文档文本内容
1
圆中切线的判定常见题型 题集【B】
1. 全等证切线
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
【解析】
如图，
是⊙
的切线，
为切点，
是⊙
的直径，点
为⊙
上一点，满足
．
求证：
是⊙
的切线．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，如图所示，
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
2
（2 ）
【标注】
∴
，
∴
，且
为半径，
∴
是⊙
的切线．
连接
交
于点
，过
作
于点
，如图，
∵
、
为⊙
的切线，
∴
，
∵
，
∴
垂直平分
，
∵
为直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
令
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】解直角三角形的综合应用
【知识点】对应角
【知识点】SAS
3
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】切线的性质定理
【知识点】切线的判定定理
【知识点】垂径定理以及应用
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，
为
的切线，
为切点，过
做
的垂线
，垂足为点
，交
于点
，延长
于
的延长线交于点
．
求证：
为
的切线．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
.
连接
，证
，
所以
≌
.
所以
.
所以
.
所以
为
的切线．
设
，则
．
所以
．
设
则
．
所以
.
所以
.
所以
.
所以
.
【知识点】圆与勾股
，
，
4
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
为⊙
直径，
为⊙
切线，点
在⊙
上，弦
．
求证：
为⊙
的切线．
交⊙
于
，
交
于
，作
于
，交
于
，若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是⊙
的切线，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
，
∴
，
又
，
，
∴
≌
（
），
∴
，
又∵
为⊙
的半径，
∴
为⊙
的切线．
设
交
于
，
由（）可得
为
的中点，则
于
，
由垂经定理得
，
设
，
5
【标注】
则
，
，
∴
，
∴
，
易证
≌
，
≌
，
则
，
，
设
，则
，
∴
，而
，
又
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
设半径为，
在
中，
，
，
，
，
则
，
解得
，
∴
（
为
中线），
∴
．
【知识点】圆与勾股
2. 等腰、角分线+平行证切线
（1 ）
（2 ）
1. 如图，⊙
是
的外接圆，
为直径，弦
，
交
的延长线于点
．
求证：
．
求证：
是⊙
的切线．
6
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
连接
，
∵
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
是⊙
的半径，
∴
是⊙
的切线．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
2. 如图，
是
的直径，以
为直径的
与
的弦
相交于点
，
，垂足为
．
求证：
．
7
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
求证：
是
的切线．
如果
，请判断四边形
是什么四边形，并说明你的结论．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
四边形
为正方形．
连接
，
∵
为圆
的直径，
则
．
∵
为
的弦，
为弦心距，
∴
．
∵
为
的中点，
为
的中点，
∴
．
又
，
∴
∴
与
相切．
如果
，又
为
的中点，
∴
，又
，
∴四边形
为平行四边形．
又
，
，
∴四边形
为正方形．
【知识点】切线的判定定理
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
的平分线交
于点
，过点
作
的垂线交
于点
，⊙
是
的外接圆．
求证：
是⊙
的切线．
过点
作
，垂足为
，求证：
．
若
，
，求
及
的长度．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
，
．
如图，连接
．
∵
，
∴
，
∴
是圆
的直径．
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
9
（2 ）
（3 ）
∴
是⊙
的切线．
如图，连接
．
∵
，
于
，
于
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
由（）得
，又
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
，
∴在
中，
，
∴在
中，
，
∴
，
∴
，
10
【标注】
∴
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，四边形
内接于⊙
，
是⊙
的直径，
于
，
平分
．
求证：
是⊙
的切线．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
∴
是⊙
的切线．
连接
交
于
，
∵
是⊙
的切线，
，
，
∴
为矩形
∴
垂直平分
．
∴
，
．
设
，
∴
，
，
∴
，
可解得
，
11
【标注】
∴
，
∴
．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
中，
，以
为直径的⊙
与
相交于点
，与
的延长线相交于点
，
过点
作
于点
，连接
．
求证：
是⊙
的切线．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
证明：连接
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
连接
，
∵
是直径，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
．
12
【标注】【知识点】圆与三角函数
3. 倒角证切线
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，已知
是⊙
的直径，过
点作
，交弦
于点
，交⊙
于点
，且使
．
求证：
是⊙
的切线．
若
，
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，
∵
是⊙
的直径，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
∵
，
，
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】切线的判定定理
2.
13
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知，
是⊙
的切线，切点为
，
是⊙
的弦，过点
作
交⊙
于点
，连接
并
延长交
于点
．
如图，若
，求
的长．
图
如图，连接
，过点
作
交
于点
，
的延长线交过点
的直线于点
，且
．求证：
是⊙
的切线．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
∵
是⊙
的切线，切点为
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
连接
，由
得
，
（
）
14
【标注】
∴
平分
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
为⊙
的直径，
为⊙
上一点，
于点
．
为
延长线上一点，
．
求证：
为⊙
的切线．
，
．
15
图
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
①求⊙
的半径；
②若
为
上一动点，则
的最小值为__________．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
①⊙
的半径为．
②
．
连接
．
∵
，
，
∴
．
∵
于点
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴半径
．
∴
为⊙
的切线．
①设⊙
的半径为．
在
中，
．
∵
，
，
∴
．
解得
．
∴⊙
的半径为．
②过点
作
的对称点
，连结
、
、
，
线段
与线段
交于
点，
由轴对称可知，
，
，
的最小值为即为
．
，
在
中，
，
，
，
．
在
中，由勾股定理可得，
．
16
【标注】
即
的最小值为
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，点
、
、
都在半径为的⊙
上，过点
作
交
的延长线于点
，连接
，已
知
．
求证：
是⊙
的切线．
求弦
的长．
求图中阴影部分的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
阴影部分的面积是
．
连接
，
交
于
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，即
.
又∵
是⊙
的半径，
∴
是⊙
的切线．
由（）知，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵在直角
中，
，
，
17
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
．
由（）知，
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵在直角
中，
，
，
∴
，
∴
．
（）解：易证
≌
，
∴
∴
．
答：阴影部分的面积是
．
【能力】推理论证能力
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算
【知识点】切线的判定定理
阴影
扇形
阴影
（1 ）
（2 ）
5. 如图，在
中，点
在边
上，
，⊙
是
的外
接圆．
图
求证：
是⊙
的切线．
当
是⊙
的直径时（如图），求
的度数．
图
18
图
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
，延长
交⊙
于点
，则
为⊙
的直径，
连接
，如图所示：
∵
，
，
∴
，
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
是⊙
的切线．
∵
为⊙
的直径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
由（）知：
，
∴
．
【知识点】圆周角定理以及应用
6. 如图，直线
经过⊙
上的点
，直线
与⊙
交于点
和点
，
与⊙
交于点
，连接
、
．已知
，
，
，
．
19
1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
直线
是⊙
的切线．
．
求
的长．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
连接
．
∵
，
，
∴
，
∵点
在⊙
上，
∴
是⊙
切线．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
作
于
，延长
交
于
．
20
【标注】
∵
，
∴
，
在
中，
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
在
中，
∵
，
，
，
∴
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
如图，四边形
是平行四边形，点
，
，
在⊙
上，
与⊙
相切，射线
交
于点
，交于⊙
点
．点
在射线
上，且
．
求证：直线
是⊙
的切线．
若
，
，求四边形
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
连接
．
∵
与⊙
相切于点
，
∴
．
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
．
21
（2 ）
【标注】
∵
经过圆心
，
∴
是
的中点，
，
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∵点
在⊙
上，
∴直线
是⊙
的切线．
∵四边形
是平行四边形，
∴
．
∴
．
在
中，
，
，
∴
．
∴
．
【知识点】圆与勾股
四边形
