圆内⇔ 0＋ 0 <1. (2)点P(x ，y )在椭圆上⇔ 0＋ 0＝1.
0 0 a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2
(3)点P(x ，y )在椭圆外⇔ 0＋ 0 >1.
0 0 a2 b2
5、椭圆第二定义（了解）
设是椭圆上任一点，点到F 对应准线的距离为d ，点 到F 对应准线的距离为d ，则
1 1 2 2
F F
1 = 2 =e
d d
1 2
31 / 476、焦半径（了解）
椭圆上的点 P(x ，y )与左(下)焦点 F 与右(上)焦点 F 之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记
0 0 1 2
作r ＝|PF |，r ＝|PF |.
1 1 2 2
x2 y2
① ＋ ＝1(a>b>0)，r ＝a＋ex ，r ＝a－ex ；
a2 b2 1 0 2 0
y2 x2
② ＋ ＝1(a>b>0)，r ＝a＋ey ，r ＝a－ey ；
a2 b2 1 0 2 0
③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
7、椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x ，y )与两焦点构成的△PF F 叫作焦点三角形．r ＝|PF |，r ＝|PF |，∠F PF ＝θ，
0 0 1 2 1 1 2 2 1 2
 x2 y2
△PF F 的面积为S，S =b2tan ，则在椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)中：
1 2 PF 1 F 2 2 a2 b2
①当r ＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
θ
②S＝b2tan ＝c|y |，当|y |＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
2 0 0
8、焦点弦(过焦点的弦)：
2b2
焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l ＝ .
min a
x2 y2
9、AB为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的弦，A(x ，y )，B(x ，y )，弦中点M(x ，y )，则
a2 b2 1 1 2 2 0 0
①弦长l＝ 1＋k2|x －x | 1+k2 (x +x )2 −4x x （弦长公式）
1 2 1 2 1 2
1 1
或弦长l＝ 1＋ |y －y |= 1+ (y + y )2 −4y y （弦长公式）
k2 1 2 k2 1 2 1 2
b2x
②直线AB的斜率k ＝－ 0 .
AB a2y
0
10、双曲线的定义
平面内与两定点F,F 的距离差的绝对值等于常数2a(02a FF =2c)的点的轨迹叫双曲线.两
1 2 1 2
定点F,F 是焦点，两焦点间的距离 FF 是焦距，用2c表示，常数用2a表示.
1 2 1 2
11、双曲线定义的集合表示
 
P= M MF − MF =2a,2a FF =2c
1 2 1 2
12、双曲线的标准方程、图象和性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
32 / 47双曲线在
坐标系中
的位置
x2 y2 y2 x2
标准方程 − =1(a 0,b0) − =1(a0,b0)
a2 b2 a2 b2
焦点坐标 F(−c,0),F (c,0) F(0,−c),F (0,c)
1 2 1 2
焦距 FF =2c (c2 =a2 +b2)
1 2
(   ) (   )
范围 x −,−a  a,+ y −,−a  a,+
顶点 (a,0) (0,a)
轴长 虚轴长2b，实轴长2a
( )
对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点 0,0
对称性
c b2
e= = 1+ (e0)
离心率 a a2
x y b x y a
渐近线  =0或(y = x)  =0或(y = x)
a b a b a b
a2 a2
准线方程 x= y=
c c
13、等轴双曲线
（1）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2 −y2 =(0)
（2）等轴双曲线离心率e= 2 两条渐近线方程为y=x相互垂直.
x2 y2
14、点P(x ,y )和双曲线 − =1(a0,b0)的关系
0 0 a2 b2
x2 y2 x2 y2
（1）P在双曲线内（含焦点部分） 0 − 0 1； （2）P在双曲线上 0 − 0 =1
a2 b2 a2 b2
x2 y2
（3）P在双曲线外（不含焦点部分） 0 − 0 1
a2 b2
15、双曲线第二定义（了解）
设是双曲线上任一点，点到F 对应准线的距离为d ，点到F 对应准线的距离为d ，则
1 1 2 2
F F
1 = 2 =e
d d
1 2
33 / 4716、双曲线焦点三角形：P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F ，F 分别为双曲线的左、右
1 2
1
焦点，则S△PF F ＝b2· ，其中θ为∠F PF .
1 2 θ 1 2
tan
2
17、重要结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
（2）若P是双曲线右支上一点，F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF | ＝a＋c，|PF | ＝c－
1 2 1min 2min
a.
2b2
（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为 ，异支的弦中最短的为实
a
轴，其长为2a.
（4）设P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中 A，B 关于原点对称，直线 PA，PB 斜率存在且
b2
不为0，则直线PA与PB的斜率之积为 .
a2
18、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线
(1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上．
19、抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2 =2px(p0) y2 =−2px(p0) x2 =2py(p0) x2 =−2py(p0)
方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
p p p p
焦点 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2
离心率 e=1
准线 p p p p
x=− x= y=− y =
方程 2 2 2 2
范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR
开口方向 向右 向左 向上 向下
20、关注抛物线中与焦点弦有关的几个常用结论
p
如图， AB为抛物线 y2 =2px(p0)的焦点弦， A(x ,y )，B(x ,y )，焦点F( ,0)，准线l：
1 1 2 2 2
34 / 47p
x=− ，AC ⊥l,BD⊥l，且M,N分别为AB,CD的中点，则：
2
p2
（1）y y =−p2，x x = （2）CFD=900，NF ⊥ AB,AN ⊥BN
1 2 1 2 4
（3） AB = x +x + p
1 2
p p 2p
（4）AF = ，BF = ，AB = （为直线l的倾斜角）
1−cos 1+cos sin2
1 1 2
（5） + = （定值）
AF BF p
（6）以AB为直径的圆必与准线相切，以AF 或BF为直径的圆与y轴相切．
p p2
（7）直角梯形的对角线交于原点O，且S =S = y − y =
AOB COD 4 1 2 2sin
1 1
（8） MN 被抛物线平分，即R为MN 的中点 （9） RF = MN = AB
2 4
（10）若过抛物线焦点弦的两个端点作抛物线的切线，则两条切线的交点一定在此抛物线的准线上
若过抛物线准线上任意一点做抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点（定点）等
《选修2-1》第三章 空间向量与立体几何
1、空间向量的概念
（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的
方向．
（3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作 ．

（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．
（5）与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a．
（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法
（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点
的两个已知向量a、b 为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线
C
就是a与b 的和，这种求
向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作
=a
，
=b
，则=a−b．
35 / 473、实数与空间向量a的乘积
a
是一个向量，称为向量的数乘运算．当
0
时，
a
与a方向相同；
当0时，a 与a方向相反；当=0时，a 为零向量，记为0．a 的长度是a的长度的倍．
4、设，

为实数，a，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律： ( a+b ) =a+b；结合律：(a)=()a．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并
规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：
对于空间任意两个向量a，b ( b 0 )，a//b 的充要条件是存在实数，使a =b．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：
空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使=x+yC；或对空间任一
定点，有=+x+yC；或若四点，，，C共面，则=x+y+zC(x+y+z=1)．
9、已知两个非零向量a和b ，在空间任取一点，作=a，
=b
，则称为向量a，b 的
夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．
10、 对于两个非零向量a和b ，若 ，则向量a，b 互相垂直，记作a ⊥b ．
a,b=
2
11、 已知两个非零向量a和b ，则 a b cosa,b称为a，b 的数量积，记作ab ．即
ab = a b
cosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．
12、 ab 等于a的长度 a 与b 在a的方向上的投影b cosa,b的乘积．
13、 若a，b 为非零向量，e 为单位向量，则有
(1) ea=ae = a cosa,e ； (2) a ⊥b ab =0 ； (3)   a b ( a与b同向 ) ， aa= a2 ，
ab =
( )
− a b a与b反向

36 / 47a = aa
；(4)
cosa,b=
ab ；(5)
ab  a b
a b
14、量数乘积的运算律
(1) ab =ba； (2) (a)b = ( ab ) =a ( b )； (3)( a+b ) c =ac+bc．
15、空间向量基本定理
若三个向量a，b ，c 不共面，则对空间任一向量 p，存在实数组x,y,z，使得p=xa+yb+zc．
16、三个向量a，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是
p p=xa+yb+zc,x,y,zR
．这个集
合可看作是由向量a，b ，c 生成的， a,b,c 称为空间的一个基底，a，b ，c 称为基向量．空间任
意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
17、设e ，e ，e 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e ，e ，
1 2 3 1 2
e 的公共起点为原点，分别以e ，e ，e 的方向为x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标
3 1 2 3
系xyz．则对于空间任意一个向量 p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量
= p．存在有序实数组x,y,z，使得p=xe +ye +ze ．把x，y，z称作向量 p在单位正交基底
1 2 3
e ，e ，e 下的坐标，记作 p=(x,y,z)．此时，向量 p的坐标是点在空间直角坐标系 xyz 中的坐
1 2 3
标(x,y,z)．
18 、 设 a=(x,y ,z ) ， b =(x ,y ,z ) ， 则 （ 1 ） a+b =(x +x ,y +y ,z +z ) ． （ 2 ）
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
a−b =(x −x ,y −y ,z −z )．
1 2 1 2 1 2
（3）a=(x,y ,z )． （4）ab =xx +y y +z z ．
1 1 1 1 2 1 2 1 2
（5）若a、b 为非零向量，则a⊥b ab =0xx +y y +zz =0．
1 2 1 2 1 2
（6）若b 0，则a//b a=b  x =x ,y =y ,z =z ．（7） a = aa = x2+y2+z2 ．
1 2 1 2 1 2 1 1 1
（8） ab xx +y y +zz ．
cosa,b= = 1 2 1 2 1 2
a b x2+y2+z2 x2+y2+z2
1 1 1 2 2 2
（9）(x,y,z )，=(x ,y ,z )，则d =  = (x −x )2+(y −y )2+(z −z )2 ．
1 1 1 2 2 2  2 1 2 1 2 1
19、 直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．
20、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b ，
37 / 47则a//ba//b  a=b(R)，a⊥ba⊥b ab =0．
21、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，
则a//a//a⊥nan=0，a⊥a⊥a//na=n．
22、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为 a ， b ，则//a//ba=b ，
⊥a⊥b ab =0．
23、空间向量与空间角、空间距离
角的分类 向量求法 范围
设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a,b，
异面直线  
ab 0,

所成的角 则：cos= cosa,b =  2
a b
设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量
直线与平
 
面所成的 an 0,
 
为n，则：sin= cosa,n =  2
角 a  n
设二面角−l−的平面角为，平面，的法向量分别为m，n，
 
二面角 mn 0,
则： cos= cosm,n =
m  n
点P是平面外一点，A是平面内的一定点，n为平面的一个法
向量，则点到平面的距离为
点到平面
的距离 PAn
d = PA cos PA,n =
n
《选修2-2》第一章 导数及其应用
1、函数的平均变化率
y f f(x )− f(x ) f(x +x)− f(x )
平均变化率为 = = 2 1 = 1 1
x x x −x x
2 1
注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念
38 / 47y f(x +x)− f(x )
函数y= f(x)在x = x 处的瞬时变化率是 lim = lim 0 0 ，则称函数y= f(x)在点x
0 x→0x x→0 x 0
处可导，并把这个极限叫做 y= f(x) 在 x 处的导数，记作 f '(x )或 y' | ，即 f '(x ) =
0 0 x=x 0
0
y f(x +x)− f(x )
lim = lim 0 0 .
x→0x x→0 x
3、平均变化率和导数的几何意义
函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4、常见的函数导数公式
函数 导函数
y =c y'=0
y= xn ( nN*) y'=nxn−1
y=ax (a0,a1) y'=axlna
y=ex y'=ex
1
y=log x (a0,a1,x0) y'=
a xlna
1
y=lnx y'=
x
y =sinx y'=cosx
y=cosx y'=−sinx
5、常见的导数运算公式
若 f (x)，g(x)均可导（可积），则有：
和差的导数运算 f(x)g(x)' = f'(x)g'(x)
f(x)g(x)' = f'(x)g(x) f(x)g'(x)
积的导数运算
特别地：

Cf (x)

'=Cf '(x)
'
 f(x) f '(x)g(x)− f(x)g'(x)
 
= (g(x)0)
g(x) g(x)2
商的导数运算
 1  −g'(x)
特别地： '=
g(x) g2(x)
 
复合函数的导数 y  = y u 
x u x
6、用导数求函数单调区间的步骤
39 / 47①求函数f(x)的导数 f '(x)
②令 f '(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令 f '(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7、 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域； (2) 求函数f(x)的导数 f '(x) ；(3)求方程 f '(x)=0的根；
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f /(x)在
方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在
这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8、利用导数求函数的最值的步骤
 
求 f(x)在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：
 
（1）求 f(x)在 a,b 上的极值；
（2）将 f(x)的各极值与 f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点.
《选修2-2》第三章 数系的扩充和复数的引入
1、复数的概念
形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部， b叫虚部，数集C=a+bi|a,bR叫做
复数集。
规定：a+bi=c+di a=c且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
．
2、数集的关系
实数 (b=0)

复数Z  一般虚数(a0)

虚数 (b0)
  纯虚数(a=0)
3、复数的几何意义
答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
4、复平面
根据复数相等的定义，任何一个复数z = a+bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序
实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建
立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
40 / 475、复数的模
与复数z 对应的向量OZ 的模r叫做复数z = a+bi的模(也叫绝对值)记作 z或a+bi 。由模的定义
可知： z = a+bi = a2 +b2
6、复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：z =a+bi与z =c+di，则z z =ac+(bd)i。
1 2 1 2
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
．．
②复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i。
a+bi (a+bi)(c−di) ac+bd bc−ad
③复数的除法法则： = = + i 其中c−di叫做实数化因子
c+di (c+di)(c−di) c2 +d2 c2 +d2
7、共轭复数
两复数a+bi与a−bi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数，常见的运算规律。
(1) z = z ; (2)z+z =2a,z−z =2bi;
(3)zz = z2 = z 2 =a2+b2;(4)z =z;(5)z=z zR
(6)i4n+1 =i,i4n+2 =−1,i4n+3 =−i,i4n+4 =1;
(7)(1i)2 =i;(8)
1+i
=i,
1−i
=−i,


1i

2
=i
1−i 1+i  2 
−1+ 3i
(9)设= 是1的立方虚根，则1++2 =0，3n+1 =,3n+2 =,3n+3 =1
2
《选修2-3》第一章 计数原理
1、分类加法计数原理
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m 种不同的方法，在第二类办法中有m 种不
1 2
同的方法…在第n类办法中有m 种不同的方法。那么完成这件事情共有N =m +m ++m 种不
n 1 2 n
同的方法。
2、分步乘法计数原理
做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m 种不同的方法，做第二个步骤有m 种不同
1 2
的方法……做第n个步骤有m 种不同的方法。那么完成这件事情共有N =m m m 种不同
n 1 2 n
的方法。
3、排列的定义
( )
一般地，从n个不同的元素中任取m mn 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的
元素中任取m个元素的一个排列。
41 / 474、组合的定义
( )
一般地，从n个不同的元素中任取m mn 个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元
素的一个组合。
5、排列数（Am）
n
( )
从n个不同的元素中任取m mn 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元
素的排列数.
6、组合数(Cm)
n
( )
从n个不同的元素中任取m mn 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元
素的组合数.
7、排列数公式
n！
（1）Am =n ( n−1 )( n−2 )  ( n−m+1 ) 或Am = ；（2）An =n!，规定0!=1。
n n ( n−m ) ! n
8、组合数公式
n ( n−1 )( n−2 )  ( n−m+1 ) n！
（1）Cm = 或Cm = ；（2）Cm =Cn−m，规定C0 =1。
n m! n m! ( n−m ) ! n n n
9、排列与组合的区别
排列有顺序，组合无顺序。
10、排列与组合的联系
Am =CmAm，即排列就是先组合再全排列。
n n m
11、排列与组合的性质
（1）排列的性质公式：Am = Am +mAm−1（了解）（2）组合的性质公式：Cm =Cn−m；
n+1 n n n n
Cm =Cm +Cm−1
n+1 n n
12、二项式定理
( a+b )n =C0an +C1an−1b+C2an−2b2 ++Cran−rbr ++Cnbn( nN ) 。
n n n n n +
13、二项展开式的通项
42 / 47T
=Cran−rbr(
0r n,rN,nN
)
。
r+1 n +
14、
(
1+x
)n的展开式
( 1+x )n =C0xn +C1xn−1+C2xn−2 ++Cnx0，若令x=1，则有
n n n n
( 1+1 )n = 2n =C0 +C1 +C2 ++Cn。
n n n n
《选修2-3》第二章 随机变量及其分布
1、随机变量
在某试验中，可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化
的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量。
离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变
量。
2、概率分布列
要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道：
（1）X 所有可能取的值x ,x ,,x ；
1 2 n
（2）X 取每一个值x 的概率 p ,p ,,p ；
i 1 2 n
我们可以把这些信息列成表格（如此）：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
上表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。
3、二点分布
X 0 1
P 1− p p
43 / 47其中0 p1，则称离散型随机变量X 服从参数为 p的二点分布。
4、超几何分布
一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n ( n N ) 件，这n件
CmCn−m
中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P ( X =m ) = M N−M
Cn
N
（0ml ，l为n和M 中较小的一个）。我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超
几何分布，也称X 服从参数为N,M,n的超几何分布。
5、条件概率
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号
( )
P B A 来表示。
6、事件的交（积）
事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A和B的交（积）。
7、相互独立事件
( ) ( )
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P B A = P B ，这时我们称两个事件A和B相
互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。一般地，当事件A和B相互独时，A和B ，A和
B，A和B 也相互独立。
8、独立重复试验
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它为n次独立重复
试验。
9、独立重复试验的概率公式
一般地，事件A在n次试验中发生k次，共有Ck 种情形，由试验的独立性知A在k次试验中发
n
生，而在其余n−k
次试验中不发生的概率都是pk(
1−p
)n−k，所以由概率加法公式知，如果在一次试
验中事件A发生的概率是 p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P
(
k
) =Ckpk(
1− p
)n−k(
k =0,1,2,n
)
。
n n
10、二项分布
44 / 47在独立重复试验概率公式中，若将事件A发生的次数设为X ，事件A不发生的概率为q=1−p，则
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P ( X =k ) =Ckpkqn−k，其中k =0,1,2,n。于
n
是得到X 的分布列
X 0 1 … k … n
P
C0p0qn C1p1qn−1
…
Ckpkqn−k
…
Cnpnq0
n n n n
由于表中的第二行恰好是二项式展开式
( p+q )n =C0p0qn +C1p1qn−1+C2p2qn−2 ++Ckpkqn−k ++Cnpnq0
n n n n n
各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n,p的二项分布，记作X ~ B ( n,p ) 。
11、离散型随机变量的数学期望
一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取值是x ,x ,x ，这些值对应的概率是
1 2 n
( )
p ,p ,p ，则E X = x p +x p ++x p 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望
1 2 n 1 1 2 2 n n
（简称期望）。
( )
12、二点分布的数学期望 E X = p。
( )
13、二项分布的数学期望 E X =np。
nM
( )
14、超几何分布数学期望 E X = （了解）。
N
15、离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取值是x ,x ,x ，这些值对应的概率是
1 2 n
p ,p ,p ，则D
(
X
)
=
(
x −E
(
X
))2p
+
(
x −E
(
X
))2p
++
(
x −E
(
X
))2p
叫做这个离散型随机变量X
1 2 n 1 1 2 2 n n
的方差。
离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（离散程度）。
( ) ( )
16、二点分布的方差 D X = pq q=1− p 。
( ) ( )
17、二项分布的方差 D X =npq q=1− p 。
18、标准差
D ( X ) 的算术平方根 D ( X ) 叫做离散型随机变量X 的标准差。
19、期望和方差的性质
45 / 47期望的性质：E(aX +b)=aE(X)+b；方差的性质：D(aX +b)=a2D(X)
20、正态分布
正态变量概率密度曲线函数表达式： f ( x ) = 1 e − (x 2 −   2 )2 ,xR，
2
：期望 ，2：方差，越小，曲线越“瘦高”，越大，曲线越“矮胖”，
21、正态分布中的三原则
在正态分布中代表标准差，代表均值（数学期望）即x=为图象的对称轴
P(− X +)=0.6827
P(−2 X +2)=0.9545
P(−3 X +3)=0.9973
《选修2-3》第三章 统计案例
1、回归分析及步骤
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.
2、 线性回归模型与一次函数
一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
3、 残差（了解）
样本值与回归值的差叫残差，即eˆ = y − yˆ .
i i i
4、残差分析（了解）
通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分
析.
5、建立回归模型的基本步骤
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；
ˆ
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程yˆ =bx+aˆ）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），
若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
46 / 47ˆ
6、回归方程中的b,aˆ
n n
(x −x)(y − y) x y −nxy
i i i i
b ˆ = i=1 或b ˆ = i=1 ，aˆ = y−b ˆ x
n n
(x −x)2 x2 −nx 2
i i
i=1 i=1
7、如何根据观测数据判断两变量的相关性？
n（ad－bc）2
①根据观测数据计算由K2＝ 给出的检验随机变量K2的值 k，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大.
②当得到的观测数据a，b，c，d 都不小于5时，可以通过查阅下表来确定断言“X 与 Y 有关系”的
可信程度.
P(K2 k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
说明：当观测数据a，b，c，d 中有小于5时，需采用很复杂的精确的检验方法.
8、常用临界值
得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：
如果k 2.706，就有900 的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；
0
如果k 3.841，就有950 的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；
0
如果k 6.635，就有990 的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；
0
如果k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系．
47 / 47