文档文本内容
1
一元二次方程【章节复习】题集【B】
1. 选择题
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
1.
【解析】
【标注】
方程①
②
③
④
⑤
中，一元二次方
程的个数是（ ）．
【答案】B
②为分式方程，一元二次方程为整式方程，故不符合题意；③为代数式，不为等式，不
符合题意；⑤中可能为 ，若
则不为一元二次方程，不符合题意；因此一元二次方程为①
④，有 个，故选．
【思想】方程思想
【能力】抽象概括能力
【知识点】一元二次方程的定义
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
若
是方程
的解，则下列各式一定成立的是（ ）．
【答案】B
∵
是方程
的解，
∴将
代入方程得
．
故选：．
【知识点】按要求写出一元二次方程
A.
B.
且
C.
D.
且
3.
【解析】
若关于的方程
有两个不等的实根，则
的取值范围是（ ）．
【答案】B
根据题意得
且
，
解得
且
．
2
【标注】【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
【标注】
解方程
时，如果设
，则原方程可化为关于的整式方程是（ ）．
【答案】B
∵
，∴
，则原方程变形为
．
整理，得
．
【知识点】按要求写出一元二次方程
2. 填空题
1.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
关于的方程
的一个根是
，则方程的另一根是 ；
．
【答案】
;
一个根是
，
∴代入得
，
，
∴
，
将
代入；
，
，
，
，
∴另一个根
．
设另一根为，由根与系数的关系可建立关于和的方程组，
解之即得
，
．
故答案为：
；
．
【知识点】由一元二次方程的解求参数的值
2.
3
【解析】
【标注】
在一元二次方程
中，若系数，可以在，，，中取值，则其中有实数根的方
程共有 个，写出其中两个相等实数根的一元二次方程 ．
【答案】 ;
∵
为一元二次方程，
∴
，
①当
时，
或，
②当
时，
，
③当
时，无满足条件的值，
其中有两个相等实数根为一元二次方程为：
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
3.
【解析】
【标注】
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为
米的正方形框（如图中阴
影部分），已知铺这个框恰好用了
块边长为
米的正方形花岗石（接缝忽略不计）设标志性建
筑的底面边长是米，则可列方程是 ．（方程不用简化）
【答案】
由题意可知：小正方形面积为
，
正方形框面积为
，
大正方形面积为
，
∴可列方程
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
4. 阅读材料：设一元二次方程
的两根为
,
，则两根与方程系数之间有如下关系：
，
．根据该材料填空：已知
，
是方程
的两实数
4
【解析】
【标注】
根，则
的值为 ．
【答案】
，
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【能力】运算能力
3. 解答题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
解方程：
．
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
，
．
，
．
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
移项得：
，
，
，
，
．
，
5
（4 ）
【标注】
两边开方得：
，
，
．
两边乘以得：
，
，
，
，
，
．
【知识点】公式法解一元二次方程的一般步骤
【能力】运算能力
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
解答题．
已知是方程
的根，求
的值．
已知
是一元二次方程
的根，求代数式
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由
知，
原式
．
∵
是一元二次方程
的根，
∴
，
∴
，
∴
．
6
【标注】【知识点】利用根求代数式的值
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
已知，关于的方程
．
当
取何值时方程有一个实数根．
当
取何值时方程有两个实数根．
请你在（）的条件下，取
的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
当
时，方程有一个实数根．
当
，且
时方程有两个实数根．
当
时，
，
．
当
，即
时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：
．
当
，即
时，该方程为一元二次方程；
当
时，方程有两个实数根．
解得：
，且
，
∴当
，且
时方程有两个实数根．
当
时，方程可化为
，
解得：
，
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
已知关于的方程
．
求证：无论为何值时，方程总有两个实数根．
若等腰
的一边长
，另两边、恰好是这个方程的两个实数根，求
的周
长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
的周长为
．
方程化为一般形式为：
，
∵
，
而
，
∴
，
7
（2 ）
【标注】
所以无论取任何实数，方程总有两个实数根．
，
整理得
，
∴
，
，
当
为等腰
的底边，则有
，
因为、恰是这个方程的两根，则
，
解得
，则三角形的三边长分别为：，，，
∵
，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当
为等腰
的腰，
因为、恰是这个方程的两根，所以只能
，
则三角形三边长分别为：，，，
此时三角形的周长为
．
所以
的周长为
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
商场将每件进价为
元的某种商品原来按每件
元出售，一天可售出
件．后来经过市场调查，
发现这种商品单价每降低元，其销量可增加
件．
问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
若商场经营该商品一天要获利润
元，则每件商品售价应为多少元？
【答案】（1 ）
（2 ）
商场经营该商品原来一天可获利润
元．
商店经营该商品一天要获利润
元时，每件商品应售价为
元或
元．
若商店经营该商品不降价，则一天可获利润
（元）．
设后来该商品每件降价元，
依题意得：
，
整理得
，
解得
，
．
当
时，售价为
元，
当
时，售价为
元．
答：商店经营该商品一天要获利润
元时，每件商品应售价为
元或
元．
【知识点】一元二次方程的利润问题
8
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
的住房墙．另外三边用
长的建筑材
料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个
宽的门．
所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为
？
能否围成一个面积为
的矩形猪舍？如能，说明了围法；如不能，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
矩形猪舍的长为
，宽为
．
不能围成一个面积为
的矩形猪舍．
设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为
，则矩形猪舍的另一边长为
．
由题意得：
，
解得：
，
， 当
时，
（舍去），
当
时，
，
答：矩形猪舍的长为
，宽为
．
由题意得：
，
整理得：
，
∵
，
∴方程无解，
故不能围成一个面积为
的矩形猪舍．
【知识点】一元二次方程的几何问题
1
2
3
（1 ）
（2 ）
7. 阅读下面提供的内容：关于的一元二次方程
，如果
，那么
它的两根分别为
，
．
证明：因为
，所以
，将
代入
，得：
，即
，所以
，所以
．
请利用上面推导的结论，快速求解下列方程：
，
，
．
，
，
．
，
，
．
9
1
2
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若关于的一元二次方程
满足
，则方程的解
为 ．（用、、的式子或数字表示方程的解）
【答案】
1
2
3
（1 ）
（2 ）
;
;
;
或
对于
，
可化为
，
∵
，
∴对于方程的两个解
，
有
，
，
∴
，
．
【知识点】一元二次方程的根
