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第十一章 立体几何初步 章末题型大总结
题型01 斜二测画法
【典例1】（24-25 高一下·安徽合肥·期中）某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所
解题锦囊
在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
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示），将该平面图形绕其直角腰
边旋转一周得到一个圆台，已知
，
，
则该圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·浙江台州·期中）如图，矩形
是用斜二测画法画出的水平放置的一个平
面四边形
的直观图，其中
，
．则平面四边形
的周长为（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【变式2】（24-25 高一下·广西防城港·期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所
示，
轴，
轴，
，则
的原图形的面积为（ ）
A．5
B．10
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·江苏·期中）如图，
表示水平放置的
根据斜二测画法得到的直观图，
在
轴上，
与
轴垂直，
且
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·江西赣州·期末）如图，
是水平放置的
的直观图，若
，
轴，
轴，则
的周长为（ ）
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A．
B．
C．
D．
题型02 简单几何体的特征
【典例2】（23-24 高一下·湖南益阳·期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．平行的线段在直观图中仍然平行
D．在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面
解题锦囊
1.棱柱的两个主要结构特征：
①有两个面互相平行；
②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．
通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．
(2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对
面都可以作为底面．
2．棱锥的两个本质特征
(1)有一个面是多边形；
(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥，棱锥还可按底面多边
形边数进行分类．
3．正确认识棱台的结构特征
(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；
(2)侧面都是梯形；
(3)侧棱延长线必交于一点．
注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．棱台还可按底面多边形的边数进行分类．
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【变式1】（23-24 高一下·湖南衡阳·期末）下列几何体中，顶点个数最少的是（ ）
A．四棱锥
B．长方体
C．四棱台
D．四面体
【变式2】（23-24 高一下·青海海西·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．圆柱的轴截面是矩形
B．圆锥的轴截面是等腰三角形
C．所有空间几何体都是多面体
D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形
【变式3】（23-24 高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【变式4】（23-24 高一下·天津南开·期末）给出下列命题：
①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台；
④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形．
其中正确命题是（ ）．
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【变式5】（23-24 高一下·天津·期末）下列说法正确的是（ ）
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线
B．直四棱柱是长方体
C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
题型03 多面体的面积与体积问题
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【典例3】（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台
的上底面边长
，下底面边长
，侧棱
与底面
所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）在如图五面体中，棱AD，BE，CF 互相平行，且两两之间距离
为1.若
，
，
，
，则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·江苏无锡·期末）已知四棱锥
，
，
平分
，点
在
上且满足
，则三棱锥
的体积为（ ）
解题锦囊
1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤
(1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积．(2)求出其底面的面积．(3)求和得到表面积．
注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2.求几何体体积的常用方法
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A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·山西·期中）若正四棱锥的高为
，且其各侧面的面积之和是底面积的2 倍，
则该四棱锥的表面积为（ ）
A．12
B．24
C．32
D．48
【变式4】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为
，
则正四棱锥的侧面积为（ ）
A．
B．8
C．
D．32
【变式5】（24-25 高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为
，母线
长为2，点
为
的中点，则（ ）
A．圆台的轴截面积为
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为
D．在圆台的侧面上，从C 点到E 点的最短路径长为5
【变式6】（24-25 高一下·广东湛江·期中）如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F 分别为AC，AB 的
中点，平面EC′B′F 将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么
（ ）
A．6︰5
B．7︰5
C．8︰3
D．4︰3
【变式7】（24-25 高一下·安徽·期中）如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形
经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若下底
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面正方形边长为2，“四角反棱台”高为
，则该几何体体积为（ ）
A．
B．
C．
D．20
题型04 旋转体的面积与体积问题
【典例4】（24-25 高一下·山东·期中）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为
，则圆台上下底面
面积之差的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）若底面半径为r，母线长为l 的圆锥的表面积与直径为l 的
球的表面积相等，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（24-25 高一下·河南·期中）如图是一个圆台的侧面展开图，若
，
所在圆的半径
分别是2 和4，且
，则（ ）
A．圆台的侧面积为
B．圆台的高为
解题锦囊
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系
S 圆柱侧＝2πrl――→S 圆台侧＝π(r＋r′)l――→S 圆锥侧＝πrl.
2.球的表面积(体积)与半径之间的函数关系
S 球＝4πR2 V 球＝πR3.
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C．圆台的体积为
D．圆台内部可以容纳的球的直径最大为
【变式3】（多选）（24-25 高一下·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别
为
，母线
长为2，点
为
的中点，则（ ）
A．圆台的轴截面积为
B．圆台的体积为
C．圆台的侧面积为
D．在圆台的侧面上，从C 点到E 点的最短路径长为5
【变式4】（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧
面积为
，则该圆台的体积为 ．
【变式5】（多选）（24-25 高一下·河北·期中）已知球
的半径为
，
，
，
为球面上三点，且
，
，若球心
到平面
的距离等于
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若圆柱的外接球为球
，则圆柱侧面积的最大值为
C．若正三棱柱的内切球为球
，则正三棱柱的体积为
D．若正四面体的各棱与球
相切，则正四面体的表面积为
题型05 展开图的最短路径问题
【典例5】（24-25 高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱
的底面边长为
，高为，一质点从
点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
点的最短路线长为（ ）
解题锦囊
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果． .
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A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是
，圆柱的高为
，
为圆
柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点
处爬到上底面点
处，那么它爬行的最短路
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台
中，
，点
为棱
上的动点（含端点），则
的最小值是（ ）
A．6
B．
C．8
D．
【变式3】（多选）（24-25 高一下·陕西榆林·期中）正方体
的棱长为2，M 是棱
上的
一个动点（含端点），则
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【变式4】（24-25 高一下·河北邢台·期中）正三棱柱
的底面边长为1，高为4，在棱
上分别任取点E，F，则
的最小值为 ．
【变式5】（24-25 高一下·浙江杭州·期中）如图是一个以
为底面的正三棱柱被一平面所截得的几
何体，截面为△ABC.已知
.
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(1)求几何体
的体积；
(2)线段
上有一动点
，求使
最小时
的长.
题型06 共面与共线问题
【典例6】（24-25 高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体
中，四边形
和四边形
均为正方形，四边形
和四边形
均为梯形，其中
，
，且
．
(1)证明：B，D，E，G 四点共面.
(2)证明：
三条直线交于一点.
【变式1】（24-25 高一下·山东泰安·期中）长方体
中，直线
与平面
的交点为
，
解题锦囊
1.证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α 与β 重合，即用“同
一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
2．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3 可知，这些点都在两个
平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
3．证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
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与
交于点
，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
，
，
三点确定一个平面
C．
，
，
，
四点共面
D．
，
，
，
四点共面
【变式2】（24-25 高一下·云南玉溪·期中）在图示正方体中，O 为BD 的中点，直线
平面
，
下列说法错误的是（ ）
A．A，C，
，
四点共面
B．
，M，O 三点共线
C．
平面
D．
与BD 异面
【变式3】（24-25 高一下·福建莆田·期中）如图所示，在空间四边形
中，点
，
分别是边
，
的中点，点
，
分别是边
，
上的点，且
，则下列说法正确的有（ ）个
①
，
，
，
四点共面；
②
与
异面；
③
与
的交点
可能在直线
上，也可能不在直线
上；
④
与
的交点
一定在直线
上．
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式4】（24-25 高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥
中，点G 在正方形ABCD 内，点F
在BE 上，若DF 与EG 相交，则下列说法一定正确的是（ ）
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A．点G 在AC 上
B．
C．
D．直线EB，GD 交于点B
【变式5】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图，已知
分别是正方体
的棱
的中点，
.证明：直线
交于同一点；
题型07 点线面位置关系的判断
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【典例7】（23-24 高一下·湖南株洲·期末）设
为空间中两条不同直线，
为空间中两个不同平面，
下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
不垂直于
，则
必不垂直于
C．若
,
，则
D．若
是异面直线，
，则
【变式1】（23-24 高一下·江苏无锡·期末）若
为空间中两条不同的直线，
为空间两个不同的平面，
则下列结论不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
【变式2】（23-24 高一下·宁夏固原·期末）已知m，n 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下
列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
解题锦囊
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号
语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB 与l 是异面直线
3.直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另
外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α 内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面
只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
4．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3 为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
.
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C．若
，
，则
D．若
，
，则
【变式3】（23-24 高一下·江苏苏州·期末）设
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，下列说
法中正确的序号为（ ）
①若
，则
为异面直线 ②若
，则
③若
，则
④若
，则
⑤若
，
，
，则
A．②③⑤
B．①②⑤
C．④⑤
D．①③
【变式4】（多选）（24-25 高一上·湖南邵阳·期末）已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
【变式5】（24-25 高一上·上海·期末）平行于同一平面的两直线的位置可能是 .
题型08 平行关系的证明
【典例8】（24-25 高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
分别是
的中点．
解题锦囊
1.证明线线平行的方法
(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．
(2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理：⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．
2.证明直线与平面平行的方法
(1)线面平行的判定定理；
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
3.平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α 内的两条相交直线与平面β 内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
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(1)求证：
平面
；
(2)在
上取一点
（不与
重合），设过点
和
的平面交平面
于
，求证：
．
【变式1】（24-25 高一下·江苏无锡·期中）如图所示，正四棱锥
中，P 为侧棱SD 上的点，且
，Q 为侧棱SD 的中点，平面
平面
．
(1)证明：
平面PAC；
(2)证明：
；
【变式2】（24-25 高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥
中，四边形
是平行四边形，
，
交于点
，点
是棱
上的一点，且
平面
．
(1)求证：点
是
的中点；
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
平面
？若存在，请加以证明，并写出
的值；若不存
在，请说明理由．
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
分别为
的中点.
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(1)证明：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积.
题型09 垂直关系的证明
【典例9】（23-24 高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形
中，已知
，
，
，
，E 为对角线
的中点，现将
沿
折起到
的位置，使平面
平面
．求证：
(1)直线
平面
；
(2)平面
平面
．
【变式1】（24-25 高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱
中，
，
、
分别为
、
的中点.
解题锦囊
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是
哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现
出来．
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． .
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(1)求证：
平面
；
(2)求证：
.
【变式2】（24-25 高一下·山东青岛·期中）如图，在长方体
中，
，
，
点P 为
的中点．求证：
(1)直线
平面PAC；
(2)平面
平面
．
【变式3】（23-24 高一下·北京·阶段练习）如图，四边形ABCD 是正方形，
平面
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求三棱锥
的体积．
题型10 平行垂直的综合问题
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【典例10】（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
为等边三角形，底面
是平行四边形，点
为
的中点，点
分别在
上，且平面
平面
．
(1)求证：
为线段
中点；
(2)若点
在棱
上，猜想：当
为何值时，有平面
平面
，并证明你的猜想．
【变式1】（22-23 高一下·山西·期末）如图，PA⊥平面ABC，AB 为圆O 的直径，E，F 分别为棱PC，PB
的中点．
(1)证明：EF
平面ABC．
(2)证明：平面EFA⊥平面PAC．
【变式2】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体
中．
(1)求证：
∥平面
；
(2)求证：
平面
．
【变式3】（23-24 高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱
中，
，E、F 分别为
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AB、
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
；
(3)若
，直线EF 与平面ABC 所成角为
，求三棱锥
的体积．
【变式4】（24-25 高一上·上海·期末）如图，在四棱锥
中，底面
是等腰梯形，
，平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)求证：
为直角三角形；
(3)若
，求四棱棱
的体积.
题型11 球的内切外接问题
【典例11】（23-24 高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
解题锦囊
常见的几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于
球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，
作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
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，
，则三棱柱
外接球的表面积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·甘肃临夏·期末）已知A，B，C 三点均在球O 的表面上，
，且
球O 的内接正方体的棱长为
，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【变式2】（23-24 高一下·陕西宝鸡·期末）已知三棱锥
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·江苏南京·期末）设
是球
表面上的四个点，
平面
，
，
，
，
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·四川凉山·期末）已知正三棱柱
的侧面积为
，若该三棱柱的顶
点都在同一个球
的表面上，则球
的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高一上·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为
，则此球表面积为 .
题型12 异面直线所成角
【典例12】（23-24 高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥
中，
，且直线
与
所成的角
为
，
分别为棱
的中点，则直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
解题锦囊
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何
体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ 为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ 为所
求.
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【变式1】（23-24 高一下·重庆·期末）如图，在正三棱柱
中，若
，
，则
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱
中，所有棱长均为4，D 是AB
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求异面直线
与
所成角的正弦值．
【变式3】（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）如图，在四面体
中，
平面
，M 是
的中点，
P 是
的中点，点Q 在线段
上，且
．
(1)求证：
平面
．
(2)若三角形
为边长为2 的正三角形，
，求异面直线
和
所成角的余弦值 ．
题型13 直线与平面所成角
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【典例13】（23-24 高一下·江苏苏州·期末）如图，四棱锥
的体积为
，底面
为等腰梯形，
，
，
，
，
，
是垂足，平面
平面
．
(1)证明：
；
(2)若
为
的中点，求直线
和平面
所成角的正弦值．
【变式1】（23-24 高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱
中，
，
与平面
所成的角为
，则该正三棱柱的体积为 ．
【变式2】（23-24 高一下·江苏常州·期末）已知圆台上下底面半径分别为
，圆台的母线与底面所成的
角为
，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为 .
【变式3】（23-24 高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知
平面ABC，
∥
，
，
，
，E 为BC 的中点.
(1)求证：平面
平面
；
解题锦囊
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
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(2)求直线
与平面
所成角的大小.
【变式4】（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，
是半球O 的直径，P 是半球底面圆周上一点，Q 是半
球面上一点，且
．
(1)求证：
；
(2)若
,求直线
与平面
所成角的正弦值．
【变式5】（23-24 高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥
中，
平面PAB，且在四边形
PACQ 中，
，
，二面角
的大小为
，且
．
(1)点E 为BC 的中点，证明：
平面PAB；
(2)求直线BQ 与平面PACQ 所成角的正弦值．
题型14 二面角
【典例14】（23-24 高一下·青海·期末）如图，在四棱锥
中，底面四边形
是直角梯形，
是
的中点，
．
解题锦囊
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
(2)求二面角的大小的方法：
一作：即先作出二面角的平面角；
二证：即说明所作角是二面角的平面角；
三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．
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(1)证明：
平面
．
(2)若
，求二面角
的正弦值．
【变式1】（23-24 高一下·广东广州·期末）已知圆锥的顶点为S，O 为底面圆心，母线
与
互相垂直，
的面积为2，
与圆锥底面所成的角为
，则（ ）
A．圆锥的高为
B．圆锥的侧面积为
C．二面角
的大小为
D．圆锥侧面展开图的圆心角为
【变式2】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）在正方体
中，平面
与平面ABCD 所成
锐二面角的大小为 ．
【变式3】（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱
所有棱长都为2，
，O
为BC 中点，D 为
与
交点．
(1)求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求二面角
的大小．
【变式4】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱
中，
是一条母线，
是底面一条直径，
C 是
的中点.
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(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
【变式5】（23-24 高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱
中，各棱长均相等，
､
､
､
分别为棱
､
､
､
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
；
(3)求二面角
的余弦值.
题型15 空间距离的计算
【典例1】（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥
中，
，
，
．
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求点
到平面
的距离．
【变式1】（23-24 高一下·内蒙古·期末）已知等边
边长为2，
平面
，且
，则点C
到平面
的距离为 ．
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【变式2】（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台
，底面
是以
为直角顶
点的等腰直角三角形，体积为
，平面
平面
，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求点
到面
的距离；
(3)在线段
上是否存在点
，使得二面角
的大小为
，若存在，求出
的长，若不存在，请
说明理由.
【变式3】（23-24 高一下·甘肃临夏·期末）如图所示，三棱柱
中，侧棱
垂直于底面，
，
，
，点P，D 分别为AB，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
；
(3)求点C 到平面
的距离．
