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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题01 集合第一缉
1．【2021 年江西预赛】集合M 是集合A={1，2，…，100}的子集，且M 中至少含有一个平方数或者立方
数，则这种子集M 的个数是
.
【答案】2
88(2
12-1).
【解析】集合A ={1,2,⋯,100} 中的平方或者立方数构成集合B ={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81 ,100},
其中有12 个元素,从A 中挖去集合B 后剩下的元索构成集合C ,则C 中有88 个元索,
由于C 的子集有2
88 个,B 的非空子集有2
12-1 个,
集M 可表示为M = B0∪C0 形式,其中B0 是B 的任一非空子集,C0 是C 的任一子集,因此M 的个数为
2
88(2
12-1).
2．【2021 年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算A ⊗B ={x∣x =ab+a+b,a∈A ,b∈B} .设
A ={0,2,4 ,⋯,18},B ={98,99,100} ,则A ⊗B 中的所有元素之和为
.
【答案】29970
【解析】由 x =(a+1)(b+1)-1 ,
则可知所有元素之和为 (1+3+⋯+19)×300-3×10=29970 .
3．【2021 年广西预赛】集合M ={1,2,3,4,5,6} 的所有子集的元素的和等于
.
【答案】672
【解析】所有子集的元素的和为2
5(1+2+3+ 4 +5+6)=672 .
4．【2021 年新疆预赛】若实数集合{3,6,9, x } 的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，
则x 的值为
.
【答案】9
4
【解析】若x 是最大元素，则3 x =18+ x ,解得x =9 ,不合题意；
若x 是最小元素，则9 x =18+ x ,解得x = 9
4
；
若x 既不是最大元素也不是最小元素，则27=18+ x ,解得x =9 ,不合题意；
所以x = 9
4
.
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5 ．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】设集合A ={1,2,m}, 其中m为实数. 令
B ={a
2∣a∈A},C = A ∪B
.若C的所有元素之和为6,则C的所有元素之积为
.
【答案】-8
【解析】由条件知1,2,4 ,m,m
2(允许有重复）为C的全部元素.
注意到,当m为实数时,1+2+ 4 +m+m
2>6,1+2+ 4 +m
2>6,故只可能是C ={1,2,4 ,m},且1+2+ 4 +m=6.
于是m=-1(经检验符合题意),此时C的所有元素之积为1×2×4×(-1)=-8.
6．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设集合X ={1,2,⋯,20},A 是X 的子集,A 的元素个数至少是2,
且A 的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A 的个数为
.
【答案】190
【解析】每个满足条件的集合A 可由其最小元素a 与最大元素b 唯一确定,其中a,b∈X,a<b,这样的(a,b)的
取法共有C20
2 =190种,所以这样的集合A 的个数为190.
7 ．【2020 年福建预赛】已知[x] 表示不超过实数x 的最大整数, 集合A ={x∣x
2- x -6<0} ,
B ={x∣2 x
2-3[ x ]-5=0}. 则A ∩B =
.
【答案】{-1,
❑√22
2 }
【解析】易知,A =(-2,3) .若x∈A ,则[ x ]=-2,-1,0,1,2.
当[ x ]=-2 时,若x∈B ,则2 x
2+6-5=0 ,
x 不存在.
当[ x ]=-1 时,若x∈B ,则2 x
2+3-5=0⇒x =±1.
经检验,x =1 不符合要求,x =-1 符合要求.
当[ x ]=0 时,若x∈B ,则2 x
2-0-5=0⇒x =±
❑√10
2
，
均不符合要求.
当[ x ]=1 时,若x∈B ,则2 x
2-3-5=0⇒x =±2 ,
均不符合要求.
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当[ x ]=2 时,若x∈B ,则2 x
2-6-5=0⇒x =±
❑√22
2
.
经检验,x =
❑√22
2
符合要求,x =-
❑√22
2
不符合要求.故A ∩B ={-1,
❑√22
2 }
.
8．【2020 年甘肃预赛】设集合:A ={( x , y)∣loga x + loga y >0} ,B =|( x , y)| x + y <a}. 若A ∩B =∅ ,
则a 的取值范围是
.
【答案】(1,2]
【解析】若a>1 ,则A ={( x , y)∣xy >1}.
而当x + y =a 与xy =1 相切时，
x + 1
x =a⇒x
2-ax +1=0⇒a=2 .
于是,当a∈(1,2] 时,A ∩B =∅ .若a<1 ,则A ={( x , y)∣xy <1} ,此时，A ∩B≠∅ .
综上,a∈(1,2] .
9．【2020 年广西预赛】已知集合M ={1,2,⋯,2020} ,对M 的任意非空子集A , λ A 为集合A 中最大数与
最小数的和.则所有这样的λ A 的算术平均数为
.
【答案】2021
【解析】考虑M 的子集A
' ={2021- x∣x∈A }. 若A
' = A ,则λ A
'= λ A =2021. 若A
'≠A ,设A 中最大数
为a ,最小数为b ,则A '中最大数为2021-b ,最小数为2021-a ，此时, λ A
'+ λ A
2
=2021.
故所求算术平均数为2021.
10．【2020 年广西预赛】设集合M ={1,2,⋯,2020}, A ⊆M ,且对集合A 中的任意元素x ,4 x∉A . 则集
合A 的元索个数的最大值为
.
【答案】1616
【解析】首先,构造404 个集合{k ,4 k } ,其中，
k =1;8,9,⋯,31;127,128,⋯,505.
其次,集合M 中的数除前述已提到的808 个外,剩下的每个数x 单独构成一个集合{x } ,有1212 个.
共404+1212=1616 个集合.
据抽臣原理,知若集合A 中有多于1616 个数,则必有两个数取自上述同一集合.从而,存在x ,4 x∈A ,矛盾.
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故集合A 中至多有1616 个数,满足条件的一个集合是
A ={2,3,⋯,7,32;33,⋯,126,506,507 ,⋯,2020} .
11．【2020 年吉林预赛】已知集合A ={x∣loga(ax -1)>1}. 若2∈A ,则a 的取值范围是
【答案】( 1
2 ,1)∪(1,+∞).
【解析】由题意,得log❑a(2a-1)>1. 则{ 0<a<1,
0<2a-1<a
或{
a>1,
2a-1>a.
解得1
2 <a<1 或a>1.
12．【2020 年浙江预赛】一个正整数若能写成20a+8b+27c (a ,b ,c∈N ) 形式,就称其为“好数".
则集合{1,2,⋯,200} 中好数的个数为
.
【答案】153
【解析】先考虑20a+8b= 4(5a+2b).
5a+2b 可取2,4,5,6,⋯,50.
则20a+8b 可取8,16,20,24 ,⋯,200 .
故当c =0 时共有48 个非零好数(4 k 型）；
c =1 时共有42 个好数(4 k +3 型),此时好数为27,35,43,47,⋯,199 ;
c =2 时共有35 个好数(4 k +2 型),此时好数为54,62,70,74 ,⋯,198;
c =3 时共有28 个好数(4 k +1 型),此时好数为81,89,97,101,⋯,197.
综上,共有48+ 42+35+28=153 个好数.
13．【2020 年新疆预赛】已知集合A ={1,2,3,⋯,2020} ,对于集合A 的每一个非空子集的所有元素，计
算它们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为
.
【答案】2020
【解析】集合A 的2
2020-1 个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1
×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020 ,它们的倒数和为
1+ 1
2 +…+
1
2020 +
1
1×2 +
1
1×3 +…+
1
2019×2020 +⋯+
1
1×2×⋯×2020
=(1+1)(1+ 1
2 )⋯(1+
1
2020 )-1=2× 3
2 ×⋯× 2021
2020 -1=2020 .
14．【2019 年全国】若实数集合{1,2,3, x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的
值为
.
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【答案】- 3
2
【解析】由题意知，x 为负值，∴3- x =1+2+3+ x⇒x =- 3
2
.
15．【2019 年江苏预赛】已知集合A ={x| x
2-3 x +2≥0}，B ={x|❑√x -a≥1}，且A ∩B ={x| x ≥3}，
则实数a 的值是
.
【答案】2
【解析】A = {x| x ≥2或x ≤1}，B ={x| x ≥a+1}.又A ∩B ={x| x ≥3}，故a+1=3，解得a=2.
16．【2019 年江西预赛】将集合{1,2,⋯,19}中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为
【答案】16815
【解析】所求的和为1
2 [(1+2+⋯+19)
2-(1
2+2
2+⋯+19
2)]= 1
2 [36100-2470]=16815
17．【2019 年新疆预赛】已知集合U = {1,2,3,4,5,6,7,8}，A = {1,2,3,4,5}，B = {4,5,6,7,8}，则是集合U的
子集但不是集合A的子集，也不是集合BB 的子集的集合个数为
.
【答案】196
【解析】解法一:因为A ∪B =U，且A ∩B = {4,5}，所以满足题意的集合所含的元素至少在{1,2,3}中取一
个且至少在{6,7,8}中取一个，集合{4,5}中的元素可取或不取，于是满足题意的集合共有
(2
3-1)(2
3-1)×2
2=196个.
解法二:集合U的子集个数为2
8，其中是集合A或集合B的子集个数为2
5+2
5-2
2.所以满足条件的集合个数
为2
8-(2
5+2
5-2
2)=196个.
18．【2019 年浙江预赛】已知集合A = {k +1,k +2,⋯,k +n},k ,n为正整数，若集合A中所有元素之和为
2019，则当n取最大值时，集合A=
.
【答案】A = {334,335,336,337,338,339}
【解析】由已知2k +n+1
2
⋅n=3×673.
当n=2m时，得到(2k +2m+1)m=3×673⇒m=3,n=6,k =333;
当n=2m+1时，得到(k +m+1)(2m+1)=3×673⇒m=1,n=3.
所以n的最大值为6，此时集合A = {334,335,336,337,338,339}.
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19 ．【2019 年重庆预赛】设A为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合
B ={x + y | x , y ∈A , x≠y }，若B ={log26, log210, log215}，则集合A =________.
【答案】{1, log23, log25}
【解析】设A ={log2a, log2b, log2c }，其中0<a<b<c .
则ab=6, bc =10, ad =15.解得a=2,b=3,c =5，从而A ={1, log23, log25}。
20．【2019 年北京预赛】已知集合A ={x| x
2+ x -6>0},B ={x| x
2-2ax +3≤0},若a>0,且A ∩B中恰有
两个整数,则a的取值范围是
.
【答案】[2.625,2.8)
【解析】因为A ={x| x
2+ x -6>0},即A = {x| x<-3 或x>2},B ={x| x
2-2ax +3≤0},
又知A ∩B中恰有两个整数,所以A ∩B≠∅,因此B有实根,Δ= 4 a
2-12>0.解得a>❑√3或a<- ❑√3.又因为已
知a>0,所以a>❑√3.
所以B ={x|a-
❑√a
2-3⩽x⩽a+
❑√a
2-3}.
由于0<a-
❑√a
2-3=
3
a+
❑√a
2-3
<❑√3<2,所以A ∩B中恰有两个整数根只能是3 和4.
由于f (x)= x
2-2ax +3,所以f (4)=16-8a+3≤0,f (5)=25-10a+3>0,
解得21
8 ≤a< 14
5
,即2.625≤a<2.8.也即[2.625,2.8).
21．【2019 年福建预赛】已知f(x)=x2-2x，集合A={x|f(f(x))=0}，则集合A 中所有元素的和为
.
【答案】4
【解析】方程f(f(x))=0 化为f(x2-2x)=0，即(x
2-2 x)
2-2(x
2-2 x)=0.
∴(x
2-2 x)(x
2-2 x -2)=0
.
解得，x1=0, x2=2, x3=1- ❑√3, x4=1+ ❑√3.
∴A ={0,2,1- ❑√3,1+ ❑√3}，A 中所有元素的和为4.
22．【2019 年福建预赛】已知集合U={1，2，3，4，5}，I ={X | X ⊆U }，从集合I 中任取两个不同的元
素A、B，则A∩B 中恰有3 个元素的概率为
.
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【答案】5
62
【解析】当A∩B 确定后，如A∩B={3，4，5}时，设A = A
'∪{3,4,5}，B = B
'∪{3,4,5}.
，A
'∩B
' =∅，则{A
' ,B
'}的情况有:{∅,{1}}，{∅,{2}}，{∅,{1,2}}，{{1},{2}}，共4 种情形.
∴所求的概率为C5
3×4
C32
2
= 10×4×2
32×31 = 5
62
.
23．【2019 年贵州预赛】已知集合A={1,2,3,……,2019},对于集合A 的每一个非空子集的所有元素,计算它
们乘积的倒数.则所有这些倒数的和为
.
【答案】2019
【解析】解法1:集合A 的2
2019-1个非空子集中,每一个集合的所有元素之积分别为:
1,2,…,2019,1×2,1×3,2018×2019,……，1×2×⋯×2019,它们的倒数和：
1+ 1
2 +…+
1
2019 +
1
1×2 +
1
1×3 +…+
1
2018×2019 +…+
1
1×2×⋯×2019
=(1+1)(1+ 1
2)…(1+
1
2019)-1=2× 3
2 ×⋯× 2020
2019 -1=2019
解法2:当A={1}时,结果是1;
当A={1,2}时,结果是1+ 1
2 +
1
1×2 =2；
当A={1,2,3}时,结果是1+ 1
2 + 1
3 +
1
1×2 +
1
1×3 +
1
2×3 +
1
1×2×3 =3.
由数学归纳法可证(省略):当A={1,2,3,…,2019}时,结果是2019.
24．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该
集合的所有元素之和，则x 的值为
.
【答案】- 3
2
【解析】假如x≥0，则最大、最小元素之差不超过max{3，x}，而所有元素之和大于max{3，x}，不符合条
件.故x<0，即x 为最小元素.于是3－x=6+x，解得x =- 3
2
.
25．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】已知实数集合{1，2，3，x}的最大元素等于该集合的所有元
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素之和，则x 的值为
.
【答案】-3
【解析】条件等价于1，2，3，x 中除最大数以外的另外三个数之和为0.显然x<0，从而1+2+x=0，得x=－
3.
26．【2018 年福建预赛】已知集合A={1，3，5，7，9}，集合{
a
b|a∈A ，b∈A ，且a≠b}
，则集合
B 中元素的个数为________.
【答案】18
【解析】
依题意，a 有5 种取法；当a 取定后，b 有4 种取法；故，得到5×4=20 种取法.由于1
3 = 3
9 ，3
1 = 9
3
.因此，
共可得到20－2=18 个不同的值.
∴集合B 中元素的个数为18.
27．【2018 年江苏预赛】在1，2，3，4，…，1000 中，能写成a
2-b
2+1(a∈N )的形式，且不能被3 整
除的数有________个。
【答案】501.
【解析】
设
S ={1,2,3,4 ,⋯,1000}，
若
n=a
2-b
2+1，
则
n≠3(mod 4).
又
4 k =(2k )
2-(2k -1)
2+1，4 k +1=(k +1)
2-(k -1)
2+1，4 k +2=(2k +1)
2-(2k )
2+1，
因
此
，
n=a
2-b
2+1当且仅当n≠3(mod 44).令A ={a∈S|a≡3(mod 44)}，B ={b∈S|b≡0(mod 3)}，则
A ∩B ={c∈S|c≡3(mod 12)}，因为| A |=250，|B|=333，| A ∩B|=84，从而符合条件的数的
个数为1000-250-333+84 =501.
故答案为：501
28．【2018 年重庆预赛】设集合A ={a-1,2log2b}与B ={a+1,log2(16b-64)}恰有一个公共元素为
a，则实数a=________．
【答案】6
【解析】
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因为a-1≠a，a+1≠a，所以公共元素为2log2b= log2(16b-64)，解得b=8，a=2log2b=6．
故答案为：6
29．【2018 年湖南预赛】已知A∪B={a1,a2,a3}，当A ≠B时，( A ,B)与(B , A )视为不同的对，则这样
的( A ,B)对的个数有_____个.
【答案】27
【解析】
由集合A、B 都是A ∪B的子集，A ≠B 且A ∪B =(a1,a2,a3).
当A =∅时，B 有1 种取法；
当A 为一元集时，B 有2 种取法；
当A 为二元集时，B 有4 种取法；
当A 为三元集时，B 有8 种取法.
故不同的（A，B）对有1+3×2+3×4 +8=27（个）.
故答案为：27
30．【2018 年广东预赛】设集合A =¿，其中，[x]表示不大于x 的最大整数，则A ∩B =__________.
【答案】A ∩B ={-1,❑√3}
【解析】
因为|x|<2，所以，[x]的值可取-2，-1，0，1.
当[x]=-2时，x
2=0，无解；
当[x]=-1时，x
2=1⇒x =-1；
当[x]=0时，x
2=2，无解；
当[x]=1时，x
2=3⇒x = ❑√3，
因此，x =-1或❑√3.
31．【2018 年贵州预赛】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以
下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳
选手是_______．
【答案】牛得亨先生的女儿
【解析】
由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最
佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年
龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得
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亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．
因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同
胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿．
故答案为：牛得亨先生的女儿
32．【2018 年广西预赛】某含有三个实数的集合既可以表示为{b, b
a ,0}
，也可以表示为{a,a+b,1}，则
a
2018+b
2018的值为________.
【答案】2
【解析】
由题意可知a≠0.由集合相等可以得到a+b=0，从而得到b
a =-1.
因此a=-1，且b=1.所以a
2018+b
2018=(-1)
2018+1
2018=2.
33．【2018 年山东预赛】集合A 、B满足A ∪B = {1,2,3,⋯,10}，A ∩B =∅，若A中的元素个数不是
A中的元素，B中的元素个数不是B中的元素，则满足条件的所有不同的集合A的个数为______．
【答案】186
【解析】
设A中元素个数为k (k =1,2,⋯,9)，则B中元素个数为10-k，
依题意k ∉A ，(m- 1
2)
4
<k <(m+ 1
2)
4．
10-k ∉B，10-k ∈A，此时满足题设要求的A的个数为C10-2
k -1 ．
其中，当k =5时，不满足题意，故k ≠5．
所以A的个数为C8
0+C8
1+⋯+C8
8-C8
4=2
8-C8
4=186．
34．【2018 年河北预赛】已知集合A = {x , xy , x + y}，B ={0,|x|, y}且A=B，那么x
2018+ y
2018=_______.
【答案】2
【解析】
由B 中有三个元素知，x≠0 且y ≠0，故A 中x + y =0，即有x =- y，又{x , xy}={|x|, y}
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若¿，则¿.此时A = {1,-1,0},B = {0,1,-1}.
若¿，则¿，或¿，或¿，不满足互异性，舍去.
故x =1，y =-1，所以x
2018+ y
2018=2.
35．【2018 年四川预赛】设集合I = {1,2,3,4,5,6,7,8}，若I的非空子集A 、B满足A ∩B =∅，就称有序集
合对( A ,B)为I的“隔离集合对”，则集合I的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答）
【答案】6050
【解析】
设A 为I 的k (1≤k ≤7)元子集，则B 为I的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为
∑
k =1
7
C8
k(2
8-k -1)=∑
k =1
7
C8
k 2
8-k -∑
k =1
7
C8
k =(1+2)
8-(C8
02
8+C8
82
0)-(2
8-C8
0-C8
8)=3
8-2
9+1=6050.
故答案为：6050.
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