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第十章 概率（公式、定理、结论图表）
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
【特别提醒】
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概
率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
3. 古典概型的概率公式
P(A)＝.
典例1：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：
(1)甲中奖的概率P(A)；
(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；
(3)只有乙中奖的概率P(C)；
(4)乙中奖的概率P(D)．
【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解．
【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为A ，A ，B ，B ，B ，其中A ，A 为中奖券，则
1 2 1 2 3 1 2
基本事件为(A ，A )，(A ，B )，(A ，B )，(A ，B )，(A ，A )，(A ，B )，(A ，B )，(A ，B )，(B ，A )，(B ，
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2 2 3 1 1 1
A )，(B ，B )，(B ，B )，(B ，A )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，B )，(B ，A )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，B )，共
2 1 2 1 3 2 1 2 2 2 1 2 3 3 1 3 2 3 1 3 2
20种．
(1)若“甲中奖”，则有(A ，A )，(A ，B )，(A ，B )，(A ，B )，(A ，A )，(A ，B )，(A ，B )，(A ，
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2 2
B )，共8种，故P(A) ．
3
(2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(A ，A )，(A ，A )，共2种，所以P(B)＝ ．
1 2 2 1
(3)“只有乙中奖”的基本事件有(B ，A )，(B ，A )，(B ，A )，(B ，A )，(B ，A )，(B ，A )，共6种，故
1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 3 2
．
(4)“乙中奖”的基本事件有(A ，A )，(B ，A )，(B ，A )，(B ，A )，(A，A )，(B ，A )，(B ，A )，(B ，
2 1 1 1 2 1 3 1 l 2 1 2 2 2 3
A )，共8种，故 ．
2【总结升华】
1、利用古典概型的计算公式时应注意两点：
(1)所有的基本事件必须是互斥的；
(2)m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏.
2、古典概型解题步骤：
(1)阅读题目，搜集信息；
(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
(3)求出基本事件总数 和事件 所包含的结果数 ；
(4)用公式 求出概率并下结论.
4.事件的关系与运算
定义 符号表示
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B B A
包含关系
包含事件A(或称事件A包含于事件B)
(或A B)
⊇
相等关系 若B A且A B A ＝ B
⊆
并事件 若某⊇事件发生⊇当且仅当事件A发生或事件B发生，称 A∪B
(和事件) 此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或A＋B)
交事件 若某事件发生当且仅当 事件 A 发生 且 事件 B 发生 ，则 A∩B
(积事件) 称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事
A∩B＝∅
对立事件
件A与事件B互为对立事件
P(A∪B)＝1
5.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
典例2：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算．
【解析】记“等候的人数为0”为事件A，“1人等候”为事件B，“2人等候”为事件C，“3人等
候”为事件D，“4人等候”为事件E，“5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
∴ P(G)＝P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)
＝0.1+0.16+0.3＝0.56．
(2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
∴ P(H)＝P(D+E+F)＝P(D)+P(E)+P(F)
＝0.3+0.1+0.04＝0.44．
【总结升华】第(2)问也可以这样解：因为G与H是对立事件，所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44．
