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第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元测试·强化卷）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知全集
，集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由补集和交集的运算可得结果.
【详解】由题意，
，则
.
故选：C.
2．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可求集合
，再利用并集的运算求解即可.
【详解】集合
的不等式为：
，可求解为
．
所以集合
．
从而集合
的并集为：
．
故选：B．
3．设
， 则“
”是
的（ ）条件.
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】首先求得
的充要条件，然后即可判断.
【详解】由题意
或
，
而若
，则有
，所以肯定有
或
，
取
，即
满足
或
，但是
不满足
，
所以“
”是
的充分而不必要条件.
故选：A.
4．已知集合
，
则满足
的集合C 的个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．7
【答案】C
【分析】求出集合
、
，再根据
写出所有的满足条件的集合C，进而可得正确答案.
【详解】因为
，
，
且
，
故集合
可以为
，
，共6 个．
故选：C.
5．已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
为集合
中的元素，先求
，再根据
，进行验证，即可求解.
【详解】当
，得
，
，满足条件，
，得
，
，不满足条件，
，得
，
，满足条件，
，得
，
，不满足条件，
所以
.
故选：C
6．命题“
”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据命题的真假可得参数
的取值范围，进而确定其必要不充分条件.
【详解】命题的否定为：“
”
若该命题为真命题得
，所以
，
所以
为该命题的一个必要不充分条件，
故选：C.
7．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有
人，参加唱歌课外
活动的有
人，参加体育课外活动的有
人，三种课外活动都参加的有
人，选择两种课外活动参加的
有
人，不参加其中任何一种课外活动的有
人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．
人
B．
人
C．
人
D．
人
【答案】A
【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，不妨设总
人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的人数为
，利用容
斥原理可求得
的值，即为所求.
【详解】如图所示，用Venn 图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，
则
，
，
，
．
不妨设总人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的人数为
，
则
，
，
，
．
由三个集合的容斥关系公式得
，
解得
，故接受调查的小学生共有
人．
故选：A.
8．在整数集
中，被除所得余数为
的所有整数组成一个“类”，记为
，即
，则下面选项正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．整数
属于同一“类”的充分不必要条件是“
”
【答案】C
【分析】求
被除的余数，判断A，求
被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断
C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.
【详解】对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，每个整数除以后的余数只有
，没有其他余数，
所以
，又
，
故
，C 正确；
对于D，若
，
则
，
若
，则
，
不妨设
，
则
，
所以
，
，
所以
除以后余数相同，
所以
属于同一“类”
所以整数
属于同一“类”的充要条件是“
”，D 错误；
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
为奇数
【答案】AC
【分析】对A，由绝对值的意义可判断；对B，计算判别式，判断对应方程根的情况得解；对C，由题可得
，得解；对D，由
，
是3 个连续的整数，所以
是偶数，得
解.
【详解】对于A，因为
，故A 正确；
对于B，因为方程
的判别式
，方程无实数解，故B 错误；
对于C，任意
，则
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
，当
时，
是3 个连续的整数，
至少有一个是偶数，所以
是偶数，故D 错误.
故选：AC.
10．设
，下列选项正确的是（ ）
A．集合
的子集个数为4
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D.
【详解】因为
，
所以集合
的子集个数为
，故A 正确；
当
时，
，即
，故B 正确；
当
时，
，即
，故C 错误；
对D，当
时，
，满足
，
当
时，
，当
时，
，即
，
当
时，
，当
时，
，即
，
综上，
，故D 错误.
故选：AB
11．给定数集M，若对于任意x，
，都有
，且
，则称集合M 为闭集合.下列说法错
误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合
为闭集合
D．若集合
，
为闭集合，则
也为闭集合
【答案】ABD
【详解】取
，
，则
，故A 错误；取
，
，则
，0 不是无理数，
故B 错误；设
，
，则
，
，故C 正
确；取
，
，由C 选项可知
是闭集合，同理可证
也是闭集
合，则
为被2 整除或被3 整除的全体整数集，取
，
，则
，5 不能被2 或3 整除，
即
，故D 错误.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若命题p：
，
，则命题p 的否定为 ．
【答案】
【分析】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.
【详解】命题p：
，
的否定为：
，
故答案为：
13．已知
，则p 是q 的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”
“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【详解】
因为
，所以
，解得
，所以
，又
，因为
，故p 是q 的必要不充分条件．
14．已知集合
，若
，则符合题意的一个集合C 为
（写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合
，若
，且
，则
．
【答案】
（答案不唯一，也可以是
）
【详解】由已可得
．又
，所以C 是
中的一个．显然1
是方程
与
的公共解，且
，则
解得
所以
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．定义集合运算
，其中 U 为全集.已知全集
，集合
，
.求：
的结果（其中
）.
【答案】
【分析】根据新定义，利用德摩根公式即可求解.
【详解】根据定义，
.
由德摩根公式的推广形式得：
，
因为
，
所以
所以，
.
因为
，所以
.
16．已知集合
，非空集合
，设全集为实数集
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
或
；
(2)
【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解；
（2）求出
，根据并集结果得到不等式，求出答案.
【详解】（1）
时，
，
故
，
或
，
或
，
故
或
；
（2）
，则
，解得
，
或
，
，
要想
，需满足
，解得
，
综上，
的取值范围是
.
17．已知非空集合
，
.
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
代入集合求解，利用集合的运算可求解；
（2）利用充分不必要条件的定义，转化为P 是Q 的真子集，分类讨论集合可求实数
的取值范围．
【详解】（1）已知集合
，
.
当
时，
，
或
，
又
，
.
（2）因为“
”是“
”充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集，
又
，
，
所以
，解得
，
当
时，
是Q 的真子集；
当
时，
也满足是Q 的真子集，
综上所述：实数
的取值范围为
.
18．已知集合
，
(1)若
，实数
的取值范围；
(2)若
，
是假命题，求实数
的取值集合
；
(3)设不等式
的解集为D，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
．
(2)
(3)
．
【分析】（1）求出集合
，又
，根据集合的包含关系分类讨论求解；
（2）原命题的否定：
，
是真命题，转化为求
的最大值即得；
（3）由题意得出
，再分
和
进行讨论．
【详解】（1）
，
，
若
，即
，则
满足题意，
若
，即
，则
，又
，故无实解，
综上
．
（2）
，
是假命题，则
，
是真命题，即
，
时，
（
时取等号），所以
，即
；
（3）若
是
的必要不充分条件，则
，
的解是
或
，
，即
时，
满足题意，
时，
，
因此
，解得
且
．
综上，
．
【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问
题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不
等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围．
19．已知集合
，
，
、
是
的非空子集.记集合
除以
的余数
.若正整数
满足：存在非空集合
、
，使得
两两的交集为空集，且
，则称
为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)
，
是“好的”
(2)证明见解析
(3)除、
、
外的正整数
【分析】（1）根据题中定义可求出集合
，并由此作出判断；
（2）当
时，取集合
，
；当
时，取集合
，
，结合
题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”，再证：
为奇数是“好的”，
不是
“好的”，同理易知
，
不是“好的”，由此可得出结论.
【详解】（1）当
时，由题中定义可得
，且
，故
是“好
的”.
（2）
时，取
，
，则
的值为
、
、、，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以
，此时
，合乎题意；
时，取
，
，
的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，
8，13，0.
所以
，则
，满足条件.
故
是“好的”，
是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数
是“好的”，则
也是“好的”.（*）
事实上，若正整数
是“好的”，
设
，
，
，此时集合
、
满足
时条件.
时，考虑
，
，
则
也满足条件，（*）得证.
②再证：
为奇数是“好的”.（**）
事实上，取
，
，则
满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：
不是“好的”.
对集合
，记
为
中元素个数，由条件，
.
若
，则
，矛盾.
若
或
，则
，则
，矛盾.
于是
不是“好的”.
同理易知
，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
