文档文本内容
1
二次函数章节复习：规律探究【题集C3】
1.
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，点
，
，
，…，
在轴的正半轴上，点
，
，
，…，
在二次函数
位于第一象限的图象上，若
，
，
，…，
都是等腰直角三角形，其中
，则点
的坐标
为 ；线段
的长为 ；
的面积为 ．
【答案】
; ;
作
轴，
轴，
轴，
轴，垂足分别为
、
，
，
，
∵
，
均为等腰直角三角形，
∴
，
，
设
，
将
坐标代入解析式
得，
，
2
【标注】
解得
（不合题意，舍去）或
，
∴
坐标为
，
∴
，
．
过点
作
，设点
，
可得
，
，
又∵点
在抛物线上，∴
，
即
，
解得
，
（不合题意，舍去）
∴
，
，
同理：
，
，…，
，
,…，
∴
．
故答案为
；；
．
【知识点】二次函数与找规律
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
如图，抛物线
的图象与轴正半轴的交点为
，将线段
分成
等份，设分点分别为
，
，
，
，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点
，
，
，记
，
，
的面积分别为
，
，
，
，则
的值为（ ）．
【答案】B
∵
，
，
，
将线段
分成
等份，
∴
，
∵过分点
作轴的垂线，与抛物线交于点
，
∴
，
解得
，
3
【标注】
∴
，
同理可得
，
，
，
∴
，
，
，
．
【知识点】二次函数与找规律
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
二次函数
的图象如图所示，点
位于坐标原点，点
、
、
、
、
在轴的正半
轴上，点
、
、
、
、
在二次函数
在第一象限图象上．若
、
、
、
都为等边三角形，则
边长为（ ）．
【答案】B
设第一个等边三角形的边长为，
∵
是等边三角形，
∴点
的横坐标为
，纵坐标为
，
∴
，
∴有
，
，
4
【标注】
∴
的边长为，
同理，设
边长为，则
，
则有
，
，
（舍去），
∴
边长为，设
的边长为，则
，
则有
，
解得
，
（舍去），所以
边长为，
以此类推，可知
边长为
．
故选．
【知识点】二次函数与找规律
4.
【解析】
【标注】
二次函数
的图像如图所示，点
位于坐标原点，点
、
、
、
、
在轴的
正半轴上，点
、
、
、
、
在二次函数
位于第一象限的图像上，若
，
，
，
，
都为等边三角形，则
的边长
．
【答案】
可设三角形边长为
则
在二次函数
上，
∴
．
同理可得
，
．
∴
．
【知识点】二次函数与找规律
5
5.
【解析】
【标注】
如图，一段抛物线：
（
）记为
，它与轴交于两点
，
；将
绕
旋转
得到
，交轴于
；将
绕
旋转
得到
，交轴于
；…如此进行下去，直至得
到
，若点
在第段抛物线
上，则
．
【答案】
∵
（
），
∴配方可得
（
），
∴顶点坐标为
，
∴
坐标为
．
∵
由
旋转得到，
∴
，即
顶点坐标为
，
；
照此类推可得，
顶点坐标为
，
；
顶点坐标为
，
；
顶点坐标为
，
；
顶点坐标为
，
；
∴
．
【知识点】二次函数与找规律
6. 如图，二次函数
的图象，记为
，它与轴交于点
，
．将
绕点
旋转
得
，交轴于点
．将
绕点
旋转
得
，交轴于点
．
如此进行下去，直
至得
．若点
在第
段图像
，则
．
6
【解析】
【标注】
【答案】
令
得
，
，∴
，
由中心对称性不难得
，
，
，
由图可知抛物线
在轴下方，相当于抛物线
向右平移
个单位，
与轴交点为
，
．由交点式知
，代入得
．
得
．
【知识点】二次函数与找规律
7.
【解析】
如图，抛物线
是二次函数
在第四象限的一段图象，它与轴的交点是
、
；将
绕点
旋转
后得抛物线
；它与轴的另一交点为
；再将抛物线
绕
点旋转
后得抛
物线
，交轴于点
；如此反复进行下去
，若某段抛物线上有一点
，则
．
【答案】
当
时，
，解得
，
，则
，
∴
，
∴
，
而
，
7
【标注】
∴
在抛物线
上，抛物线
的开口向下，与轴的两交点坐标为
，
∴抛物线
的解析式为
，
当
时，
，即
．
故答案为
．
【知识点】二次函数与找规律
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
【标注】
如图，曲线
是顶点为
，与轴交于点
的抛物线
的一部分，曲线
是双曲
线
的一部分，由点
开始不断重复“
”的过程，形成一组波浪线，点
与
均在该波浪线上，则
的值等于（ ）．
【答案】B
如图所示，
，
之间的距离为，
，
故
的纵坐标与
的纵坐标相同，
抛物线
，
∴顶点
为
，
故
的纵坐标为，即
，
，
点的纵坐标与
的纵坐标相同，
当
时，
，即
，
故
．
故选．
【知识点】点坐标找规律
8
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
（2 ）
【解析】
大家对于找规律应该都不陌生．例如：
①，，，__________，，
；②，，，__________，，
；③，，，
，
__________，
，
类似①②这两种，由于相邻两数之间的差都是定值，我们称之为“等差数
列”，而③这串数字，两两之间的差构成了“等差数列”，经研究，③这串数字中，第个数字为
，恰为一个二次函数关系．
猜想：是否所有满足二次函数关系的数列，相邻两数的差都构成“等差数列”？若是，请试
着说明理由；若不是，请举出反例．
应用：小新为了作函数
（
）的图像，自变量取了个值：
，且
，分别算出对应的的值，列表
如下：
但由于粗心算错了其中一个值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
是．
算错，正确值应该是
．
设第个数满足
，
则相邻两数的差为
，
这组数中每两个数之间的差是固定的，构成“等差数列”．
算错，正确值应该是
，
设
，
记
，
同理，
．
∴
．
为定值，也就是
计算得：
，
，
，
，
，
，
可以发现
，
，其他均为
，
9
【标注】
所以
，
．
为
即可．
【知识点】二次函数与找规律
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
设抛物线的解析式为
，过点
作轴的垂线，交抛物线于点
；过点
作轴的垂线，交抛物线于点
，
；过点
（为正整数）作轴的垂
线，交抛物线于点
，连接
，得
．
求的值．
直接写出线段
，
的长（用含的式子表示）．
在系列
中，探究下列问题：
当为何值时，
是等腰直角三角形？
设
（，
均为正整数），问：是否存在
与
相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
．
，
．
当
时，
是等腰直角三角形，
存在
与
相似，其相似比为
或
．
如图所示，
∵点
在抛物线的解析式为
上，
∴
．
x
y
O
图
如图所示，
，
．
10
1
2
（3 ）
图
如图所示，
由
是等腰直角三角形得
，
则：
，
，
，
∴当
时，
是等腰直角三角形，
图
依题意得，
，
有两种情况：
）当
时，
，
，
，
所以，
（舍去），
）当
时，
，
，
，
∴
，
∵
（，
均为正整数），
∴取
或
；
当
时，
，
11
【标注】
相似比为：
，
当
时，
，
相似比为：
，
所以：存在
与
相似，其相似比为
或
．
【知识点】二次函数与相似三角形结合
