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圆【章节复习】圆压轴 题集C20
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，
为⊙
的直径，点
是直径
上任意一点，过点
作弦
，垂足为
，过点
的
直线与线段
的延长线交于点
，且
．
若
，
，求⊙
的半径．
求证：直线
是⊙
的切线．
当点
与点
重合时，过点
作⊙
的切线交线段
的延长线于点
，在其它条件不变的情况
下，判断四边形
是什么特殊的四边形？请在图中补全图象并证明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
四边形
是平行四边形．
，
∴
，
连接
，设⊙
的半径为，则
，
在
中，
，
即
，解得
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴直线
是⊙
的切线．
如图所示：
2
【标注】
∵
，垂足为
，
∴当点
与点
重合时，
，
∴
，
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
是
的中位线，
∴
，
∵
，
．
∴
，
∴
，
∵
，
∵
，
∴
是
的中位线，
∴
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定及应用
【知识点】切线的判定定理
【知识点】弧、弦、圆心角关系
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】中位线定理及其应用
【知识点】相似三角形的性质
2. 已知：如图，四边形
内接于⊙
，
于点
，
于点
，
为
延长线上一
点．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
．
求证：
．
当点
运动到圆外时，即
、
的延长线交于点
，且
时（如图所示），（）
中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
结论成立．
∵四边形
是⊙
的内接四边形，
∴
，
∵
．
∴
．
连接
并延长交⊙
于点
，连接
．
∵
过
点，为⊙
的直径，
∴
，
∵
于
，
∴
为
中点，
∴
．
∵
，
∴
，
4
（3 ）
【标注】
∴
．
∵
且
．
∴
，
∴
，
∴
．
结论成立．
证明：连接
并延长交⊙
于点
，连接
．
∴
，∵
于
，
∴
为
中点，∴
．
由（）得，
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】圆内接四边形综合
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
为⊙
的直径，
与⊙
相切于点
，
与⊙
相切于点
，点
为
延长线上一
点，且
．
图
求证：
为⊙
的切线．
连接
并延长与
的延长线交于点
（如图所示）．若
，
，求线段
和
的长．
图
【答案】（1 ）证明见解析．
5
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
，
．
如图，连接
，
；
∵
，
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
又∵
与⊙
相切于点
，
∴
，
∴
，
∴
为⊙
的切线．
如图，过点
作
于点
，则四边形
是矩形，
∵
，
，
分别切⊙
于点
，
，
，
∴
，
，
在
中，
，
设
，
则
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
；
∵
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】SSS
【知识点】平行线分线段成比例定理
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【知识点】比例的综合应用
【知识点】勾股定理
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】矩形的性质
【知识点】切线的性质定理
【知识点】切线的判定定理
【能力】推理论证能力
