高中数学知识点灵活运用_数学_专项复习_2025年_2025年新高考高中数学知识点总结全归纳电子版选修必修公式定理_高中数学知识点汇编

高考数学选择题答题技巧方法
一、技巧方法
一、基本函数图象
[答题口诀]
[1] 小题不能大做 [2] 不要不管选项
[3] 能定性分析就不要定量计算 [4] 能特值法就不要常规计算
[5] 能间接解就不要直接解 [6] 能排除的先排除缩小选择范围
[7] 分析计算一半后直接选选项 [8] 三个相似选相似
[1.特值法]
[方法思想]
一、基本函数图象
通过取特值的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，因而我们根据
题意选取适当的特值帮助我们排除错误答案，选取正确选项。
例1在等差数列a 中，已知a +a =16，则该数列前11项和S = （ ）
n 4 8 11
A．58 B．88 C．143 D．176
11(a a ) 11(a a ) 1116
【常规解法】S  1 11  4 8  88
11 2 2 2
【秒杀技巧】采用特值法取 a a =8则 a 为公差为 0 每一项都等于 8 的常数列则
4 8 n
S =118=88
11
S S
例2设等比数列a 的前n 项和为S 若 6 =3则 9 = （ ）
n n S S （（（9
3
6
7 8
A. 2 B. C. D.3
3 3
S
【常规解法】由等比数列性质可知S S S S S 为等比数列，设S k，则由 6 3
n， 2n n， 3n 2n 3 S
3
可得S 3k 然后根据等比数列性质进行求解。
6【秒杀技巧】采用特值法令S 1则S  3根据S S S S S 为等比数列得S  7
3 6 n， 2n n， 3n 2n 9
S 7
所以 9 
S 3
6
例3已知sin-cos= 2,0,，则tan （ ）
2 2
A．1 B． C． D．1
2 2
【常规解法】对等式sin cos 2 左右平方得1 2sincos 2，则2sincos1
2sincos
又因为sin2 cos21，所以 1分式中分子分母同时除cos2
sin2cos2
2tan
得到 1然后解方程得tan1
tan21
【秒杀技巧】因为sin cos 2 1则sin 0,cos 0 则tan 0选项C、D错误，
又因为sin cos 2 则sin,cos的值必然和 2 有关，由此分析猜测可
2 2 sin
取sin ,cos  ，此时满足题中已知条件，所以tan 1
2 2 cos
[2.估算法]
一、[方基法本思想函]数图象
当选项差距较大，且没有合适的解题思路时我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答
案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近的选项。
[注意]：带根号比较大小或者寻找近似值时要平方去比较这样可以减少误差。
例1已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB= 3，ASC BSC 30，则棱锥S—ABC
的体积为 （ ）
A．3 3 B．2 3 C． 3 D．1
【常规解法】根据题意画出图像如右图所示因为SC为直径则SAC SBC 900
C
又因为ASC BSC 30则AC  BC 2,SASB2 3
O
B
D
E
O
1
A设D为AB中点，则SD AB,由SD2 SA2 AD2得
3 5 1 3 15
SD ，所以S  ABSD ;连接球心O与底面三角形SAB的外接圆
2 SAB 2 4
圆心得OO 底面SAB，则此四面体隐藏的高H 与OO 平行，又O为SC 的中点则
1 1
根据三角形中位线定理得H 2OO ,接下来还要在直角OOS 中计算OO ，计算十
1 1 1
分麻烦此处省略。
【秒杀技巧】观察此题选项大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出棱锥S—ABC体积的近似
1 3 15
值然后直接选取与近似值最接近的选项。计算完底面积S  ABSD 后我
SAB 2 4
1 1 3 15 15
们将隐藏的高H 近似的认为是AC则V  S AC   2 ,此时
SABC 3 SAB 3 4 2
我们将近似值平方后与选项做比较发现与C接近，所以直接选C。此题切忌小题大做。
例2已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，
则棱锥S-ABC的体积为 （ ）
3 2 3 4 3 5 3
A． B． C． D．
3 3 3 3
【常规解法】此题与例题1解法相似，在此不做介绍正确答案为C
C
【秒杀技巧】秒杀技巧与例题1解法相似，请同学们自己尝试去估算，正确答案为C
O
B
D
S E
O
1
A
x
例3曲线y  在点(1,1)处的切线方程为 （ ）
x2
A．y  x2 B．y 3x2 C．y 2x3 D．y 2x12
【常规解法】要求切线方程先求切线斜率k，则要对函数求导 f(x)' ，则k  f '(1)2
(x2)2
所以直线方程为y 2x1，选项D正确.
1.1
1
1.1 0.9
【秒杀技巧】在点(1,1)附近取特值点(1.1, )，用两点坐标求出近似斜率k  2.22
0.9 1.11
所以选项D正确.
[3.逆代法]
一、[思基想本方法函]数图象
充分发挥选项的作用，观察选项特点，制定解题的特殊方案，可以大大的简化解题步骤，节省时
间，做选择题我们切记不要不管选项.
21x,x1
例1设函数 f(x) ，则满足 f(x)2的x的取值范围是 （ ）
1log x,x1
2
A．[1，2] B．[0，2] C．[1，+] D．[0，+]
【常规解法】分段函数不知x的取值范围无法选定函数解析式，需要分类讨论，当x1时 f(x)21x
则 f(x)21x 2， 两 边 取 对 数 得 log 21x log 2即 1x1所 以 x0， 即
2 2
0 x1.
当x1时 f(x)1log x，则 f(x)1log x2，即log x1，解对数不等式
2 2 2
1
两边取指数2log 2 x 21则x ，即x1.综述所述x的取值范围是[0，+]选D.
2
【秒杀技巧】观察选项A、B与C、D的显著区别在于C、D可以取到正无群，我们假设x特别大此
时 f(x)1log x，代入可知满足题意，所以A、B错误；C、D中C选项不能取到0
2
将x0代入题中解析式验证x0可以取到，所以C选项错误，正确答案为D.例2已知集合Ax|0log
4
x1,Bx|x2，则A

B （ ）
A．0，1 B．0，2 C．1,2 D．1，2
【常规解法】解对数不等式0log x1，两边取指数40 4log 4 x 41根据对数性质：alogax  x得
4
1 x4画数轴与x2取交集的范围是1，2.所以正确答案选D项。
【秒杀技巧】观察选项A、C取不到2，B、D可以取2，令x  2 代入集合A、B中满足则排除A、C
比较B、D，B项可以取1 D取不到，令x 1代入入集合A、B中不满足，则排除B项；
则选项D正确.
[4.特殊情况分析法]
一、[思基想本方法函]数图象
当题中没有限定情况时，我们考虑问题可以从最特殊的情况开始分析，特殊情况往往可以帮助我
们排 除部分选项，然后分析从特殊情况到一般情况的[过度](变大、变小)等选出正确答案。
例1平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OBb，则△OAB的面积等于
A. |a|2|b|2 (a b)2 B. |a|2|b|2 (a b)2
 
1 1
C. |a|2|b|2 (a b)2 D. |a|2|b|2 (a b)2
 
2 2
   
ab ab
【常规解法】由向量性质得cos ，sin21cos21( )2，所以△OAB的面积
   
|a||b| |a||b|
  2
1   1 ab   1 
S2 ( sin|a||b|)2  [1(   )2] (|a||b|)2   |a|2|b|2 (a  b)2 
OAB 2 4 |a||b| 2 
1
所以S  |a|2|b|2 (a b)2
OAB 2 
  1    
【秒杀技巧】采用特殊情况假设法，假设a、b垂直，此时S  |a||b|，而ab0所以选项
OAB 2
A
A'
   
A、B错误，当a、b不垂直时如图所示不论是a、b

 a
h' b h

夹角是锐角还是钝角，三角形的高h和h'都小于b的 
b
B     
模，所以垂直时最大，而a、b垂直时(ab)2 0，别的情况下(ab)2 0所以选项D
错误，正确答案为C.
4
例2已知点P在曲线y= 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是
ex 1
    3 3
A.[0, ) B.[ , ) C.( , ] D.[ ,)
4 4 2 2 4 4
4ex 4ex
【常规解法】要求曲线的斜率则需要对原函数求导 f '(x) ，即k  f '(x) ，又因
(ex 1)2 (ex 1)2
4ex
为tank所以要根据函数单调性先求出斜率k的取值范围， k  
(ex 1)2
4 1 1
 ，由均值不等式得ex  2 ex  2，所以k 1，即tan1
1 ex ex
ex  2
ex
3
所以切线倾斜角的取值范围是[ ,)正确答案为D.
4
4
【秒杀技巧】采用特殊情况假设法，当x趋向于时ex趋向于此时函数 f(x) 的分母无
ex 1
限大，函数值无限的趋近于0，而且单调递减，此时切下的倾斜角趋向于，所以正确
答案为D.
 4
例3设>0,函数y=sin(x+ )+2的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则的最小值是
3 3
2 4 3
A. B. C. D.3
3 3 2
4 4 4
【常规解法】函数图像平移 后与原来重合，则 为周期的整数倍，即kT  kN*,又因为
3 3 3
2 2 4 3 3
T  所以  ，即 k ,所以当k 1取得最小值 ，正确答案为C.
  3k 2 2
4 4
【秒杀技巧】函数图像平移 后与原来重合，则 为周期的整数倍，最小为一个周期，最大是无
3 3
4
群多个周期，正无群无法取到，所以极值定在一个周期时取得所以T  ,又因为
3
2 3
T  ，所以的最小值为 ，正确答案为C.
 2[5.特殊推论]
一、[课基堂本笔记函]数图象
ai
例1a为正实数，i为虚数单位， 2，则a ( )
i
A．2 B． 3 C． 2 D．1
分子模
【特殊推论】复数模=
分母模
ai |ai| a2 1
【秒杀方法】对于复数z  ，|z|  2，所以a 3
i |i| 1
1
例2复数的Z  模为 ( )
i1
1 2
A. B. C. 2 D.2
2 2
分子模
【特殊推论】复数模=
分母模
1 |1| 1 1 2
【秒杀方法】对于复数z  ，|z|    ，所以正确选项为B.
i1 |i1| 12 (1)2 2 2
例3在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形
面积小于32cm2的概率为
1 1 2 4
A． B． C． D．
6 3 3 5
【特殊推论】两个变量a、b若ab为定值，则当它们的差的绝对值越小时它们的乘积越大。【秒杀方法】设矩形长宽分别为a、b则ab=12，当a=4，b=8时面积S ab4832矩形面
2
积要小于32则a4，b8所以概率为
3
[6.算法简化]
一、[方基法本思想函]数图象
定性分析代替定量计算，根据题型结构简化计算过程，在一定程度上帮助我们加快了解题速度。
通过下面几个例题的讲解，我们不仅要掌握方法，更重要的是要去体会这种思想，做到活学活用。
x-y10

例1设变量x,y满足0 x+y20，则2x+3y的最大值为

0 y15

A．20 B．35 C．45 D．55
2 1 B(15,15) A(5,15)
【常规解法】令z 2x3y，则y  x z，直线的斜率
3 3
x-y10
2 
k  ；将不等式组0 x+y20变为等式画出如
3

0 y15

2
图所示的图像，因为k  k 1所以在点A(5,15)处取得最值代入z 2x3y
3 1
z 2x3y的最大值为55.
2 1 1
【秒杀技巧】令z 2x3y，则y  x z，由直线的几何意义知 z为直线的截距，则在上
3 3 3
面端点处取得最值解出两端点坐标A(5,15),B(15,15)分别代入z 2x3y可知在
A点去的最大值55.
例2执行如图所示的程序框图，若输入n10,则输出的S  ( )
开 始
5 10
A． B．
11 11 输入x
S=0，i=2
36 72
C． D． 否
in
55 55
是
1 1 1 1 1
【常规解法】不断反复代入计算最后得S      1
3 15 35 63 99 SS i21 输 出
S
ii2 结束5
通分后得S  （通分计算麻烦）.
11
1 1 1 1 1
【秒杀技巧】不断反复代入计算最后得S      根据数的大小变化规律得：
3 15 35 63 99
1 2 7 1
S     ，所以正确答案选A.
3 15 15 2
例3已知点O0,0,A0,b,B  a,a3 .若OAB为直角三角形,则必有
1
A．ba3 B．ba3
a
C． ba3 ba3  1 0 D． ba3  ba3  1 0
 
 a a
【常规解法】根据题中坐标关系可得，O点不能是坐标原点，当OA垂直于AB时：
 
OAAB(0,b)(a,a3b)b(a3b)0即：
A(0,b) B (a,a3)
1
b(a3b)0,又因为b0所以a3b)0
B (a,a3)
2
当ABOB时：
 
ABOB(a,a3b)(a,a3)a2 a3(a3b)0 O
1 1
即a3[ (a3b)]0，所以 (a3b)0；综上所述答案选C.
a a
【秒杀技巧】观察选项A、B、C、D，若A、B、D其中一个正确，则选项C也同时成立，而其中只有
一项是正确的，所以A、B、D必须错误，正确答案选C.
二、逻辑体系
一、基本函数图象
[思想方法]
[ 在高考中我们苦苦思索，渴望灵感突现，我们将这定义为运气，但“运气” 是可以创造的，
它的诀窍就在于思考体系。我们应该在给自己建造一个解题的逻辑体系，也就是通杀技巧。
[1.解三角形体系]
[通杀思想]
一、基本函数图象
[1] 正弦定理边角互化 [2] 余弦定理边角互化
[3] 余弦定理中平方项中隐藏的均值不等式 [4] A+B+C=1800b
例1△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A= 2a，则 
a
A．2 3 B.2 2 C． 3 D． 2
1
例2在ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c. asinBcosCcsinBcosA b,
2
且ab,则B
  2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
[2.向量模体系]
[通杀思想]
一、基本函数图象
[1] 题中出现向量模相关的等式，我们首选的第一种方法就是两边取平方。
 2 2 2    2  
[2] 易错点： ab a b |a|2 |b|2而应该是 ab |a|2 |b|2 cos2
     
例1已知两个非零向量a,b满足 a+b = ab ，则下面结论正确
         
A．a//b B．a b C． a = b D．a+b=a-b
例2平面向量a与b的夹角为600，a(2,0)， b 1 则 a2b 
A. 3 B.2 3 C.4 D.12
例3若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为
A． 2 1 B.1 C． 2 D．2