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第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知幂函数
的图象与坐标轴无公共点，则
（ ）
A．0
B．1
C．0 或
D．0 或1
【答案】D
【详解】由题意
或1.
故选：D.
2．函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称知，
函数
是函数
的反函数，所以
，即
，
故选：A.
3．设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
所以
，
故选：B
4．函数
在
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．e
【答案】A
【详解】因为
均在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上的最小值为
.
故选：A.
5．已知函数
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．3
【答案】A
【详解】
，
设
，定义域为R，则
，
所以
，即
，
所以
.因为
，所以
.
故选：A
6．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
，则必有
，
由
，则
，可得
，
又
，根据基本不等式有
，
若
且
，则有
，即
是
的充分条件，
若
，则
，此时满足
，但
不成立，
所以
是
的非必要条件，
综上，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
7．在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，
是信号强度值（单位：分贝，
），
（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号强度公式
可简化为：
（
为常数），若距离增加一倍，则信号强度值约减少6
，信号传播距离从
增加到
时，测得信号强度值从-30 变到-48，则
（ ）
A．
B．6
C．
D．8
【答案】D
【详解】由距离从
到
时，信号强度值约减少为6dB，得
，解得
，
由信号传播距离从
增加到
时，测得信号强度值从
变到
，
得
，则
，即
，
因此
，所以
.
故选：D
8．已知函数
，其中
．若
在
上的值域为
，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
在
内单调递减，
则
，且
；
若
在
上的值域为
，
则
在
上的最值点在
内，
可知
的最大值为
，且
，可得
，
令
，解得
或
，
结合
的图像可知实数的取值范围是
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于定义域和值域的开闭问题，可知
在
上的最值点在
内，进而结合二次函数分析最值.
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】对于A，因为
，所以是奇函数，又根据对勾函数性质，
在
上单
调递减，在
上单调递增，故A 错误；
对于B，
，因为
，所以是奇函数，又因为函数
、
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，故B 正确；
对于C，因为
，所以是偶函数，故C 错误；
对于D，因为
，所以是奇函数，而
，函数
在
上单调递减，所以
在
上单调递增，故D 正确．
故选：BD．
10．如图，这是函数
和
的大致图象，其中
，图象中在点
处形成了4 条
曲线，从左至右分别记为
，则（ ）
A．
是函数
的图象
B．
是函数
的图象
C．
是函数
的图象
D．
是函数
的图象
【答案】BC
【详解】
中，令
，则
，
，若
，则
，
，解得
，
若
，则
，
，解得
，
同理
中，令
，则
，
，若
，则
，
，解得
，
若
，则
，
，解得
，
因为
，所以
，
作出直线
，如下：
显然，
是函数
的图象，
是函数
的图象.
故选；BC
11．设
，
表示不超过
的最大整数，如
，记
.则下列说法正确的有
（ ）
A．
，都有
B．
，都有
C．
，都有
D．若存在实数
，使得
同时成立，则正整数
的最大值为4.
【答案】ACD
【详解】对于A，
，
，故A 正确；
对于B，当
时，
，
，
此时
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，
又
与
均为整数，所以
，
即
，则
，故C 正确；
对于D，
，
，
，
，
，
当
时，
，
，
因为
，所以
，即
当
时，
，
，
，
因为
，所以
，
当
时，
，
，
，
，
因为
，所以
，
所以若
，则
，此时
，即
，
故不存在
满足
，
，
，
，
同时成立，
所以正整数
的最大值为4，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理
解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．方程
的解为 ．
【答案】
【详解】
．
故答案为：
.
13．已知函数
，则
的图象经过定点 ；
的值域为 .
【答案】
【详解】因为
恒成立，所以令
得
，
故
的图象经过定点
；
函数
的定义域为R，所以函数
的值域为
，
因为
在
上单调递增，值域为
，
所以函数
的值域为
.
故答案为
；
.
14．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
.
【详解】当
时，
的值域为
，
因为函数
的值域为
，
所以当
时，
的值域包含
，
所以
，所以
，
即
，解得
或
，
则实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
.
16．（15 分）已知函数
是指数函数.
(1)求
的表达式；
(2)判断
的奇偶性，并加以证明；
(3)解不等式：
.
【答案】(1)
(2)
是奇函数，证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）依题意，
，解得
或
，
而
，故
，
所以
.
（2）由（1）知，
定义域为R，
，
所以函数
是奇函数.
（3）不等式
化为
，
因此
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
17．（15 分）已知函数
，
.
(1)若函数
是奇函数，求实数m 的值；
(2)当
时，若存在
，使得
成立，求实数t 的取值范围；
(3)当
时，
，求函数
的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）因为函数
为奇函数，且定义域为
，
所以
，即
，所以
，
即
，因为
为奇函数，所以
符合题意；
（2）当
时，
，则存在
，使得
成立，
即
，所以
在
上有解，
令
，因为
，所以
，则
有解，
故实数t 的取值范围为函数
的值域，
又
，因为
，所以
，
所以
，故实数t 的取值范围为
；
（3）由题
，
令
，显然在
上单调递增，则
，
则
，
当
，即
时，
在
上单调递减，
；
当
，即
时，
在
上单调递增，
；
当
，即
时，
.
综上：当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
18．（17 分）2023 年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池
产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，
目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车纯电动汽车
､
.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，
国道限速
.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量
（单位：
）与速度
（单位：
）的数据如下表所示：
0
10
40
60
0
1420
448
0
6720
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量
与速度
的关系，现有以下三种函数模型供选择：①
；②
；③
.
(1)当
时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数
表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶
，高速上行驶
.假设
该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量
与速度
的关系满足（1）中的函数表
达式；高速路上车速
（单位：
）满足
，且每小时耗电量
（单位：
）与速度
（单
位：
）的关系满足
.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该
车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】(1)选①
，
；
(2)在高速上的行驶速度为
，在国道上的行驶速度为
，
.
【分析】
【详解】（1）对于③，
，当
时，它无意义，不符合题意；
对于②，
，当
时，
，又
，
所以
，不符合原意；
因此选①，
.
由表中的数据得，
，解得
，
所以
.
（2）高速上行驶
，所用时间为
，
则所耗电量为
，
显然函数
在
上单调递增，
于是
；
国道上行驶
，所用时间为
，
则所耗电量为
，
而
，则当
时，
.
所以当这辆车在高速上的行驶速度为
，在国道上的行驶速度为
时，
该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为
.
19．（17 分）定义：对于定义在区间
上的函数
和正数
，若存在正数
，使不等式
对任意
恒成立，则称函数
在区间
上满足
阶李普希兹条件．
(1)判断函数
在
上是否满足1 阶李普希兹条件，并说明理由；
(2)证明函数
在区间
上满足
阶李普希兹条件，并求出
的取值范围．
【答案】(1)
满足1 阶李普希兹条件，
不满足1 阶李普希兹条件，理由见解析
(2)证明见解析，
【详解】（1）
满足1 阶李普希兹条件，
不满足1 阶李普希兹条件．
理由如下：对于
，
，只需
，
所以存在正数
，使
对任意
恒成立，
所以
满足1 阶李普希兹条件．
对于
，
，不妨设
，则
，
，即不存在正数
，使不等式
对任意
恒成立，
所以
不满足1 阶李普希兹条件．
（2）不妨设
，则
时，
，
所以
，
故
时，对任意
，均有
故函数
在区间
上满足
阶李普希兹条件，
的取值范围为
．
