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第四章 指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、单项选择题：（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1．已知幂函数
的图象与坐标轴无公共点，则
（ ）
A．0
B．1
C．0 或
D．0 或1
2．函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
在
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．e
5．已知函数
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．3
6．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，
是信号强度值（单位：分贝，
），
（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号强度公式
可简化为：
（
为常数），若距离增加一倍，则信号强度值约减少6
，信号传播距离从
增加到
时，测得信号强度值从-30 变到-48，则
（ ）
A．
B．6
C．
D．8
8．已知函数
，其中
．若
在
上的值域为
，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，这是函数
和
的大致图象，其中
，图象中在点
处形成了4 条
曲线，从左至右分别记为
，则（ ）
A．
是函数
的图象
B．
是函数
的图象
C．
是函数
的图象
D．
是函数
的图象
11．设
，
表示不超过
的最大整数，如
，记
.则下列说法正确的有
（ ）
A．
，都有
B．
，都有
C．
，都有
D．若存在实数
，使得
同时成立，则正整数
的最大值为4.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.）
12．方程
的解为 ．
13．已知函数
，则
的图象经过定点 ；
的值域为 .
14．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 ．
四、解答题：（本题共5 小题，共计77 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13 分）计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
16．（15 分）已知函数
是指数函数.
(1)求
的表达式；
(2)判断
的奇偶性，并加以证明；
(3)解不等式：
.
17．（15 分）已知函数
，
.
(1)若函数
是奇函数，求实数m 的值；
(2)当
时，若存在
，使得
成立，求实数t 的取值范围；
(3)当
时，
，求函数
的最小值.
18．（17 分）2023 年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池
产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，
目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车纯电动汽车
､
.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，
国道限速
.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量
（单位：
）与速度
（单位：
）的数据如下表所示：
0
10
40
60
0
1420
448
0
6720
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量
与速度
的关系，现有以下三种函数模型供选择：①
；②
；③
.
(1)当
时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数
表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶
，高速上行驶
.假设
该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量
与速度
的关系满足（1）中的函数表
达式；高速路上车速
（单位：
）满足
，且每小时耗电量
（单位：
）与速度
（单
位：
）的关系满足
.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该
车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
19．（17 分）定义：对于定义在区间
上的函数
和正数
，若存在正数
，使不等式
对任意
恒成立，则称函数
在区间
上满足
阶李普希兹条件．
(1)判断函数
在
上是否满足1 阶李普希兹条件，并说明理由；
(2)证明函数
在区间
上满足
阶李普希兹条件，并求出
的取值范围．
