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1
一元一次方程【章节复习】压轴题--动点问题 题集
C1
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：数轴上
、
两点表示的有理数为、，且
．
、
各表示哪一个有理数？
点
在数轴上表示的数是，且与
、
两点的距离和为
，求多项式
的值．
小蚂蚁甲以个单位长度/秒的速度从点
出发向其左边个单位长度处的一颗饭粒爬去，秒
后位于点
的小蚂蚁乙收到它的信号，以个单位长度/秒的速度也迅速爬向饭粒，小蚂蚁甲到
达后背着饭粒立即返回，与小蚂蚁乙在数轴上
点相遇，则点
表示的有理数是什么？从出发
到此时，小蚂蚁甲共用去多少时间？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点
表示的数为，点
表示的数为
．
或
．
点
表示的有理数是
，小蚂蚁甲共用去秒．
∵
，
，
且
．
可得：
，
，
∴
，
．
答：点
表示的数为，点
表示的数为
．
①当点
在点
的左边时，
，
解得
；
②当点
在点
的右边时，
，
解得
；
原式
当
，
，
时，
原式
2
（3 ）
【标注】
；
当
，
，
时，
原式
．
设小蚂蚁乙收到信号后经过秒和小蚂蚁甲相遇，
根据题意得：
，
∴
，
∴
，
．
答：点
表示的有理数是
，小蚂蚁甲共用去秒．
【知识点】一元一次方程的行程问题-相遇问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
如图，线段
的长为．
图
尺规作图：延长线段
到
，使
；延长线段
到
，使
．（先用尺
规画图，再用签字笔把笔迹涂黑．）
在（）的条件下，以线段
所在的直线画数轴，以点
为原点，若点
对应的数恰好为
．请在数轴上标出带有
，
两点，并直接写出
，
两点表示的有理数，若点
是
的中
点，点
是
的中点，请求线段
的长．
图
在（）的条件下，现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动．甲从点
处开始，在点
，
之间进行往返运动；乙从点
处开始，在
，
之间进行往返运动．甲、乙同时开始运
动，当乙从
点第一次回到点
处时，甲、乙同时停止运动．若甲的运动速度为每秒个单
位，乙的运动速度为每秒个单位，请求出甲和乙在运动过程中，所有相遇点对应的有理数．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
在甲和乙运动过程中，所有相遇点对应的有理数有：
，
，
．
如图，要求有尺规作图的痕迹．
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
图
如图所示．
图
点
对应的数为
，点
对应的数为30.
∵
，点
是
的中点，
∴
，点
对应的数为
．
∵
，点
是
的中点，
∴
，
∴点
对应的数为
．
∴
．
乙的运动路线是
，需要的总的时间为
;甲从
,一个往返需要的时间为:
．
所以，当甲、乙都停止时，甲应该是走完从
一个往返后，正在第二次从
的途中．
设经过秒后，甲、乙相遇．
当甲从
，乙从
，甲、乙相遇，此时有
，
即
，解得
，此时相遇点对应的有理数为
．
当甲从
，乙从
，甲、乙相遇，此时有
，
即
，解得
，此时相遇点对应的有理数为
．
当甲从
，乙从
，甲、乙相遇，此时有
，即
，
．
乙从
到
最多需要的时间为
（秒），
不合题意，舍去．
当甲从
，乙从
，甲、乙相遇，此时有
，
即
，
．
此时，相遇点对应的数为
．
当甲再次到达点
需要的时间为
，甲、乙总的运动时间为
秒．
所以，甲和乙不可能再相遇．
综上所述，在甲和乙运动过程中，所有相遇点对应的有理数有：
，
，
．
【知识点】数轴上两点间距离
【知识点】一元一次方程的行程问题-相遇问题
【知识点】作一条线段等于已知线段
4
【知识点】线段中点与等分点
【知识点】线段和差-不需要分类讨论
【知识点】两点间距离的定义
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【能力】分析和解决问题能力
【思想】转化与化归思想
【思想】数形结合思想
【思想】方程思想
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
已知数轴上两点
、
对应的数分别为
、，点
为数轴上一动点，其对应的数为．
若点
到点
，点
的距离相等，求点
对应的数．
数轴上是否存在点
，使点
到点
、点
的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存
在，说明理由．
点
、点
分别以个单位长度/分、个单位长度/分的速度向右运动，同时点
以个单位长
度/分的速度从
点向左运动．当遇到
时，点
立即以同样的速度向右运动，并不停地往返
于点
与点
之间，求当点
与点
重合时，点
所经过的总路程是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
当点
对应数字为或
时，点
到
、
两点距离之和为．
当点
与点
重合时，点
所经过的总路程是
．
∵
、
两点之间的距离为
，
到
、
两点的距离相等，为
．
∴点
对应的数字为
．
①当
在
之间时，
．
②当
在
点左侧时，
，
．
③当
在
点右侧时，
，
，
故当点
对应数字为或
时，点
到
、
两点距离之和为．
设经过分钟点
与点
重合，
由题意可得，点
运动的时间即为点
追上点
的时间，
∴
，
，
∴
，
5
【标注】
故当点
与点
重合时，点
所经过的总路程是
．
【知识点】一元一次方程的行程问题-追及问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，有
、
两动点在线段
上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段
的某一端
点重合则立即转身以同样的速度向
的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不
改变），已知
的速度为米/秒，
的速度为米/秒．
（
、
）
图
已知
米，若
先从点
出发，当
米时
从点
出发，
出发后经
过 秒与
第一次重合．
已知
米，若
、
同时从点
出发，经过 秒
与
第一次重合．
如图，若
、
同时从点
出发，
与
第一次重合于点
，第二次重合于点
，且
米，设
米，列方程求．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
米．
设
出发后经过秒与
第一次重合，依题意有
，
解得
，
∴
出发后经过秒与
第一次重合．
设经过秒
与
第一次重合，依题意有
，
解得
，
∴经过
秒
与
第一次重合．
由于
、
同时从点
出发，
与
第一次重合共走了个
，第二次重合共走了个
，
可得
，
，
依题意有：
，
6
【标注】
解得
．
答：
米．
【知识点】一元一次方程的行程问题-相遇问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
在一条笔直的东西走向的公路上有
、、、
、五个加油站（如图所示），客车甲以每小时
千米，货车乙以每小时
千米，小汽车以每小时
千米的速度行驶．
如果客车甲从
加油站出发，货车乙从
加油站出发，甲、乙两车同时出发，相向而行，小
时后都到达了加油站，求
、
两加油站之间的距离．
如果客车甲和货车乙同时从
加油站出发前往加油站，与此同时小汽车丙从加油站出发，
两车先后与丙车相遇，间隔时间为
分钟．求
、两加油站之间的距离．
如果
、
两加油站的距离为
千米，
、两加油站距离
千米，客车甲从
站，货车乙
从
站，小汽车丙从站同时出发，由东向西行驶，在货车还没有追上客车的这段时间内，当
其中一车与另外两车距离相等时他们行驶了多少时间．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
千米．
千米．
当其中一车与另外两车距离相等时他们行驶了
小时或
小时或
小时或
小
时．
、
两加油站之间的距离为
（千米）．
答：
、
两加油站之间的距离为
千米．
设
、两加油站之间的距离为千米，根据题意，得：
，
解得
．
答：
、两加油站之间的距离为
千米．
设在货车还没有追上客车的这段时间内，
当其中一车与另外两车距离相等时，
他们行驶了小时，分情况
①客车甲在前，货车乙在中间，小汽车丙在后：
，解得
；
②客车甲在前，小汽车丙在中间，货车乙在后：
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【标注】
，解得
；
③小汽车丙在前，客车甲在中间，货车乙在后：
，解得
；
④汽车刚好追上货车的士瞬间，
也满足“其中一车与另外两车的距离相等”，
此时的时间为
小时；
⑤汽车刚好追上客车的一瞬间，
也满足“其中一车与另外两车的距离相等”，
此时的时间为
小时．
答：当其中一车与另外两车距离相等时他们行驶了
小时或
小时或
小时或
小时
或
小时．
【知识点】一元一次方程的行程问题-追及问题
