(cid:1594)(cid:2217)数学(cid:2217)(cid:2957)(cid:4407)(cid:1316)(cid:99)(cid:2708)(cid:1316)和(cid:4030)(cid:1232)(cid:1316)(cid:1238)(cid:3476)(cid:3836)
（一）集合及常用逻辑用语
1. 学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如 ∈,̸∈,⊆,$,=,{ A,∪,∩
I
等等.
2. 强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，
注意运用 Venn 图和数轴表示集合及集合的元素.
3. 符号“∈,̸∈”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中体现点与直线（面）的关系；符号“⊆,̸⊂”是
表示集合与集合之间关系的，立体几何中体现面与直线（面）的关系.
4. 对于集合 A、B，当 A∩B =∅ 时，要注意到一个极端情况：A=∅ 或 B =∅；求集合的子集时，不
要忘记了 ∅；当研究 A⊆B 的时候，要考虑到 A=∅ 的情形；当 A∪B =A 时，要注意到 B =∅ 的情形.
{ }
(cid:127)(cid:2376) 1(cid:128) 已知 A= x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R ,A∩R+ =∅. 求 p 的取值范围.
(cid:127)分析(cid:128) A∩R+ =∅，容易理解为方程 x2+(p+2)x+1=0 的两根为非正，而忽视了 A=∅ 的可能，
此题应分为 A=∅，A 为单元素集合，A 含有两个非正元素三种情况讨论.（答案：p∈(−4,+∞)）
{ }
(cid:127)(cid:2376) 2(cid:128) 已知全集 U =R,B = x|x2+3(a+1)x+a2−1=0 ,A={−6,0}，若 A∪B =A，求实数
a 的值.
(cid:127)分析(cid:128) 满足 A∪B = A，有三种可能：（1）B = {−6,0}；（2）集合 B 只有一个元素，即 B = {−6}
( ]
3
或 B ={0}；（3）B =∅. （答案： − ,−1 ∪{1}）
5
5. 对于含有 n(n ∈ N ∗ ) 个元素的有限集合 M，其子集，真子集，非空子集，非空真子集的个数依次为
2n,2n−1,2n−1,2n−2.
6. 常用逻辑用语
（1）命题
命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”，“且”，“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命
题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 复合命题有三种形式：p 或 q；
p 且 q；非 p.
（2）复合命题的真值
“非 p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p 非 p
真 假
假 真
“p 且 q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
1p q p 且 q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
“p 或 q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q p 或 q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
（3）四种命题
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题. 若判断一个命题的真假较困难时，
可转化为判断其逆否命题的真假.
（4）条件
一般地，如果已知 p⇒q，那么就说：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件.
可分为四类：（1）p 是 q 的充分不必要条件，即 p ⇒ q，而 q ̸⇒ p；（2）p 是 q 的必要不充分条件，即
p̸⇒q，而 q ⇒p；（3）p 是 q 的既充分又必要条件，即 p⇒q，又有 q ⇒p；（4）p 是 q 的既不充分也不必要
条件，即 p̸⇒q，又有 q ̸⇒p.
一般地，如果既有p⇒q，又有q ⇒p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号，p⇔q 表示p⇒q 且q ⇒p.
这时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.
（5）全称命题与特称命题
这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 ∀ 表示. 含有全
称量词的命题，叫做全称命题.
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在
量词，并用符号 ∃ 表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题.
存在性命题的否定命题：命题 p:“∃x∈A 使 P(x) 成立”，¬p:“∀x∈A，有 P(x) 不成立”，它恰与全称
性命题的否定命题相反.
（二）函数
7. 求函数的解析式，特别是解应用题的函数式时，一定要注明定义域，在解题时，定义域至关重要.
8. 记住函数的几个重要性质
2（1）奇偶性
（2）单调性
（3）对称性
（4）周期性
9. 求方程或不等式的解集，或者求定义域、值域时，要按要求写成集合的形式.
10.“方程 ax2+bx+c = 0 有实数解”转化为“∆ = b2−4ac > 0”，你是否注意到“a ̸= 0”（除解决二
次方程的有关问题时要注意之外，在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，也常常遇到），在题目中没有指出是
“二次”函数、方程、不等式时，就要分类讨论 a=0,a̸=0 的不同情况，不要忽略 a=0 的讨论.
b
11. 函数 f(x)=ax+ ,(a>0,b>0) 的有关性质：
x
（1）定义域：(−∞,0)∪(0,+∞).
（2）奇偶性：奇函数.( √ ] [√ ) [ √ ) ( √ ]
b b b b
（3）单调性：在区间 −∞,− 和 ,+∞ 上单调递增， − ,0 和 0, 上单调递减.
a a a a
√ √
b b
（4）在定义域内的极值是 x = − 时有极大值，x = 时有极小值，在指定的定义域内的极值或最
a a
值要根据单调性或图象来判断.
b
（5）记住 f(x)=ax+ (a>0,b>0) 的图象的草图（如图）.
x
b b
（6）要能够类比得出 f(x)=ax2+ ,f(x)=axn+ (n∈N ∗ ) 的有关性质.
x2 xn
12. 是否掌握了指数函数和对数函数的性质和图象？在解指数函数和对数函数的有关问题时要注意“底”
的要求：a>0,a̸=1，在解对数函数的有关问题时，要注意定义域.
log b
13. 要记住对数恒等式：alog a N =N 和换底公式：log a b= log c a ，特别是
c
1 1
log b= =log =log bn.
a log b a a 1 b an
14. 画图象的方法和图象的变换方法
作以解析式表示的函数图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法.
3（1）运用描点法作函数图象的步骤：⃝1 确定函数的定义域；⃝2 化简函数的解析式；⃝3 讨论函数的性质即
单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；⃝4 描点连线，画出函数的图象.
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当
处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究，而这个研究要借助于函数性
质、方程、不等式等理论和手段.
（2）用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，三种
图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等.
15. 函数的零点
（1）函数零点的意义：函数 y =f(x) 的零点就是方程 f(x)=0 的实数根，亦即函数 y =f(x) 的图象与
x 轴交点的横坐标. 即：方程 f(x)=0 有实数根 ⇔ 函数 y =f(x) 的图象与 x 轴有交点 ⇔ 函数 y =f(x) 有零
点.
零点存在性定理：如果函数 y =f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0，
那么函数 y =f(x) 在区间 (a,b) 内有零点. 即存在 c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程的根.
但要注意，函数 f(x) 在 (a,b) 内有零点，不一定是 f(a)·f(b) < 0，当 f(a)·f(b) > 0 时，f(x) 在 (a,b)
内也可能有零点.
（2）二分法及步骤：
对于在区间 [a,b] 上连续不断，且满足 f(a)·f(b)<0 的函数 y =f(x)，通过不断地把函数 f(x) 的零点所
在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精度 ε，用二分法求函数 f(x) 的零点近似值的步骤如下：
第 1 步：确定区间 [a,b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精度 ε.
第 2 步：求区间 (a,b) 的中点 x .
1
第 3 步：计算 f(x ).
1
⃝1 若 f(x )=0，则 x 就是函数的零点；
1 1
⃝2 若 f(a)·f(x )<0，则令 b=x （此时零点 x ∈(a,x )）；
1 1 0 1
⃝3 若 f(x )·f(b)<0，则令 a=x （此时零点 x ∈(x ,b)）
1 1 0 1
第 4 步：判断是否达到精度 ε.
即若 |a−b|<ε，则得到零点值 a（或 b）；否则重复步骤 2∼4.
若函数 f(x) 的图象在 x=x 处与 x 轴相切，则零点 x 通常称为不变号零点；
0 0
若函数 f(x) 的图象在 x=x 处与 x 轴相交，则零点 x 通常称为变号零点.
0 0
（3）二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件.
⃝1 方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 ⇔af(r)<0.
∆=b2−4ac>0,
b
⃝2 二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ⇔ − >r,
2a
a·f(r)>0.
4
∆=b2
b
−4ac>0,
p<− <q,
⃝3 二次方程 f(x)=0 在区间 (p,q) 内有两根 ⇔ 2a
a·f(q)>0,
a·f(p)>0.
⃝4 二次方程 f(x)=0 在区间 (p,q) 内只有一根 ⇔f(p)f(q)<0，或 f(p)=0 （检验）或 f(q)=0 （检
验）检验另一根若在 (p,q) 内成立.
（三）三角函数和解三角形
1
16. 记住弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：l=|α|r,S = lr.
( ) 2
π
17. 应用三角函数线可以得到：x∈ 0, 时，sinx<x<tanx.
2
18. 三角函数（y =sinx,y =cosx,y =tanx）的图象能迅速画出吗？对于它们的性质（定义域、值域、单
调性、奇偶性、最值、对称性、周期性等）是否熟练掌握和运用？
19. 要会用五点法画 y = Asin(ωx+φ), y = Acos(ωx+φ) 的图象, 并掌握 y = Asin(ωx+φ), y =
Acos(ωx+φ) 的性质：
( )
π
（1）定义域、值域、单调性、奇偶性、最值（在求单调区间时, 要注意函数 y =sin −2x+ 的求法）；
3
2π
（2）周期性：T = ；
|ω|
π
（3）对称性：y = Asin(ωx+φ) 的对称轴必过最值点，即有 ωx+φ = kπ + (k ∈ Z)，对称轴为
2
kπ+ (cid:25) −φ
x = 2 (k ∈ Z);y = Asin(ωx+φ) 的对称中心必过零点，即 ωx+φ = kπ(k ∈ Z)，对称中心为
( ω)
kπ−φ
,0 (k ∈Z).
ω
（4）会根据图象求参数 A、ω、φ 的值.
20. 掌握常用的三角函数的图象变换.（振幅变换、周期变换、相位变换）
21. 掌握诱导公式，同角三角函数公式，和、差、倍角、降幂公式及它们的各种变形，例如
1−cos2θ 1+cos2θ
sin2θ = ,cos2θ = .
2 2
tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β).
π
α+β =kπ+ (k ∈Z)⇔(1+tanα)(1+tanβ)=2.
4
1
22. 在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？例如已知 sinαcosβ = ，求
2
1+sinx
t=sinβcosα 的变化范围. 又如，求函数 y = 的值域等.
√
1−sinx
23. 记住 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ) 的变形，特别是当 a=b=1 时，
√ ( )
π
y =sinx+cosx= 2sin x+
4
在 x 的不同取值时，y 的不同取值范围：
( ) √
π
（1）当 x∈ 0, 时，y ∈(1, 2].
[ 2] √
π
（2）当 x∈ 0, 时，y ∈[1, 2].
2
5√
（3）当 x∈(0,π) 时，y ∈(−1, 2].
√ √
（4）当 x∈[0,2π) 时，y ∈[− 2, 2].
24. 在三角恒等变形中，要学会
（1）角的变换：例如：
β =(α+β)−α,2α−β =(α−β)+α,
( ) ( )
α+β β α
2α=(α+β)+(α−β), = α− − −β 等.
2 2 2
（2）名的变换：例如：正切化弦等.
（3）次的变换：例如：升、降幂公式等.
π π
25. 在三角变形时，要学会 1 的活用. 例如: 1 = sin2x+cos2x = sin = tan = cos0 = cos2x+2sin2x
2 4
等.
26. 掌握正弦定理和余弦定理的变形与应用，学会化边为角、化角为边，掌握解三角形的有关公式：
设 △ABC，角 A、B、C 的对边为 a、b、c，外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，面积为 S，则
（1）角的关系：A+B+C =π；
（2）边的关系：a+b>c,b+c>a,c+a>b；
（3）边角关系：正弦定理 a=2RsinA 等，余弦定理 a2 =b2+c2−2bccosA 等；
（4）三角形的形状：
△ABC（设 a<b<c）为锐角三角形 ⇔a2+b2 >c2；
△ABC（设 a<b<c）为直角三角形 ⇔a2+b2 =c2；
△ABC（设 a<b<c）为钝角三角形 ⇔a2+b2 <c2.
BE AB
BC 边中线 m，满足：a2+(2m )2 =2b2+2c2；\A 的平分线 AE(E ∈BC) 满足： = .
a EC AC
1 1 abc 1
（5）面积：S = ah = absinC = = (a+b+c)r.
2 a 2 4R 2
27. 有关角的范围
（1）平面向量的夹角 (06θ 6π).
（2）直线的倾斜角 (06θ 6π).
( )
π
（3）异面直线所成的角 0<θ 6 .
( 2 )
π
（4）直线与平面所成的角 06θ 6 .
2
（5）二面角的平面角 (06θ 6π).
28. 在解三角函数问题时，要特别注意角的范围.
π 1 1
(cid:127)(cid:2376)(cid:128) 已知 <α<π,−π <β <0，且 tanα=− ,tanβ =− ，求 2α+β 的值.
2 3 7
2tanα 3 1
(cid:127)(cid:1232)解 1(cid:128) 因为 tan2α= =− ,tanβ =− ，所以
1−tan2α 4 7
( ) ( )
tan2α+tanβ −3 + −1
tan(2α+β)= = 4( )( 7 ) =−1.
1−tan2αtanβ 1− −3 −1
4 7
π
于是 2α+β =kπ− (k ∈Z).
4
62tanα 3 1
(cid:127)(cid:1232)解 2(cid:128) 因为 tan2α= =− ,tanβ =− ，所以
1−tan2α 4 7
( ) ( )
tan2α+tanβ −3 + −1
tan(2α+β)= = 4( )( 7 ) =−1.
1−tan2αtanβ 1− −3 −1
4 7
π
因为 <α<π,−π <β <0，则 π <2α<2π，所以 0<2α+β <2π.
2
3π 7π
于是 2α+β = 或 2α+β = .
4 4
π 1 1 3π π
(cid:127)(cid:1232)(cid:4057)及(cid:4350)解(cid:128) 因为 <α<π,−π <β <0,tanα=− ,tanβ =− ，则 <α<π,− <β <0.
2 3 7 4 4
5π 7π
于是 <2α+β <2π，因此 2α+β = .
4 4
（四）不等式
29. 不等式的主要证明方法有：比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法、反证法等.
利用均值不等式求最值时, 要注意不等式成立的条件和等号成立的条件 (各项为正, 和或积为定值，等号成
立).
f(x)
30. 解分式不等式如 >a 时，应注意，在不知分母的正负时，不能去分母而应移项，通分.
g(x)
解含有绝对值符号的不等式，要注意区别以下不同情况：
（1）|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)>0 或 g(x)<0；|f(x)|<g(x)⇔−g(x)<f(x)<g(x).
（2）|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2 <[g(x)]2.
（3）|f(x)|+|g(x)|<h(x)，用零点分段法，分类讨论求解.
31. 解含参数的不等式问题要注意:“定义域为前提, 函数单调性是基础, 分类讨论是关键, 整合结果写答
案.”
32. 证明和解决一些含绝对值的问题时，要想到用不等式 |a|−|b|6|a±b|6|a|+|b|.
33. 关于含参数的不等式的成立问题有哪些类型?
（1）恒成立问题（关键词：对所有，任意，恒）
⃝1 操作程序；
⃝2 注意问题: 要不要添加等号? 是一个参数还是两个参数? 是一个函数的恒成立还是两个函数的恒成立?
（2）能成立问题（关键词：有解，存在，解集非空，能）
（3）恰成立问题（定义域，值域，方程有解）
（4）部分成立问题.
（五）数列
34. 给出 S n 与 n 的关系式或 S n 与 a n的关系式，经常用到 a n =S n −S n−1 ，注意到 n=1 时，a 1 =S 1
S , n=1
了吗？注意到 n>2 的情形了吗？即 a = 1 .
n
S n −S n−1 , n>2
35. 等差数列 {a } 的性质
n
（1）a =a +(n−m)d.
n m
（2）若 m+n=p+q，则有 a +a =a +a .
m n p q
（3）S ,S −S ,S −S ,··· 仍然是等差数列.
n 2n n 3n 2n
7（4）S 2n−1 =(2n−1)a
n
.
a >0,
n
（5）若 a >0,d<0, 即首项为正数的递减等差数列, 则 时, S 有最大值.
1 n
a 60.
n+1
a 60,
n
若 a <0,d>0, 即首项为负数的递增等差数列, 则 时, S 有最小值.
1 n
a >0.
n+1
（6）若 a > 0,d < 0，即首项为正数的递减等差数列，且 S = S (m ̸= n)，则当 m+n 为偶数时，
1 m n
S m+n 最大，当 ( m+n ) 为奇数时，S m+n(cid:6)1 最大.
2 2
S d d
（7）点列 n, n 在直线 y = x+a − 上.
n 2 1 2
（8）{a } 为等差数列 ⇔S =an2+bn （a,b 是常数），公差 d=2a.
n n
36. 等比数列 {a } 的性质
n
（1）a =a qn−m.
n m
（2）若 m+n=p+q，则有 a ·a =a ·a .
m n p q
（3）当 q ̸=−1 时，S ,S −S ,S −S ,··· 仍然是等比数列.
n 2n n 3n 2n
37. 数列是等差数列或等比数列的证明
要注意用定义证明，即证明等差数列时，要证明a −a =d（常数），证明等比数列时，要证明a ̸=0
n+1 n n
a
且 n+1 =q（常数）.
a
n
a (1−qn)
38. 求等比数列的前 n 项和时要注意分类讨论：当 q =1 时，S =na ；当 q ̸=1 时，S = 1 .
n 1 n 1−q
39. 数列求和的常用方法
（1）直接求和法：对于已知的等差数列或等比数列，直接用求和公式求和.
（2）转化求和法：如果能把已知的数列转化为等差数列或等比数列，就用等差数列或等比数列的求和公
式求和.
（3）裂项相消法（逐差法）：若 a 能裂为 a =b −b ，则有
k k k+1 k
S =a +a +···+a =(b −b )+(b −b )+···+(b −b )=b −b .
n 1 2 n 2 1 3 2 n+1 n n+1 1
（4）错位相减法：适用于数列 {c } 的求和，其中 c =a b ，{a } 为等差数列，{b } 为等比数列.
n n n n n n
40.（文科不要求）用数学归纳法证明问题的过程中，要特别注意把归纳假设作为已知条件使用.
41. 已知递推公式求通项公式
（1）通过转化为等差或等比数列求通项公式；
（2）用数学归纳法求通项公式；
（3）通过消项求通项公式.
42. 数列不等式的证明方法
（1）通过数列求和证明不等式；
（2）利用单调性证明不等式；
（3）用数学归纳法证明不等式；
8（4）用比较法证明不等式；
（5）用放缩法证明不等式；
（6）用分析法证明不等式；
（7）用反证法证明不等式.
（六）平面向量
43. 平面向量的四种运算：加法、减法、实数与向量的积，向量的数量积的运算（向量法，坐标法）是否
掌握？是否熟练？要注意：
（1）向量的加法与减法是互逆运算.
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件.
（3）向量平行与直线平行有区别, 直线平行不包括共线 (即重合), 而向量平行则包括共线 (重合) 的情况.
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系.
要注意零向量，零向量有方向，且方向是任意的，零向量的模为 0，零向量与任何向量共线，也与任何向
量垂直.
44. 要记住平面向量的基本定理：如果 ⃗e ,⃗e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一
1 2
向量⃗a，有且只有一对实数 λ ,λ 使：⃗a=λ ⃗e +λ ⃗e ，其中不共线的向量 ⃗e ,⃗e 叫做表示这一平面内所有向
1 2 1 1 2 2 1 2
量的一组基底.
在解决与向量有关的问题时，关键是抓住基底.
（1）两个向量共线定理：向量⃗b 与非零向量⃗a 共线 ⇔ 有且只有一个实数 λ，使得⃗b=λ⃗a.
−−→ −−→ −−→ −−→
（2）向量共线（平行）和垂直的条件是什么？AB =(a,b),CD =(c,d)，若向量AB 与CD 共线（平行），
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
则 AB =λCD(λ∈R)，或 ad=bc，若向量 AB 与 CD 垂直，则 AB·CD =0 或 ac+bd=0.
45. 向量的数量积的定义是否掌握？若⃗a,⃗b 为非零向量，则⃗a·⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ，零向量与任何向量的数量积
⃗a·⃗b
为零. 两个向量的夹角公式是 cosθ = .
|⃗a||⃗b|
46. 向量的数量积与实数的积的相同点及不同点
（1）向量的数量积与实数的积的相同点：
实数的乘积 向量的数量积
运算的结果是一个实数 运算的结果是一个实数
交换律 a·b=b·a ⃗a·⃗b=⃗b·⃗a
分配律 (a+b)·c=ac+bc (⃗a+⃗b)·⃗c=⃗a·⃗c+⃗b·⃗c
(a±b)2 =a2±2ab+b2 (⃗a±⃗b)2 =⃗a2±2⃗a·⃗b+⃗b2
(a+b)(a−b)=a2−b2 (⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=⃗a2−⃗b2
a2+b2 =0⇒a=0 且 b=0 ⃗a2+⃗b2 =0⇒⃗a=⃗0 且⃗b=⃗0
|a|−|b|6|a±b|6|a|+|b| |⃗a|−|⃗b|6|⃗a±⃗b|6|⃗a|+|⃗b|
9（2）向量的数量积与实数的积的不同点：
实数的乘积 向量的数量积
结合律 (ab)c=a(bc) (⃗a·⃗b)·⃗c̸=⃗a·(⃗b·⃗c)
ab=0⇒a=0 或 b=0 ⃗a·⃗b=⃗0⇒⃗a=⃗0 或⃗b=⃗0 或⃗a⊥⃗b
|ab|=|a||b| |⃗a·⃗b|6|⃗a|·|⃗b|
(ab)2 =a2b2 (⃗a·⃗b)2 =⃗a2·⃗b2
47. 定比分点公式
−→ −−→
−−→ OA+λOB −−→ −→ −−→
若 OP = ，则 P 是 AB 的定比分点，λ 为定比，满足 AP =λPB. 坐标形式是
1+λ
x +λx y +λy
x = A B,y = A B.
P 1+λ P 1+λ
48. 平移公式
(1) 点 P(x,y) 按向量⃗a=(h,k) 平移后，得到点 P′(x+h,y+k).
(2) 函数 y =f(x) 的图象按向量⃗a=(h,k) 平移后，得到图象 C′，图象 C′ 的解析式为 y =f(x−h)+k.
(3)曲线C :f(x,y)=0的图象按向量⃗a=(h,k)平移后,得到图象C′,图象C′ 的方程为f(x−h,y−k)=0.
(4) 向量 m⃗ =(a,b) 按向量⃗a=(h,k) 平移后得到的向量仍为 m⃗ =(a,b).
49. 常见的平面向量的几何意义
（七）导数与积分
∆y f(x +∆x)−f(x )
50. 了解平均变化率和导数的概念： = 0 0 叫做函数 y =f(x) 从 x 到 x +∆x 之间
∆x ∆x 0 0
的平均变化率.
∆y
如果当 ∆x → 0 时， 有极限,，我们就说函数 y = f(x) 在点 x 处可导，并把这个极限叫做 y = f(x)
∆x (cid:12) 0
在点 x 处的导数，记作 f′(x ) 或 y′(cid:12) .
0 0 x=x0
即
∆y f(x +∆x)−f(x )
f ′ (x )= lim = lim 0 0 .
0 ∆x→0∆x ∆x→0 ∆x
51. 两个函数的和、差、积的求导法则
（1）[f(x)±g(x)]′ =f′(x)±g′(x).
（2）[f(x)·g(x)]′ =f′(x)g(x)±f(x)g′(x)，特别地，[Cf(x)]′ =Cf′(x).
[ ]
f(x) ′ f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
（3） = .
g(x) [g(x)]2
52. 常见函数的导数公式
f(x) C xn sinx cosx ex ax lnx log x
a
1 1
f′(x) 0 nxn−1 cosx −sinx ex axlna log e
x x a
53. 复合函数求导
10复合函数 y =f(g(x) 的导数和函数 y =f(u),u=g(x) 的导数间的关系是：y′ =y′u′.
x u x
54. 对导数的几个主要应用是否掌握? 求切线的斜率, 求单调区间, 求极值和最值等.
55. 在求切线，最值或参数的范围时，要主动运用函数、导数和不等式的知识，注意数学的联结.
（1）单调性问题
求单调区间的核心是解不等式，特别是含有参数的不等式，因此关键是对参数问题的分类讨论，在确定单
调区间时，还要注意函数的定义域.
（2）极值问题
求函数的极值，要注意函数有极值的充要条件，一般说，若 x = x 是 f′(x) = 0 的根又不是二重根，则
0
x = x 是函数的极值点，对于极值点还要注意，所求的 f′(x) = 0 的根必须在定义域内. 此外，导数不存在的
0
点也可能是极值点，例如 f(x)=|x| 在 x=0 处的导数不存在，但 x=0 时，有极小值 f(0)=0.
（3）切线问题
求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程；
要注意，和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，
切线不一定在曲线的同侧, 也可能有切线穿过曲线；
对于两个函数的曲线的公切线，则在切点的函数值相等，导数值相等.
（4）函数零点的个数问题
求函数的零点的个数取决于函数的单调性和极值点相对于 x 轴的位置.
（5）不等式的证明问题
证明不等式 f(x)>g(x)，转化为证明函数 F(x)=f(x)−g(x) 的极小值为零.
56. 解导数题的常见错误
常(cid:1998)(cid:1232)(cid:3682) 1. (cid:3024)(cid:1918)(cid:4372)(cid:3240)(cid:275)(cid:4012)(cid:2480)函数不(cid:2230)导的(cid:1316).
(cid:127)(cid:2376)(cid:128) 求函数 f(x)=x1 3(1−x)2
3
的极值.
(cid:127)(cid:1232)解(cid:128)
1 1−3x
f ′ (x)= · √ √ .
3 31−x· 3x2
1
令 f′(x)=0，解得 x= .
3 ( )
1 1
当 x< 时，f′(x)>0，则 f(x) 在 −∞, 内为增函数；
3 (3 )
1 1
当 <x<1 时，f′(x)<0，则 f(x) 在 ,1 内为减函数.
3 √ 3
1 34
所以，当 x= 时，f(x) 有极大值为 .
3 3
(cid:127)(cid:2879)析(cid:128) 函数 f(x) 的极值点可能是使 f′(x) = 0 的点（此点称为函数 f(x) 的驻点），也可能是函数
f(x) 不可导的点. 例如，函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处有极小值 f(0)=0，但 f′(0) 不存在，即点 x=0 不是
f(x) 的驻点.
本题中，当 x=0 或 x=1 时，f′(x) 不存在，故 f(x) 也有可能在这两点处取得极值，因此，f(x) 取极值
1
的可能点有三个：x= ,0,1，x,f′(x),f(x) 的变化情况如下所示：
3
11( ) ( )
1 1 1
x (−∞,0) 0 0, ,1 1 (1,+∞)
3 3 3
f′(x) + 不存在 + 0 − 不存在 +
f(x) 增 无极值 增 极大值 减 极小值 增
√
1 34
所以，当 x= 时,f(x) 有极大值为 ，当 x=1 时，f(x) 有极小值为 0.
3 3
常(cid:1998)(cid:1232)(cid:3682) 2. (cid:828)(cid:113)(cid:4449)(cid:1316)(cid:114)(cid:1266)(cid:1102)(cid:113)(cid:1918)(cid:4372)(cid:1316)(cid:114).
x4 b a+2
(cid:127)(cid:2376) 1(cid:128) 已知函数 f(x)= + x3− x2+2ax 在点 x=1 处取极值，且函数
4 3 2
x4 b a−1
g(x)= + x3− x2−ax
4 3 2
在区间 (a−6,2a−3) 内是减函数，求 a 的取值范围.
(cid:127)(cid:1232)解(cid:128)
f ′ (x)=x3+bx2−(a+2)x+2a
由 f′(1)=0，得 b=1−a. 所以
g ′ (x)=x3+bx2−(a−1)x−a=(x−a)(x2+x+1).
当 x<a 时，g′(x)<0，即 g(x) 在 (−∞,a) 上递减.
因此，(a−6,2a−3)⊆(−∞,a)，即 a−6<2a−36a.
解得 −3<a63.
故 a 的取值范围为 (−3,3].
(cid:127)(cid:2879)析(cid:128) 可导函数的驻点可能是极值点，也可能不是极值点.例如，函数f(x)=x3，其导数f′(x)=3x2
在点 x=0 处有 f′(0)=0，即点 x=0 是函数 f(x)=x3 的驻点，但从 f(x)=x3 在 (−∞,+∞) 上是增函数
可知，点 x=0 不是函数 f(x)=x3 的极值点，因此，满足 f′(x)=0 的点 x=x 是它为函数 f(x) 的极值点
0
的必要而不充分条件.
本题由 f′(1)=0，得 b=1−a. 只能说是 x=1 是函数的驻点的条件，它究竟是不是极值点，还需要验证.
把 b=1−a 代入 f′(x) 得
f ′ (x)=x3+(1−a)x2−(a+2)x+2a=(x−1)(x+2)(x−a).
显然，a=1 时，f′(x)=(x+2)(x−1)2，此时，x=1 不是极值点，与已知条件不符合.
故 a 的取值范围为 (−3,1)∪(1,3].
(cid:127)(cid:2376) 2(cid:128) 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2，在 x=1 时有极值 10，求 a,b 的值.
12(cid:127)(cid:1232)解(cid:128) f′(x)=3x2+2ax+b. 由题设，有
f′(1)=3+2a+b=0, a=4, a=−3,
解得 或
f(1)=1+a+b+a2 =10. b=−11. b=3.
(cid:127)(cid:2879)析(cid:128) 同上题一样，导数为零只是函数有极值的必要条件，而不是充分条件，对于第二组解
a=−3,
b=3.
代入 f′(x) 得 f′(x)=3x2−6x+3=3(x−1)2.
所以，当 x<1 及x>1 时，均有 f′(x)>0，因此，x=1 不是极值点，应舍掉.
a=4,
正确的结果只有
b=−11.
常(cid:1998)(cid:1232)(cid:3682) 3. (cid:3024)(cid:1718)(cid:3031)(cid:3756)(cid:3176)的一(cid:1316)的(cid:2989)(cid:3756)(cid:3240)(cid:275)(cid:828)(cid:1566)(cid:1316)(cid:1266)(cid:1102)(cid:2989)(cid:1316).
1 4
(cid:127)(cid:2376)(cid:128) 已知曲线 y = x3+ ，则过点 P(2,4) 的切线方程是 .
3 3
(cid:127)(cid:1232)解(cid:128) y′ =x2，所以，在点 P(2,4) 处切线的斜率为 4，由点斜式直线方程得 y−4=4(x−2)，即
y−4x+4=0.
(cid:127)(cid:2879)析(cid:128) 这个解法有没有问题？再仔细审题，题目是说求过点 P(2,4) 的切线方程，并没指出 P 是切
点，我们用下面的解法再试一遍.
设切点为 M(x ,y )，则斜率为 y′ =x2，切线方程为
0 0 0
1 4
y− x3− =x2(x−x ).
3 0 3 0 0
把 P(2,4) 的坐标代入，解得 x =2,x =−1，于是切线方程为 y−4x+4=0 和 y−x−2=0.
0 0
常(cid:1998)(cid:1232)(cid:3682) 4. (cid:1918)(cid:4372)与(cid:4523)(cid:4372)的概(cid:2737)(cid:1889)(cid:3786).
[ ]
π π
(cid:127)(cid:2376)(cid:128) 求函数 f(x)=sin2x−x 在区间 − , 上的最小值.
2 2
(cid:127)(cid:1232)解(cid:128)
f ′ (x)=2cos2x−1.
π π
令 f′(x)=0，解得 x =− ,x = ，列表如下：
1 6 2 6
( ) ( ) ( )
π π π π π π π π
x − ,− − − , ,
2 6 6 6 6 6 6 2
f′(x) − 0 + 0 −
√ √
π 3 3 π
f(x) 减 − 增 − 减
6 2 2 6
√ √
π 3 π π π 3
由此得，当 x= 时，f(x) 取最大值 − ；当 x=− 时，f(x) 取最小值 − ；
6 2 6 6 6 2
13(cid:127)(cid:2879)析(cid:128) 错解中, 函数的最值实际上是函数的极值. 由闭区间的最值定理, 有
( ) ( )
π π π π
f =− , f − = .
2 2 2 2
√ √
π 3 3 π π π
比较 − , − 得函数的最大值为 , 最小值为 − .
6 2 2 6 2 2
常(cid:1998)(cid:1232)(cid:3682) 5. (cid:3212)(cid:3477)(cid:3240)(cid:1805)(cid:3274)(cid:4069)(cid:1731)(cid:3496)(cid:2001).
(cid:127)(cid:2376)(cid:128) 函数 f(x) = x3+3ax2+b 有极值，又在其曲线上极大和极小的点分别为 A、B，若线段 AB
（不含端点）与曲线交于点 (1,0)，求 a,b 的值.
(cid:127)(cid:1232)解(cid:128) 首先弄清已知条件，已知⃝1一个含参数 a,b 的三次函数；⃝2 函数有极值；⃝3有极大和极小点
A,B；⃝4线段 AB（不含端点）与曲线交于点 (1,0). 解题目标是求 a,b 的值.
由 f′(x)=3x2+6ax=0 得 x=0,x=−2a. 于是，A(0,b),B(−2a,4a3+b).
再由点 M(1,0) 在曲线上以及 A、B、M 三点共线，解得
a=−1, a=− 1 ,
或 2
1
b=2. b= .
2
(cid:127)(cid:2879)析(cid:128) 这个结果是否正确？还是要注意题目的条件，条件⃝4 中有一点容易被忽略，这就是点 M 应在
1 1
线段 AB 的内部，因此应满足 0<1<−2a,a<− ，于是第二组解应舍去，或者说，若 a=− ，则点 B 的
2 2
坐标为 (1,0) 与 M(1,0) 重合，这时候，M 成为线段 AB 的端点，与题意不符.
57. 定积分
（1）要了解定积分的概念.
（2）基本的积分公式：
∫ ∫
1
0dx=C; xmdx= xm+1+C(m∈Q,m̸=−1);
m+1
∫ ∫
1
dx=ln|x|+C; exdx=ex+C;
x
∫ ∫
ax
axdx= +C; cosxdx=sinx+C;
lna
∫
sinxdx=−cosx+C（公式中C均为常数）.
（3）定积分的性质
∫ ∫
⃝1 b kf(x)dx=k b f(x)dx（k 为常数）.
a a
∫ ∫ ∫
⃝2 b [f(x)±g(x)]dx= b f(x)dx± b g(x)dx.
a a a
∫ ∫ ∫
⃝3 b f(x)dx= c f(x)dx+ b f(x)dx （其中 a<c<d）.
a a c
（4）定积分求曲边梯形面积
如图（1）由三条直线 x=a,x=b(a<b)，x 轴及一条曲线 y =f(x)(f(x)>0) 围成的曲边梯形的面积
∫
b
S = f(x)dx.
a
14如图（2）, 如果图形由曲线 y =f (x),y =f (x)(不妨设 f (x)>f (x)>0), 及直线 x=a, x=b(a<b)
1 1 2 2 1 2
围成, 那么所求图形的面积
∫ ∫
b b
S =S −S = f (x)dx− f (x)dx.
曲边梯形AMNB 曲边梯形DMNC 1 2
a a
（5）微积分基本定理：如果 f(x) 是区间 [a,b] 上的连续函数，并且 F′(x)=f(x)，那么，
∫
b (cid:12)
f(x)dx=F(x) (cid:12)b =F(b)−F(a).
a
a
（八）解析几何
58. 曲线与方程的关系是解析几何的灵魂，是解析几何基本思想的体现，求曲线方程的方法主要有下列步
骤：建（建立坐标系），设（设动点的坐标，用字母表示已知条件），现（把题设中的关系用数学式子呈现出
来），代（把已知数据代入），化（化成简单的方程形式），验（对纯粹性检验）.
59. 直线和圆的方程
（1）倾斜角：一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 [0,π).
（2）斜率：当直线的倾斜角不是 90◦ 时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k = tanθ；当直线的倾斜角
等于 90◦ 时，直线的斜率不存在.
（3）过两点 P (x ,y ),P (x ,y )(x ̸=x ) 的直线的斜率公式：
1 1 1 2 2 2 1 2
y −y
k =tanθ = 2 1.
x −x
2 1
（若 x =x ，则直线 P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90◦）.
1 2 1 2
（4）直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件. 确定直线方程的形式很多，但必须注
意各种形式的直线方程的适用范围.
15名称 方程 说明 适用条件
斜截式 y =kx+b k− 斜率 b− 纵截距 倾斜角为 90◦ 的直线不能用此式
y−y =k(x−x ) (x ,y )− 直线上已知点 倾斜角为 90◦ 的直线不能用此式
点斜式 0 0 0 0
k− 斜率
y−y x−x
1 = 1 (x ,y ),(x ,y )− 直线上 与两坐标轴平行的直线不能用此式
两点式 y −y x −x 1 1 2 2
2 1 2 1
两个已知点
x y a−直线的横截距b−直线 过 (0,0) 及与两坐标 2 轴平行的直
截距式 + =1
a b 的纵截距 线不能用此式
A C C
Ax+By+C =0 − ,− ,− 分别为斜 A,B 不能同时为零
一般式 B A B
率、横截距和纵截距
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于 x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴
的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线，这时要注意分类讨论.
（5）直线方程问题的注意问题
⃝1用点斜式与斜截式解题时，要注意分类讨论，即还要讨论斜率不存在的情形，也可设成 x = my+n 的
形式以避免分类讨论.
⃝2用两点式方程解题时，要注意考虑斜率为 0 或不存在的情形，因为，此时两点式方程不能用，但可以把
两点式方程化为整式形式，即
(x −x )(y−y )=(y −y )(x−x ).
2 1 1 2 1 1
⃝3要注意，截距表示的是从坐标原点到直线与坐标轴的交点的有向线段的数量.
⃝4简单的线性规划是对应用意识和应用能力的考查，解题时，要把实际问题转化为数学问题，并用图解法
求解.
（6）圆的方程：圆心为 C(a,b)，半径为 r 的圆的标准方程为：(x−a)2+(y−b)2 = r2(r > 0). 特殊地，
当 a=b=0 时，圆心在原点的圆的方程为：x2+y2 =r2.
( ) √
D E D2+E2−4F
圆的一般方程 x2 +y2 +Dx+Ey+F = 0，圆心为点 − ,− ，半径 r = ，其中
2 2 2
D2+E2−4F >0.
二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F =0 表示圆的方程的充要条件是：⃝1x2 项 y2 项的系数相
同且不为 0，即 A=C ̸=0；⃝2没有 xy 项，即 B =0；⃝3D2+E2−4AF >0.
60. 解与圆的方程有关的问题，要充分利用平面几何知识，如求弦长，切线，直线与圆、圆与圆的位置关
系，点的轨迹等，都可利用圆的几何性质.
61. 过圆 x2+y2 =r2 上一点 (x ,y ) 的切线方程为 x x+y y =r2，过圆 x2+y2 =r2 外一点 M(x ,y )
0 0 0 0 0 0
作圆的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 所在直线的方程为 x x+y y =r2.
0 0
62. 椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质
16椭圆 双曲线
1. 到两定点 F ,F 的距离之和为定值 1. 到两定点 F ,F 的距离之差的绝对
1 2 1 2
2a(2a>|F F |) 的点的轨迹; 2. 与定点 值为定值 2a(0 < 2a < |F F |) 的点的
定义 1 2 1 2
和直线的距离之比为定值 e 的点轨迹 轨迹; 2. 与定点和直线的距离之比为定
值 e 的点的轨迹 (e>1)
图形
x2 y2 x2 y2
标 准 + =1(a>b>0) − =1(a>0,b>0)
a2 b2 a2 b2
方程
方程
x=acosθ, x=asecθ,
参 数 （参数 θ 为离心角） （参数 θ 为离心角）
y =bsinθ y =btanθ
方程
范围 −a6x6a,−b6y 6b |x|>a,y ∈R
中心 原点 O(0,0) 原点 O(0,0)
顶点 (±a,0),(0,±b) (±a,0)
对称轴 x 轴,y 轴; 长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b
焦点 F (−c,0),F (c,0) F (−c,0),F (c,0)
1 2 1 2
√ √
焦距 2c(c= a2−b2) 2c(c= a2+b2)
c c
离心率 e= (0<e<1) e= (e>1)
a a
a2 a2
准线 x=± x=±
c c
b
渐近线 y =± x
a
焦半径 r =a±ex r =±(ex±a)
2b2 2b2
通径
a a
a2 a2
焦参数
c c
17抛物线
定义 与定点和直线的距离相等的点的轨迹
图形
标 准 y2 =2px
方程
方程
x=2pt2,
参 数 （t 为参数）
y =2pt
方程
范围 x>0,y ∈R
中心
顶点 (0,0)
对称轴 x 轴
( )
p
焦点 F ,0
2
焦距
离心率 e=1
p
准线 x=−
2
渐近线
p
焦半径 r =x+
2
通径 2p
焦参数 p
63. 共离心率的椭圆系的方程
x2 y2 c ( √ ) x2 y2
椭圆 + = 1(a > b > 0) 的离心率是 e = c= a2−b2 ，方程 + = t（t 是大于 0 的参数，
a2 b2 a a2 b2
c
a>b>0）的离心率也是 e= ，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
a
1864. 共渐近线的双曲线系方程
x2 y2 x2 y2 x y
− =λ(λ̸=0) 的渐近线方程为 − =0，如果双曲线的渐近线为 ± =0 时，它的双曲线方
a2 b2 a2 b2 a b
x2 y2
程可设为 − =λ(λ̸=0).
a2 b2
65. 在解析几何试题中涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的题目较多，解这类问题时，要通过联立方程得
到关于 x 或 y 的二次方程的形式. 接下来首先要讨论方程的次数，若二次项系数为 0，为一次方程，若二次项
系数不为 0，为二次方程；其次要对二次方程用判别式判断位置关系或根据已知位置关系求其中的参数的范围；
再利用韦达定理求出交点坐标的关系式.
66. 若直线的斜率为 k，则直线与圆锥曲线相交，所得弦长 |AB| 的公式为
√
|AB|= (1+k2)[(x +x )2−4x x ]
1 2 1 1
或 √
( )
1
|AB|= 1+ [(y +y )2−4y y ].
k2 1 2 1 2
67. 对称问题
对称问题也是热点问题，解题时要把曲线的对称问题转化为点的对称问题.
（1）点 P(x ,y ) 关于原点的对称点为 (−x ,−y ).
0 0 0 0
（2）点 P(x ,y ) 关于 x 轴的对称点为 (x ,−y ).
0 0 0 0
（3）点 P(x ,y ) 关于 y 轴的对称点为 (−x ,y ).
0 0 0 0
（4）点 P(x ,y ) 关于直线 y =x 的对称点为 (y ,x ).
0 0 0 0
（5）点 P(x ,y ) 关于直线 Ax+By+C =0 的对称点 (x,y) 由方程组
0 0
( )
y−y
0 · −
A
=−1
x−x 0 B 决定.
A·
x+x
0 +B·
y+y
0 +C =0
2 2
x2 y2
68. 若 P 为椭圆 + =1 上一点，P 为长轴顶点时，到两个焦点的距离分别为最长和最短，P 为短轴
a2 b2
顶点时，对两个焦点的张角最大.
69. 在双曲线的焦点弦中，若焦点弦的两个端点在同一支上，以通径为最短，若焦点弦的两个端点分别在
两支上，以实轴长为最短.
（九）立体几何
70. 要了解棱锥与圆锥，棱柱与圆柱，棱台与圆台和球的结构特征.
71. 空间几何体的三视图
（1）概念
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，具体包括：
⃝1 正视图（主视图）：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和长度.
⃝2 侧视图（左视图）：物体左右方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度.
19⃝3 俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体的长度和宽度.
（2）三视图画法规则
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐；
长对正：主视图与俯视图的长应对正；
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等.
（3）空间几何体的直观图有关知识：斜二测画法，平行投影与中心投影.
72. 空间几何体的面积和体积公式
（1）多面体的面积和体积公式
名称 侧面积 (S ) 全面积 (S ) 体积 (V)
侧 全
棱柱 直截面周长 ×l S ·h=S ·h
底 直截面
棱柱 S 侧 +2S 底
直棱柱 ch S ·h
底
棱锥 各侧面积之和 1
棱锥 S 侧 +S 底 3 S 底 ·h
1
正棱锥 ch′
2
棱台 各侧面面积之和 1 ( √ )
棱台 S 侧 +S 上底 +S 下底 3 h S 上底 +S 下底 + S 上底 ·S 下底
1
正棱台 (c+c′)h′
2
表中 S 表示面积，c′、c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h′ 表示斜高，l 表示侧棱长.
（2）旋转体的面积和体积公式
名 称 圆 柱 圆 锥 圆 台 球
S 2πrl πrl π(r +r )l
侧 1 2
S S +2S πr(l+r) S +S +S 4πR2
全 侧 底 侧 上底 下底
( √ )
1 1 4
V S ·h S ·h h S +S + S ·S πR3
底 3 底 3 上底 下底 上底 下底 3
表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的底半径，r 、r 分别表示圆台上、下底面半径，R 表
1 2
示半径.
73. 四公理三推论
公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.
公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个
公共点的直线.
公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
20推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
74. 空间两条直线的位置关系
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何平面内，没有公共点，相交直线和平行直线也称为共面直线.
异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线. 推理
模式：A̸∈α,B ∈α,a⊂α,B ̸∈a⇒AB 与 a 是异面直线.
75. 直线和平面的位置关系
⃝1 直线在平面内（无数个公共点）；
⃝2 直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
⃝3 直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类.
它们的图形分别可表示为（如下图），符号分别可表示为 a⊂α,a∩α=A,a//α.
76. 线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行，推理模式：a̸⊂α,b⊂α,a//b⇒a//α. （如图）
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直
线和交线平行. 推理模式：a//α,a⊂β,α∩β =b⇒a//b. （如图）
2177.（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面
平行.
a
b⊂
⊂
β
β
定理的模式: a∩b=P ⇒α//β.（如图）
a//α
b//α
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平
行.
推论模式：a∩b=P,a⊂α,b⊂α,a′∩b′ =P′,a′ ⊂β,b′ ⊂β,a//a′,b//b′ ⇒α//β.
（2）两个平面平行的性质：⃝1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；⃝2 如
果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
78. 线线垂直, 线面垂直和面面垂直
（1）三垂线定理及其逆定理
⃝1 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
垂直.
⃝2 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线
的射影垂直.
PO⊥α,O ∈α
逆定理模式: PA∩α=A ⇒a⊥AO. 如图
a⊂α,a⊥AP
22（2）线面垂直
⃝1 定义：如果一条直线 l 和一个平面 α 相交，并且和平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l
和平面 α 互相垂直. 其中直线 l 叫做平面的垂线，平面 α 叫做直线 l 的垂面，直线与平面的交点叫做垂足. 直
线 l 与平面 α 垂直记作：l⊥α.
⃝2 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直
于这个平面.
⃝3 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
（3）面面垂直
⃝1 两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.
⃝2 两平面垂直的判定定理：（线面垂直 ⇒ 面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面互相垂直.
⃝3 两平面垂直的性质定理：（面面垂直 ⇒ 线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它
们的交线的直线垂直于另一个平面.
79. 立体几何中平行、垂直关系的证明思路要注意每种平行、垂直关系的转换条件是什么？（线//线 ⇔
线//面 ⇔ 面//面，线 ⊥ 线 ⇔ 线 ⊥ 面 ⇔ 面 ⊥ 面）
80. 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距、点线距、点面距、线线距、线面距、
面面距. 其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离. 因此，要掌握点、线、面之间距离的概
念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系.
（1）面面距离 ⇔ 线面距离 ⇔ 点面距离；
（2）异面直线距离：求公垂线段的长，转化为平行直线与平面的距离.
81.（文科不要求）用法向量求距离
（1）用法向量求异面直线间的距离
如图所示，a,b 是两异面直线，⃗n 是 a 和 b 的法向量，点 E ∈a,F ∈b，则异面直线 a 和 b 之间的距离是
−−→
|EF ·⃗n|
d= .
|⃗n|
23（2）用法向量求点到平面的距离
−−→
|AB·⃗n|
如图所示，已知 AB 是平面 α 的一条斜线，⃗n 为平面 α 的法向量，则 A 到平面 α 的距离为 d= .
|⃗n|
（3）用法向量求直线到平面的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题.
（4）用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的
距离问题.
82. 空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和
( ] [ ]
π π
取值范围，其范围依次为 0, , 0, ,[0,π].
2 2
如何把空间角转化为半面角？
（1）异面直线所成的角转化为平面角: 平移法.
（2）直线与平面所成的角转化为平面角: 直线与其射影所成的角.
（3）二面角的平面角：作二面角的平面角常有三种方法.
⃝1 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就
是二面角的平面角.（如图）
24⃝2 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点
（即斜足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.（如图）
⃝3 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二
面角的平面角.（如图）
⃝4 如何求无棱二面角？关键是找出棱.
(cid:127)(cid:2376)(cid:128) 如图，设正方体 ABCD−A B C D ，棱 CC 的中点为 E，求平面 AB E 与平面 ABCD 所
1 1 1 1 1 1
成二面角的余弦值.
25(cid:127)分析与解(cid:128)由图可知，棱为 BG. 详细解答略.
83. 用法向量求角
（1）用法向量求二面角
−→ −→ −→
如图，有两个平面 α 与 β，分别作这两个平面的法向量 n 与 n ，则平面 α 与 β 所成的角跟法向量 n
1 2 1
→−
与 n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
2
（2）法向量求直线与平面所成的角
要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ，先求这个平面 α 的法同量 ⃗n 与直线 a 的夹角的余弦 cos⟨⃗n,a⟩，易知
π π
θ =⟨⃗n,a⟩− 或者 −⟨⃗n,a⟩.
2 2
（十）排列组合和二项式定理
2684. 解排列组合问题的依据、原则、关键
（1）解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合；
（2）解排列组合问题的原则是：三先三后，先分类后分步；先特殊后一般，先组合后排列；
（3）解排列组合问题的关键是注意分类讨论.
(cid:127)(cid:2376) 1(cid:128) 安排 5 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同
排法的总数是 .（用数字作答）
(cid:127)分析及解(cid:128)分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手第一个出场，有 A4 种排法；（2）不最后一个出场
4
的歌手不第一个出场，有 A1A1A3 种排法，故共有 78 种不同排法.
3 3 3
(cid:127)(cid:2376) 2(cid:128) 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，
每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A： 300 种 B： 240 种 C： 144 种 D： 96 种
(cid:127)分析及解(cid:128)本题的关键问题是甲、乙两人不去巴黎游览这一要求，因此，就要针对甲、乙是否被挑选上，
甲、乙去何处游览进行研究. 对甲、乙是否被挑选上可分为 4 类.
（1）有甲有乙：这时有 C2A2A2 =72 种；
4 3 2
（2）有甲无乙：这时有 C3A1A3 =72 种；
4 3 3
（3）无甲有乙：这时有 C3A1A3 =72 种；
4 3 3
（4）无甲无乙：这时有 A4 =24 种.
4
由以上，不同的选择方案共有 3×72+24=240 种，因此选 B.
85. 解排列组合问题的方法是：相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，多排问题单排法，定位问题优先法，
多元问题分类法，选取问题先选后排法，至多至少问题间接法，求正整数解个数的隔板法等.
主要方法有：
加 利用加法的关键是正确分类，分类前必须先确定一个分类标准，使完成这件事的任何一种方法都属
于且只属于某一类.
(cid:127)(cid:2376) 1(cid:128) 有一个密码为 631208 的手提箱，现有显示号码为 080127，要打开箱子，至少旋转几次？（每
个旋钮可显示的数字依次为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的任何一个，只要一个旋钮上转出一个新的数字就为一次，逆
转与顺转都可以）
(cid:127)分析及解(cid:128)在第一个旋钮上由 0 转为 6，顺转需要 6 次，逆转需要 4 次，所以，在第一个旋钮上至少需
要转 4 次，同理，在第二个旋钮上至少需要转 5 次，在第三个旋钮上至少需要转 1 次，在第四个旋钮上至少需
要转 1 次，在第五个旋钮上至少需要转 2 次，在第六个旋钮上至少需要转 1 次，因此，要打开箱子，至少旋转
4+5+1+1+2+1=14 次.
减 完成一件事，当正面直接分类较困难，而不完成这件事的情况却容易分类时，则只需要在完成这件
事与否的方法总数中减去不完成这件事的方法总数即可.
(cid:127)(cid:2376) 2(cid:128) 以正方体的顶点为顶点，共可构成多少个四面体？
27(cid:127)分析及解(cid:128)由于以正方体的顶点为顶点，共可构成 C5 个四边形，其中共面的四边形有（1）正方体的表
8
面四边形有 6 个；（2）对角面有 6 个. 因此，以正方体的顶点为顶点，共可构成 C4−6−6=58 个四面体.
8
乘 乘是分步计数原理在解题中的应用，完成一件事，需要分成连续 n 个步骤，只有完成且只需要完成
这 n 个步骤，事情才能完成，则完成这件事的方法总数是分步完成方法数的乘积.
(cid:127)(cid:2376) 3(cid:128) 2100 有多少个正的约数？
(cid:127)分(cid:4316)及解(cid:128)由 2100 = 22 ×3×52 ×7，第一步，考虑是否有约数 2，有 3 种选择：“不选”，“选 1
个”，“选 2 个”，共 3 种不同的选法；第二步，考虑是否有约数 3，有 2 种选择：“不选”，“选 1 个”，共 2
种不同的选法；第三步，考虑是否有约数 5，有 3 种选择：“不选”，“选 1 个”，“选 2 个”，共 3 种不同的选
法；第四步，考虑是否有约数 7，有 3 中选法：“不选”，“选 1 个”，共 2 种不同的选法.
所以，2100 有 3×2×3×2=36 个正约数.
除 除是针对有“对称”关系而采用的一种解法. 如果完成一件事中存在着一些特殊的元素，将这些元
素相互对换后，并不影响完成这件事的方法总数，就称这些特殊的元素具有“对称”关系，把具有“对称”关
系的所有元素的全排列应看作同一种情形，这时候要用除法.
(cid:127)(cid:2376) 4(cid:128) 将 n 个不同的元素排成一列，其中 a 1 在 a 2 的左边，a 2 在 a 3 的左边，···，a k−1 在 a k 的左
边（a ,a ,··· ,a 不一定相邻），有多少种不同的排法？
1 2 k
An
(cid:127)分析及解(cid:128)这是一个定序问题，其中 a ,a ,a ,··· ,a 的顺序只有一种情形，因此，共有 n 种排法.
1 2 3 k Ak
k
(cid:127)(cid:2376) 5(cid:128) 把 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的分法？
(cid:127)分析及解(cid:128) 这是一个平均分组问题，由于各组内的元素个数相同，所以组内元素进行整体对换后，分组
C2C2C2
总数不受影响，即组与组是对称的，因而，平均分组问题要用除法解决. 有 6 4 2 =15 种不同的分法.
A3
3
捆 “捆”是对元素进行整体处理的形象化描述，在排列组合问题中，有时要求某些元素必须相邻，可
以把这些元素“捆”在一起，从而保证这些元素相邻而不散乱.
(cid:127)(cid:2376) 6(cid:128) 把 4 封信投入三个信箱中的两个信箱，有多少种不同的投法？
(cid:127)分析及解(cid:128) 4 封信的投法分为两类：第一类是一个信箱 3 封，一个信箱 1 封；第二类是两个信箱各 2
封. 在第一类分法中，为了保证 3 封信在同一个信箱，需要把其中的 3 封信“捆”在一起，在第二类分法中，
同样需要把其中的每个 2 封信“捆”在一起.
（1）一个信箱 3 封，一个信箱 1 封时，有 C3C1A1 =24 种投法.
4 1 3
C2C2
（2）两个信箱各 2 封时，有 4 2 ·A2 =18 种投法.
A2 3
2
由（1），（2）共有 24+18=42 种投法.
插 排列组合中保证某些特殊元素互不相邻的常用手段，在解题时，先将其他元素排列，然后再将这些
特殊元素插入在其他元素的间隙中.
(cid:127)(cid:2376) 7(cid:128) 马路上有编号为 1,2,3,··· ,10 的十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的 3 只路
灯熄灭，但不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，问满足条件的熄灭 3 只路灯的方法有多少种？
(cid:127)分析及解(cid:128)不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，实质上是熄灭的任意两只路灯不能相邻.
亮着的 7 只路灯是不加区别的，其排列的情况只有一种. 这 7 只路灯之间有 8 个间隙，将 3 只熄灭的路灯
28插入间隙，共有 C3 种插法，所以，满足条件的熄灭 3 只路灯的方法有 1×C3 =56 种.
8 8
隔 用于整数分解型的排列组合问题，其思路是先把整数分解成单位数 1 的和，然后把这个和式分隔成
若干段，使每种分隔都只和完成这件事的一种方法相对应.
(cid:127)(cid:2376) 8(cid:128) 方程 x +x +x +x =100 有多少组
1 2 3 4
（1）正整数解？
（2）非负整数解？
(cid:127)分析及解(cid:128) （1）100=1+1+1+···+1，把这个和式分隔成 4 段，相当于在排成一排的 100 个 1 的
99 个间隙中，插入 3 个加号，有 C3 种方法，即有 C3 组正整数解.
99 99
（2）因为可以有零解，所以可以把 100 个 1 和 3 个加号看成 103 个位置，其中有 3 个位置放加号就可以
得到一组非负整数解，因而有 C3 种方法，即有 C3 组非负整数解.
103 103
(cid:127)(cid:2376) 9(cid:128) 某学校从高中三个年级中选 20 人组成田径队，要求高一至少 4 人，高二至少 5 人，高三至少
6 人，共有几种选法？
(cid:127)分析及解(cid:128)首先确定在高一选 3 人，高二选 4 人，高三选 5 人，共 12 人，还差 8 人，再在高中三个年
级中选 8 人，每个年级至少选一人，相当于方程 x +x +x =8 的正整数解的组数，即有 C2 =21 种选法.
1 2 3 7
化 通过一一对应关系，用映射的方法寻求解题途径.
(cid:127)(cid:2376) 10(cid:128) 若凸八边形的对角线两两相交，且除顶点外，再无三线共点，试问这些交点有多少个在其内
部？
(cid:127)分析及解(cid:128)以凸八边形的顶点为顶点的四边形的对角线的交点对应一个凸八边形的对角线两两相交的内
部的交点，而以凸八边形的顶点为顶点的四边形共有 C4 =70 个，即凸八边形的对角线交点有 70 个在内部.
8
86. 常用组合恒等式
m+1
Cm =Cn−m;Cm+Cm−1 =Cm ;Cm = Cm+1;kCk =nCk−1.
n n n n n+1 n n+1 n+1 n n−1
∑n
87. 二项展开式 (a+b)n = Cran−rbr 的通项公式是什么？(T = Cran−rbr) 通项公式的主要用途是
n r+1 n
r=0
什么？（求含有指定幂的项，求常数项，求有理项等），如何求多项式的系数的和？
（十一）概率与统计
88. 古典概型和几何概型
古典概型的主要特征：有限性、等可能性. 计算公式：在求所有可能出现的结果数为 n，事件 A 包含的结
m
果数为 m 时，P(A)= .
n
几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，其主要特征是无限性、等可能性. 几何概型的概率公式：
构成事件 A 的区域长度（面积或体积）
P(A)= .
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
89. 在求解互斥事件至少有一个发生的概率时，要用加法公式. 当 A,B 是互斥事件时，计算公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)，这就是加法公式.
29在求解相互独立事件同时发生的概率时，要用乘法公式. 事件 A·B 表示“相互独立的两个事件 A,B 同时
发生”，使用的计算公式是：P(A·B)=P(A)·P(B).
90. 条件概率和 n 次独立重复试验
P(AB)
条件概率：设 A,B 为两个事件，且 P(A)>0，称 P(B|A)= 为在事件 A 发生的条件下，事件 B
P(A)
发生的条件概率，一般地，把 P(B|A) 读作 A 发生的条件下，事件 B 概率.
n 次独立重复试验：事件 A 恰好发生 k 次的概率，通常用符号 P (k) 表示，其公式为
n
P (k)=Ckpk(1−p)n−k(k 6n;n,k ∈N ∗ ).
n n
91. 要掌握随机抽样、分层抽样和系统抽样的相同点、不同点及应用.
92.（1）离散型随机变量的分布列和数学期望
⃝1 离散型随机变量 X 的概率分布：设离散型随机变量 X 可能取的值为: x ,x ,··· ,x ,···.
1 2 i
X 取每一个值 x (i =1,2,···) 的概率 P(X = x )= p ，则表称为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分
i i i
布列.
X x x ··· x ···
1 2 i
P p p ··· p ···
1 2 i
有性质 A. p >0,i=1,2,···；
i
B. p +p +···+p +···=1.
1 2 i
⃝2 随机变量 X 的数学期望：EX = x p +x p +···+x p +···，X 的数学期望也称作平均数、均
1 1 2 2 n n
值，又简称期望. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量. 例如：ξ ∈ [0,5] 即 ξ 可
以取 0∼5 之间的一切实数.
⃝3 随机变量 Y =aX+b 的数学期望：EY =E(aX+b)=aEX+b.
A. 当 a=0 时，E(b)=b，即常数的数学期望就是这个常数本身.
B. 当 a=1 时，E(X+b)=EX +b，即随机变量 X 与常数之和的期望等于 X 的期望与这个常数的和.
C. 当 b=0 时，E(aX)=aEX，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
（2）二项分布和数学期望
⃝1 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生
k 次的概率是：P(X =k)=Ckpkqn−k（其中 k =0,1,··· ,n,q =1−p）.
n
于是得到随机变量 X 的概率分布如下：
X 0 1 2 ··· n
P C0p0qn C1p1qn−1 C2p2qn−2 ··· Cnpnq0
n n n n
我们称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作 X ∼B(n,p)，并称 p 为成功概率.
∑n
⃝2 二项分布的期望为：EX = k·Ckpkqn−k =np.
n
k=0
30⃝3 二项分布的判断与应用
A. 二项分布关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足此
两条件，随机变量就不服从二项分布.
B. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结
果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
（3）几何分布和数学期望
⃝1 几何分布：“X = k”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生的概率分布. 如果把 k 次试验
( )
时事件 A 发生记为 A k ，事件 A 不发生记为 A k ,P(A k ) = q，那么 P(ξ = k) = P A 1 A 2 ···A k−1 A k . 根据相
互独立事件的概率乘法分式：
( ) ( ) ( )
P(X =k)=P A 1 P A 2 ···P A k−1 P (A k )=qk−1p(k =1,2,3,···).
于是得到随机变量 X 的概率分布列：
X 1 2 3 ··· k ···
P q qp q2p ··· qk−1p ···
我们称 X 服从几何分布，并记 g(k,p) = qk−1p，其中 q = 1−p,k = 1,2,3···，其分布列 X ∼ q(k,p)（p
为发生 X 的概率）
1
⃝2 几何分布的期望：EX = .
p
（4）超几何分布
⃝1 超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M(M 6N) 件次品，任取 n(16n6N)，其中恰有 X 件
次品，则事件 (X =k) 发生的概率为
Ck ·Cn−k
P(X =k)= M N−M(k =0,1,2,··· ,m).
Cn
N
其中 m=min{M,n},n6N,M 6N,n,M,N ∈N ∗ .
⃝2 超几何分布的分布列
X 0 1 ··· m
C0 ·Cn−0 C1 ·Cn−1 Cm ·Cn−m
P M N−M M N−M ··· M N−M
Cn Cn Cn
N N N
为超几何分布列，其分布为超几何分布.
93.（文科不要求）方差、标准差
（1）方差、标准差：当已知随机变量 ξ 的分布列为 P(X =x )=p (k =1,2,···) 时，则称
k k
DX(x −EX)2p +(x −EX)2p +···+(x −EX)2p +···
1 1 2 2 n n
31为 X 的方差.
√
显然 DX > 0，故 σX = DN.σX 为 X 的根方差或标准差. 随机变量 X 的方差与标准差都反映了随机
变量 X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度.DX 越小，稳定性越高，波动越小.
（2）方差的性质
⃝1 随机变量 Y =aX+b 的方差 D(Y)=D(aX+b)=a2DX.（a、b 均为常数）
⃝2 单点分布：DX =0.
⃝3 两点分布：DX =pq.
⃝4 二项分布：DX =npq.
q
⃝5 几何分布：DX = .
p2
94.（文科不要求）正态分布与正态曲线
（1）正态分布与正态曲线：如果随机变量 X 的概率密度为：f(x)= √ 1 e −(x 2 (cid:0) (cid:27) (cid:22) 2 )2 （x∈R,µ,σ 为常数，
2πσ
且 σ > 0），称 X 服从参数为 µ,σ 的正态分布，用 X ∼ N(µ,σ2) 表示.f(x) 的表达式可简记为 N(µ,σ2)，它
的密度曲线简称为正态曲线.
（2）正态分布的期望与方差
若 X ∼N(µ,σ2)，则 X 的期望与方差分别为：EX =µ,DX =σ2.
（3）正态曲线的性质
如图
⃝1 曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交.
⃝2 曲线关于直线 x=µ 对称.
⃝3 当 x=µ 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”
的钟形曲线.
⃝4 当 x<µ 时，曲线上升；当 x>µ 时，曲线下降，并且当曲线同左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为
渐近线，向 x 轴无限的靠近.
⃝5 当 µ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲
线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
（十二）算法
3295.（1）算法的特征：确定性，逻辑性，有穷性.
（2）算法的描述：自然语言、程序框图、程序语言.
（3）程序程图：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确、直观地表示算
法的图形.
⃝1 构成程序框的图形符号及其作用
⃝2 程序框图的构成
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框，带箭头的流程线，程序框内必要的
说明文字.
⃝3 几种重要的结构
A. 顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连结起来，按顺序执行算法步骤. 如在示
意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完 A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作.
33B. 条件结构：如图（1）所示虚线内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定
的条件 P 是否成立，选择不同的执行框（A 框、B 框）. 无论 P 条件是否成立，只能执行 A 框或 B 框之一，
不可能既执行 A 框又执行 B 框，也不可能 A 框、B 框都不执行.A 框或 B 框中可以有一个是空的如图（2），
即不执行任何操作.
C. 循环结构：在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从算法某处开始，按照一定条
件重复执行某一处理过程. 重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
当型循环结构，如图所示. 它的功能是当给定的条件 P 成立时，执行 A 框，A 框执行完毕后，返回来再
判断条件 P 是否成立，如果仍然成立，返回来再执行 A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次返回来判断条件
P 不成立时为止，此时不再执行 A 框，离开循环结构，继续执行下面的框图.
直到型循环结构，如图所示，它的功能是先执行重复执行的 A 框，然后判断给定的条件 P 是否成立，如
果 P 仍然不成立，同返回来继续执行 A 框，再判断条件 P 是否成立. 以此重复操作，直到某一次给定的判定
条件 P 成立时为止，此时不再返回来执行 A 框，离开循环结构，继续执行下面的框图.
34(cid:127)(cid:2376) 1(cid:128) 阅读如图所示的程序框图，若输入的 n 是 100，则输出的变量 S 和 T 的值依次是（ ）
A： 2550,2500 B： 2550,2550
C： 2500,2500 D： 2500,2550
(cid:127)分析及解(cid:128)进行流程分析，可得
50×(100+2)
S =100+98+96+···+2= =2550;
2
50×(99+1)
T =99+97+95+···+1= =2500.
2
故选 A.
(cid:127)(cid:2376) 2(cid:128) 如图（1）是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示的学生
人数依次记为 A 、A 、··· 、A （如 A 表示身高（单位：cm）在 [150,155) 内的人数）. 图（2）是统计图
1 2 m 2
（1）中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图. 现要统计身高在 160∼180cm（含 160cm，不含 180cm）
35的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A： i<9 B： i<8 C： <7 D： i<6
(cid:127)分析及解(cid:128)由开始循环前 i=4，且整个过程需进行 4 次循环后就不再运算，故循环到 i=7,
S =A +A +A +A . 故选 C.
4 5 6 7
（十三）数系的扩充与复数的引入
96. 形如 a+bi(a,b∈R) 的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母 C
表示，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.
要清楚复数 z =a+bi(a,b∈R) 的几个概念.
z =a+bi(a,b∈R) 为实数 ⇔b=0⇔z¯=z.
z =a+bi(a,b∈R) 为纯虚数 ⇔a=0,b̸=0⇔z+z¯=0(z ̸=0).
两个复数相等
a=c,
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔
b=d.
要掌握复数代数形式的四则运算
（十四）几何证明选讲
97.（1）理解相似三角形的定义与性质, 了解平行截割定理.
（2）会证明以下定理：⃝1 直角三角形射影定理；⃝2 圆周角定理；⃝3 圆的切线判定定理与性质定理；⃝4
相交弦定理；⃝5 圆内接四边形的性质定理与判定定理；⃝6 切割线定理.
（3）知道平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.
（十五）坐标系与参数方程
3698. 极坐标与直角坐标的互化：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的
√
y
极坐标为 (ρ,θ)，直角坐标为 (x,y)，则 x=ρcosθ,y =ρsinθ,ρ= x2+y2,tgθ = .
x
99. 直线和圆的极坐标方程
（1）几个常用的极坐标直线方程
⃝1 经过极点，倾斜角为 α 的直线的极坐标方程是：θ =α 或 θ =π+α；
⃝2 经过点 (a,0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：ρcosθ =a；
( )
π
⃝3 经过点 a, 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：ρsinθ =a；
2
⃝4 经过点 (ρ ,θ ) 且倾斜角为 α 的直线的极坐标方程是：ρsin(θ−α)=ρ sin(θ −α).
0 0 0 0
（2）几个常用的极坐标圆的方程
⃝1 圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程是 ρ=r；
⃝2 圆心在点 (a,0)，半径为 a 的圆的极坐标方程是 ρ=2acosθ；
( )
π
⃝3 圆心在点 a, ，半径为 a 的极坐标方程是 ρ=2asinθ.
2
⃝4 圆心在点 (ρ ,θ )，半径为 r 的圆的极坐标方程是 ρ2+ρ2−2ρρ cos(θ−θ )=r2.
0 0 0 0 0
100. 直线和圆的参数方程
（1）直线的参数方程
x=x +at,
⃝1 经过点 P (x ,y ) 的直线参数方程的一般形式是： 0 (t是参数)
0 0 0
y =y +bt
0
⃝2 若直线 l 经过点 P (x ,y )，倾斜角为 α，则直线参数方程的标准形式是：
0 0 0
x=x +tcosα,
0
(t是参数)
y =y +tsinα.
0
其中点 P (x ,y ) 对应的参数 t 的几何意义是：有向线段 P P 的数量. 若点 P ,P ,P 是直线 l 上的点，它
0 0 0 0 1 2
们在上述参数方程中对应的参数分别是 t 、t 和 t，则：|P P |=|t −t |；当点 P 分有向线段 P P 成定比 λ
1 2 1 2 1 2 1 2
t +λt t +t
时，t= 1 2；当点 P 是线段 P P 的中点时，t= 1 2.
1+λ 1 2 2
（2）圆的参数方程
⃝1 圆心在点 C(a,b)，半径为 r 的圆的参数方程是：
x=a+rcosα,
(α是参数)
y =b+rsinα
⃝2 圆心在点 (ρ ,θ )，半径为 r 的圆的极坐标方程是：
0 0
ρ2+ρ2−2ρρ cos(θ−θ )=r2.
0 0 0
37
