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1
一次函数与存在性（6）矩形【题集A】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与轴交于点
，与轴交
于点
，且与正比例函数
的图象交于点
．
求一次函数
的解析式．
点
在轴上，当
最小时，求出点
的坐标．
若点
是直线
上一点，点
是平面内一点，以
、
、
、
四点为顶点的四边形是矩形，
请直接写出点
的坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或
．
∵一次函数
的图象经过点
，点
，
∴
，
解得
，
∴一次函数的解析式为
．
如图，作点
关于轴的对称点
，连接
交轴于
，此时
的值最小．
∵
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
令
，得到
，
∴
．
2
（3 ）
【标注】
如图，
①当
为边时，四边形
是矩形，此时
，
∵直线
的解析式为
，
∴直线
的解析式为
，
由
，解得
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
②当
为对角线时，四边形
是矩形，此时
，
∴直线
的解析式为
，
由
，解得
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
综上所述，满足条件的点
的坐标为
或
．
【知识点】一次函数与平行四边形
2. 如图，四边形
是矩形，点
、
在坐标轴上，
点坐标
，
是
绕点
顺
时针旋转
得到的，点
在轴上，直线
交轴于点
，交
于点
．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
求直线
的解析式．
求
的面积．
点
在坐标轴上，平面内是否存在点
，使以点
、
、
、
为顶点的四边形是矩形？若
存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或
或
．
∵
是
绕点
顺时针旋转
得到的，
∴
，
，
∴
，
设直线
解析式为
，
把
、
坐标代入可得
，
解得
，
∴直线
的解析式为
．
由（）知，直线
解析式为
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
∴
．
∵以点
、
、
、
为顶点的四边形是矩形，
∴
为直角三角形，
①当
时，则
只能在轴上，连接
交
于点
，如图，
4
图
由（）可知
，
，
则有
，
∴
，即
，解得
，
∴
，且
，
∴
，
设
点坐标为
，则
，
，
解得
，
，此时
点坐标为
．
②当
时，则
只能在轴上，连接
交
于点
，如图，
图
则有
，
∴
，即
，解得
，
∴
，且
，
∴
，则
，
∴
，
设
点坐标为
，则
，
，
解得
，
，此时
．
③当
时，则可知
点为
点，如图，
∵四边形
为矩形，
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【标注】
∴
，
，
∴
．
综上可知存在满足条件的
点，其坐标为
或
或
．
【知识点】一次函数与面积
3.
【标注】
如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，直线的解析式为
，与、轴分别交于
点
、
，点
在直线上，在平面内是否存在点
，使得以
、
、
、
为顶点的四边形为以
为
边的矩形，若有，请写出
点坐标，若没有，请说明理由．
【答案】
或
．
【知识点】一次函数与平行四边形
（1 ）
（2 ）
4. 如图，在四边形
中，
，顶点
是原点，顶点
的坐标为
，
，
，点
从点
出发，以
/ 的速度向点
运动，点
从点
同时出发，以
/ 的速度
向点
运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设
（
）
点运动的时间为
．
求直线
的函数解析式．
当为何值时，四边形
是矩形．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
当为何值时，
？并求出此时直线
与直线
的交点坐标．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
当
时，四边形
是矩形．
当
时，直线
与直线
的交点坐标是
，证明见解析．
如图，
∵顶点
的坐标为
，
，
，
∴
，
，
设直线
的函数解析式是
，
则
，
解得
，
∴直线
的函数解析式是
．
如图，
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
解得
，
∴当
时，四边形
是矩形．
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（3 ）①如图，
当四边形
是平行四边形时，
，
，
∴
，
解得
，
此时直线
与直线
没有交点．
②如图，作
交
于点
，
当四边形
是等腰梯形时，
，
∵
，
∴
，
解得
，
∴
，
，
∴
，
，
设直线
的解析式是
，
则
，
解得
，
∴直线
的解析式是
，
由
，
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【标注】
解得
，
∴此时直线
与直线
的交点坐标是
．
【知识点】一次函数与二元一次方程组
