文档文本内容
第五章 一元一次方程
知识点一 等式的性质（解方程核心依据）
1. 等式的性质1
等式两边同时加（或减）同一个数（或同一个整式），等式仍然成立。
若 𝑎= 𝑏，则 𝑎± 𝑐= 𝑏± 𝑐。
用途：移项、消去常数项。
2. 等式的性质2
等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，等式仍然成立。
若 𝑎= 𝑏，则 𝑎𝑐= 𝑏𝑐；若 𝑎= 𝑏(𝑐≠0)，则
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐。
用途：系数化为1、去分母。
易错注意
等式两边必须同时、相同操作，不能只变一边；除数绝对不能为0。
知识点二 一元一次方程的定义与相关概念
1. 一元一次方程定义
只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的方程。
标准形式：𝑎𝑥+ 𝑏= 0 (𝑎≠0)
2. 三大判定条件（缺一不可）
① 只含一个未知数；
② 未知数次数为1；
③ 整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）。
3. 方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
检验方法：把数值代入左右两边，看是否相等。
4. 含参一元一次方程
若题目为一元一次方程，必须满足：未知数系数≠0，次数=1。
知识点三 解一元一次方程的一般步骤（必考）
完整六步流程，考试严格按步骤得分
1. 去分母
方程两边同乘所有分母的最小公倍数；不含分母的常数项也要乘。
2. 去括号
正号不变号，负号全变号；括号外有数需逐项乘，不漏乘。
3. 移项
把含未知数的项移左边，常数项移右边；移项必须变号。
4. 合并同类项
化为最简形式：𝑎𝑥= 𝑏
5. 系数化为1
两边同除以未知数系数 𝑎，得 𝑥=
𝑏
𝑎。
6. 检验（草稿完成）
代入原方程验证左右相等。
知识点四 列一元一次方程解决问题的一般步骤
1. 审：审题
读懂题意，找出已知量、未知量、等量关系。
2. 设：设未知数
一般直接设所求量为 𝑥；复杂题可间接设。
3. 列：列方程
根据题目不变的等量关系列出一元一次方程。
4. 解：解方程
按六步标准流程求解。
5. 验：检验
检验解是否符合实际意义（人数、天数、长度不能为负、小数不合理需舍去）。
6. 答：写答案
规范作答，完整写清问题结果。
知识点五 一元一次方程实际应用常见模型（期末大题必考）
1. 和差倍比问题
关键词：几倍、多多少、少多少、一共、剩余。
核心：根据倍数、和差关系列等式。
2. 行程问题
基本公式：路程= 速度× 时间
相遇、追及、往返、变速问题，核心找路程等量。
3. 工程问题
总工程看作1，工作效率=1÷工作时间。
核心：工作量之和=总工作量。
4. 利润折扣问题
利润=售价−进价；利润率=利润÷进价；售价=标价×折扣。
5. 浓度问题
溶质质量不变，稀释、浓缩、混合抓溶质等量。
6. 计费、方案选择问题
两种收费方式费用相等时为分界点，用于判断最优方案。
7. 数字、年龄问题
年龄差永远不变；数位数字按位权表示。
易错点1 方程定义与解的概念混淆
易错提醒
易错点总结
1. 混淆一元一次方程三要素：误把分母含字母、次数为2、含两个未知数的式子当成一元一次方程。
2. 含参方程不会判断：忽略 一次项系数不为0、次数必须等于1 两个条件，漏写限制条件。
3. 不会检验方程的解：代入求值时代入左右某一边，没有完整对比两边是否相等。
4. 混淆“方程、等式、代数式”：代数式不带等号，方程必须带等号。
注意事项总结
1. 一元一次方程铁律三条件：一个未知数、次数为1、整式方程。
2. 含参题型必须同时满足：次数=1、系数≠0，缺一不可。
3. 检验解：必须分别算出左边、右边，左右相等才是解。
4. 无等号是代数式，有等号才是方程。
【对点训练】1．关于x 的方程ax
b
=
，下列说法正确的是（ ）
A．若a
b
=
，则方程的解为
1
x =
B．方程的解为
b
x
a
=
C．当
0
b
a
-
>
时，则
0
x >
D．当
0
a
b
=
=
时，方程的解为任意数
【答案】D
【分析】本题考查含字母系数的一元一次方程解的分类讨论，需分
0
a =
和
0
a ¹
两种情况讨论方程的解，再
逐一判断选项正误．
【详解】若a
b
=
，分两种情况：
①
0
a
b
=
¹
时，方程解为
1
x = ；
②
0
a
b
=
=
时，方程解为任意实数，并非
1
x = ．
因此该说法不恒成立，A 选项错误．
b
x
a
=
成立的前提是
0
a ¹
；若
0
a =
，则b
a 无意义，方程无解或无数解，不能直接表示为
b
x
a
=
．
因此该说法不严谨，B 选项错误．
由
0
b
a
-
>
，可得
0
b
a <
；
在
0
a ¹
时
b
x
a
=
，即
0
x <
，与结论
0
x >
矛盾．
因此C 选项错误．
当
0
a
b
=
=
时，原方程变为0
0
x
×
=
，无论x 取任意实数，等式恒成立，方程的解为任意数．
因此D 选项正确．
易错点2 含小数、分数系数的方程化简错误
易错提醒
易错点总结
1. 去分母时，常数项忘记乘最小公倍数，是最常见扣分点。
2. 分子为多项式时，去分母后不加括号，导致符号错乱。
3. 小数方程分不清：利用分数性质化整，和去分母混为一谈。
4. 去括号漏乘、负号变号不彻底，导致整题结果错误。
注意事项总结
1. 去分母口诀：所有项全部乘，不含分母的常数项也要乘。
2. 分子是加减式子，去分母后必须整体加括号。
3. 小数系数：先利用分数基本性质化为整数分母，再正常去分母。
4. 负括号：括号内每一项全部变号，杜绝局部变号。
【对点训练】2．解方程：
(1)
4
3 12
6
x
x
-
-
=
(2) 3
1
5
2
1
4
6
x
x
-
-
- =
(3)
4
1
10
0.2
0.5
x
x
+
-
-
= -
【答案】(1)
6
x =
(2)
11
x = -
(3)
32
3
x = -
【详解】（1）解：去括号，得4
36
3
6
x
x
-
+
=
，
移项，得4
3
6
36
x
x
+
=
+
，
合并同类项，得7
42
x =
，
系数化为1，得
6
x =
；
（2）解：去分母，得3(3
1) 12
2(5
2)
x
x
-
-
=
-
，
去括号，得9
3 12
10
4
x
x
- -
=
-
，
移项，得9
10
4
3 12
x
x
-
= - + +
，
合并同类项，得
11
x
- =
，
系数化为1，得
11
x = -
；
（3）解：利用分数的基本性质将分母化为整数，得5(
4)
2(
1)
10
x
x
+
-
-
= -
，
去括号得5
20
2
2
10
x
x
+
-
+
= -
，
移项，得5
2
10
20
2
x
x
-
= -
-
-
，
合并同类项，得3
32
x = -
，
系数化为1，得
32
3
x = -
．
易错点3 无解与无数解的判断
易错提醒
易错点总结
1. 不会区分三种情况：唯一解、无解、无数解，参数取值混乱。
2. 化简为
𝑎𝑥= 𝑏
后，看错系数，搞反无解和无数解条件。
3. 忽略前提：题目若是一元一次方程，必须保证 a≠0，不能出现无解、无数解。
注意事项总结
1. 方程统一化为最简：
𝑎𝑥= 𝑏2. 三种情况满分口诀：
① a≠0：唯一解
𝑥= 𝑏
𝑎② a=0，b≠0：无解
③ a=0，b=0：无数个解
3. 题干明确“一元一次方程”，则只能 a≠0，不存在无解、无数解。
【对点训练】3．已知关于x 的方程ax
b
=
，当
0
a ¹
，b 取任意实数时，方程有唯一解；当
0
a =
，
0
b =
时，
方程有无数解；当
0
a =
，
0
b ¹
时，方程无解．若关于x 的方程
6
3
2
6
a
x
x
x
-
=
-
无解，则a 的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．0
D．1
±
【答案】A
【分析】将
6
3
2
6
a
x
x
x
-
=
-
进行去分母、移项、合并同类项得
2
2
6
a
x
-
=
，根据该方程无解并结合题意即
可求解．
【详解】解：
6
3
2
6
a
x
x
x
-
=
-
2
3
6
ax
x
x
=
-
+
2
2
6
ax
x
=
+
2
2
6
ax
x
-
=
2
2
6
a
x
-
=
，
∵方程无解，
∴2
2
0
a -
=
，
解得
1
a = ，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的无解问题，理解题意是解决本题的关键．
易错点4 一元一次方程与实际应用问题
易错提醒
易错点总结
1. 找不到等量关系，凭感觉列式，方程左右不相等。
2. 单位不统一、倍数关系写反、多/少条件弄反。
3. 解出负数、小数人数、不合理数值，不舍去，直接作答。
4. 利润、折扣、工程、行程公式记错，列式根本性错误。
注意事项总结
1. 应用题核心：找不变量、找等量关系，再列方程。
2. 列式前统一单位，分清“多、少、倍、增加、减少”。
3. 必须检验实际意义：人数、个数、天数必须为正整数，不合理直接舍去。
4. 熟记固定模型公式：行程、工程、利润、浓度、计费问题模板。
【对点训练】4．列方程（组）解下列问题：
荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯100
个、150个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到3万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多50 元．
(1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？
(2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价m 元，瓷青每个降价20
元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加50%，瓷青多销售5
3 m
个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长2
15 ．求m 的值．
【答案】(1)紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150 元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100 元．
(2)
30
m =
【分析】（1）设瓷青单价为x 元，则紫精轩单价为
50
x +
元，根据已知总的销售额，列方程并解方程即可
得到答案；
（2）依题意可知紫精轩单价
150
m
-
元，数量150 个，瓷青单价80 元，数量
5
150
3 m
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 个，再依据五月
份的总销售额，列方程并解方程即可得到m 的值．
【详解】（1）解：设瓷青单价为x 元，则紫精轩单价为
50
x +
元，
依题意得
100
50
150
30000
x
x
´
+
+
=
解得
100
x =
，
\紫精轩陶瓷茶杯的销售单价为150元，瓷青陶瓷茶杯的销售单价为100元．
（2）解：根据题意可知
紫精轩：单价
150
m
-
元，销量
100
1 50%
150
´
+
=
（个）；
瓷青：单价
100
20
80
-
=
元，销量
5
150
3 m
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 个；
五月份总销售额为：
2
30000
1
34000
15
æ
ö
´
+
=
ç
÷
è
ø
元．
依题意得
5
150 150
80 150
34000
3
m
m
æ
ö
-
+
+
=
ç
÷
è
ø
，
解得
30
m =
．
易错点5 一元一次方程与数轴动点问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会表示动点坐标，速度方向看错，正负号写反。
2. 两点距离公式乱用：不判断左右位置，直接大数减小数。
3. 相遇、追及时间等量关系找错，路程关系列反。
4. 漏解：未分类讨论动点不同运动阶段。
注意事项总结
1. 动点万能表示：初始位置 ± 速度×时间（右加左减）。
2. 数轴两点距离：|𝑥1 ― 𝑥2|，带绝对值避免位置判断错误。
3. 相遇：路程和=总距离；追及：路程差=初始距离。
4. 动点题多为多解，一定要分类讨论。
【对点训练】5．如图，在数轴上，点A，B 在原点O 的两侧，分别表示3
- ，x，
7
3
BO
AO
=
．点P 以每秒1
个单位的速度从点A 向右运动，同时，点Q 以每秒3 个单位的速度从点B 向左运动，N 是线段PQ 的中点，
设运动时间为t．
(1)求点A 与点B 之间的距离；
(2)当t 为何值时，
2
QO
PO
=
，并求出此时点N 表示的数；
(3)在P，Q 两点开始运动时，点M 以每秒k 个单位的速度从点O 向左运动．点Q 经过原点后，其速度变为
原来的2 倍，点Q 变速后，若线段MN 的长度始终是一个定值，求k 的值．
【答案】(1)10
(2)t 的值为1 或13
5 ，点N 表示的数为1 或
3
5
-
(3)
5
2
k =
【分析】（1）根据点A 表示的数为3
- ，得
3
AO =
，即得
7
BO =
，进而可得点B 表示的数为7 ，再根据两点
间距离公式计算即可；
（2 ）当运动时间为t 秒时，表示出点P ，Q，N 所表示的数，根据
2
QO
PO
=
列出方程，求解即可；
（3）点Q 经过原点后，表示出点P，Q，M，N 所表示的数，进而得到MN ，再根据线段MN 的长度始终
是一个定值得到方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵点A 表示的数为3
- ，
∴
3
AO =
，
∵
7
3
BO
AO
=
，
∴
7
BO =
，
∵点A，B 在原点O 的两侧，
∴点B 表示的数为7 ，
∴
7
3
10
AB =
- -
=
；
（2）解：当运动时间为t 秒时，点P 表示的数为3
t
- + ，点Q 表示的数为7
3t
-
，点N 表示的数为
3
7
3
2
2
t
t
t
- + +
-
=
- ，
根据题意得，7
3
0
2
3
0
t
t
-
-
=
- + -
，
即7
3
6
2
t
t
-
=
-
或7
3
2
6
t
t
-
=
-
，
解得
1
t = 或
13
5
t =
，
当
1
t = 时，2
2 1 1
t
- =
- = ；
当
13
5
t =
时，
13
3
2
2
5
5
t
- =
-
= -
；
∴当t 的值为1或13
5 时，
2
QO
PO
=
，此时点N 表示的数为1或
3
5
-
；
（3）解：若7
3
0
t
-
=
，则
7
3
t =
，
当
7
3
t >
时，点P 表示的数为3
t
- + ，点Q 表示的数为
7
0
6
14
6
3
t
t
æ
ö
-
-
=
-
ç
÷
è
ø
，点M 表示的数为kt
-
，点N 表示
的数为3
14
6
11 5
2
2
t
t
t
- + +
-
-
=
，
∴
2
5
11
11 5
2
2
k
t
t
MN
kt
-
+
-
= -
-
=
，
∵点Q 变速后，若线段MN 的长度始终是一个定值，
∴2
5
0
k -
=
，
∴
5
2
k =
．
易错点6 一元一次方程新定义问题
易错提醒
易错点总结
1. 看不懂题目新运算，直接套用旧公式，审题错误。
2. 代入新定义时数字、字母对应错位。
3. 新定义方程化简过程符号出错、漏项。
4. 不会根据新定义的限制条件取舍答案。
注意事项总结
1. 新定义题：严格照题目规则运算，不自己脑补公式。
2. 先套公式，再化简，最后解方程，步骤不能乱。
3. 逐项对应代入，不跳步、不省略。
4. 解完必须回看题干限制条件，舍去不符合的解。
【对点训练】6．19 世纪中叶，代数学迎来蓬勃发展．伽罗瓦、阿贝尔等数学家为破解方程可解性难题，突
破了四则运算的局限，形成一种“自定义运算”的思想，让代数从具体的数字运算迈入抽象的结构研究，开启
了现代代数的新纪元．小天和小河运用这种思想开展了相关问题研究．
定义：对于任意的有理数a ，b ，定义新运算
,
Å 令
1
2
a
b
a
b
a
b
Å
=
-
+
+
．
(1)探究性质：
①填空：当
4
a =
，
2
b =
时，计算a
b
Å
= ________；
②当a
b
>
时，化简a
b
Å
；并直接写出a
b
<
时a
b
Å
的值．
(2)性质应用：
①计算：
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
-
Å -
Å -
Å -
Å -
Å Å Å
Å Å
Å
= ________；
②若
2
5
a
m
m
=
+
，
2
2 3
1
b
m
m
m
= -
+
+
-
，求a
b
Å
的值；
③解方程：
3
1
x
x
x
Å -
=
+ ．
【答案】(1)①4；②当a
b
>
时，a
b
a
Å
=
；当a
b
<
时，a
b
b
Å
=
(2)①5；②
2
5
a
b
a
m
m
Å
=
=
+
；③
1
4
x = -
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程等知识，解题的关键是：
（1）①按照题目规定的新运算法则求解即可；
②按照题目规定的新运算法则求解即可；
（2）①按照（1）②中结论求解即可；
②先化简b，然后根据作差法判断出a
b
>
，然后根据（1）②中结论求解即可；
③分三种情况讨论：当x
b
³
时；当
0
x =
时；当
0
x <
时，然后根据（1）②中结论和新定义求解即可．
【详解】（1）解：①∵
1
2
a
b
a
b
a
b
Å
=
-
+
+
，
4
a =
，
2
b =
，
∴
1
4
2
4
2
4
2
4
2
Å
=
-
+
+
=
，
故答案为：4；
②当a
b
>
时，
0
a
b
-
>
，
∴
1
1
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
Å
=
-
+
+
=
-
+
+
=
；
当a
b
<
时，
0
a
b
-
<
，
∴
1
1
2
2
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
Å
=
-
+
+
=
- +
+
+
=
；
（2）解：①∵5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
- < - < - < - < - <
< <
<
<
<
，当a
b
<
时，a
b
b
Å
=
，
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
-
Å -
Å -
Å -
Å -
Å Å Å
Å Å
Å
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
= -
Å -
Å -
Å -
Å Å Å
Å Å
Å
3
2
1
0
1
2
3
4
5
= -
Å -
Å -
Å Å Å
Å Å
Å
=L
5
=
，
故答案为：5；
②∵
2
2 3
1
b
m
m
m
= -
+
+
-
2
6
2
m
m
m
= -
-
+
-
2
5
2
m
m
= -
+
-
，
又
2
5
a
m
m
=
+
∴
2
2
5
5
2
a
b
m
m
m
m
-
=
+
- -
+
-
2
2
5
5
2
m
m
m
m
+
+
-
+
=
2
2
2
0
m
=
+
>
，
∴a
b
>
，
∴由（1）②知：
2
5
a
b
a
m
m
Å
=
=
+
；
③当
0
x >
时，
x
x
x
Å -
=
，
∵
3
1
x
x
x
Å -
=
+ ，
∴
3
1
x
x
=
+ ，
解得
1
2
x = -
，不符合题意，舍去；
当
0
x =
时，
1 0
0
0
0
0
2
x
x
Å -
=
-
+
+
=
，
∵
3
1
x
x
x
Å -
=
+ ，
∴0
3
1
x
=
+ ，
解得
1
3
x = -
，不符合题意，舍去；
当
0
x <
时，
x
x
x
Å -
= - ，
∵
3
1
x
x
x
Å -
=
+ ，
∴
3
1
x
x
- =
+ ，
解得
1
4
x = -
，
综上，
1
4
x = -
．
一、单选题
1．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号
min
,a b 表示a，b 两数中较小的数，如
min
2,3
2
-
= - ．按照这个规定，方程
min
,
2
1
x
x
x
-
+
= - 的解为（ ）．
A．
1
x = -
B．
1
3
x = -
C．
1
x = - 或
1
3
x =
D．
1
2
x =
【答案】B
【分析】分x
x
< - 和x
x
> - 两种情况，分别根据
min
,a b 的定义，化简方程并求解即可．
【详解】解：①当x
x
< - ，即
0
x <
时，
min
,x
x
x
-
=
∴原方程可化为
2
1
x
x
+
= - ，解得
1
0
3
x = -
<
，符合题意；
情况2：当x
x
> - ，即
0
x >
时，
min
,x
x
x
-
= - ，
∴原方程可化为
2
1
x
x
- +
= - ，解得
1
0
x = - <
，不符合题意舍弃．
综上，方程的解为
1
3
x = -
．
【点睛】需要灵活使用分类讨论思想．
2．方程2
3
3
5
6
x
x
-
+
+
=
实数根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．有1 个实数根
C．有2 个实数根
D．有无数个实数根
【答案】A
【分析】解含多个绝对值的方程，先求绝对值的零点，分区间去绝对值转化为一元一次方程求解，检验解
是否在对应区间，即可判断根的情况．
【详解】解：令2
3
0
x-
=
，解得
3
2
x =
，
令3
5
0
x +
=
，解得
5
3
x = -
，
分三种情况讨论：
当
5
3
x < -
时，
2
3
0
x -
<
Q
，3
5
0
x +
<
，
∴原方程化为
3
2
3
5
6
x
x
-
+ -
-
=
，
整理得5
8
x
-
=
，
解得
8
5
x = -
，
8
5
1.6
5
3
-
= -
> -
Q
，不满足
5
3
x < -
，此解舍去，该区间无实根；
当
5
3
3
2
x
-
£
£
时，
2
3
0
x -
£
Q
，3
5
0
x +
³
，
∴原方程化为
3
2
3
5
6
x
x
-
+
+
=
，
整理得
8
6
x +
=
，
解得
2
x = - ，
5
2
3
- < -
Q
，不满足
5
3
3
2
x
-
£
£
，此解舍去，该区间无实根；
当
3
2
x >
时，
2
3
0
x -
>
Q
，3
5
0
+
>
x
，
∴原方程化为
2
3
3
5
6
x
x
-
+
+
=
，
整理得5
4
x =
，
解得
4
5
x =
，
4
3
5
2
<
Q
，不满足
3
2
x >
，此解舍去，该区间无实根；
综上，原方程没有实数根．
3．按下面的程序计算：
若输入
25
m =
，输出结果是115；若输入
30
m =
，输出结果是65．若开始输入m 的值为正整数，最后输出的
结果为75，则开始输入m 的值可能有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】C
【分析】当输出的结果为75 时，求出
35
m =
，再令2
5
35
m +
=
，求出结果，然后令结果等于2
5
m +
，直至
找出不符合题意的结果，进而得出答案．
【详解】解：当输出的结果为75 时，2
5
75
m +
=
，
解得
35
m =
；
当2
5
35
m +
=
时，最后输出的结果为75，即2
5
35
m +
=
，
解得
15
m =
；
当2
5
15
m +
=
时，最后输出的结果为75，即2
5
15
m +
=
，
解得
5
m =
；
当2
5
5
m +
=
时，最后输出的结果为75，即2
5
5
m +
=
，
解得
0
m =
（不符合题意，舍去），
所以开始输入的m 的值可能是35，15，5，一共有3 种．
4．将正整数1 至1000 按一定规律排列如表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2030
【答案】D
【分析】设表格中三个数下面的数为,x 则左上的数为
9,
x -
右上的数为
7,
x -
所以三个数的和为：
9
7
3
16,
x
x
x
x
-
+
+
-
=
-
再分别列方程求解,x 再检验即可.
【详解】解：设表格中三个数下面的数为,x 则左上的数为
9,
x -
右上的数为
7,
x -
所以三个数的和为：
9
7
3
16,
x
x
x
x
-
+
+
-
=
-
当3
16
2022,
x -
=
则
1
679
,
3
x =
故A 不符合题意；
当3
16
2023,
x -
=
则
2
679
,
3
x =
故B 不符合题意；
当3
16
2024,
x -
=
则
680,
x =
而680
85 8
=
´ ，是数列中最后一列的数，故C 不符合题意
当3
16
2030,
x -
=
则
682,
x =
而682=85 8+2
´
，是数列中第86 行第2 列中的数，故D 符合题意.
5．家用前置前驱轿车前轮负重、转向、制动摩擦大，因此磨损快于后轮．同规格原厂轮胎安装在前轮最多
行驶4 万公里报废，安装在后轮最多行驶6 万公里报废．为使轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在
汽车行驶一定路程时，将前后轮胎进行一次调换，那么这两对轮胎最多可以行驶（ ）
A．2.4 万公里
B．2.5 万公里
C．4.8 万公里
D．5 万公里
【答案】C
【分析】将每个轮胎的总磨损量看作单位1，先求出前后轮每行驶1 万公里的磨损量，再根据四个轮胎总磨
损量为4，列方程求解即可．
【详解】解：设这两对轮胎最多可以行驶x 万公里．
∵每个轮胎总磨损为单位1，四个轮胎总磨损量为4 ，轮胎安装在前轮时每万公里磨损为1
4 ，轮胎安装在后轮
时每万公里磨损为1
6 ．
汽车每行驶1 万公里，四个轮胎总磨损为
1
1
5
2
2
4
6
6
´
+ ´
=
．
∴可列方程5
4
6 x = ，
解得
4.8
x =
．
二、填空题
6．如图所示，淇淇做了一个程序图，如输入
2
m = - ，因为2
1
-
- <
，所以
( 2)
( 7)
5
n = - -
+ -
= - ；输入
0
m =
，
因为0
1
> - ，所以将0
2
2
-
= - 作为m 再次进行判断和计算．若淇淇某次输入有理数m 后，输出的结果n 为
5.5
-
，请你写出m 的2 个可能值________．
【答案】1.5
-
或0.5
【分析】分
1
m
-
<
和
1
m
-
>
两种情况，根据程序图列方程求解即可．
【详解】解：当
1
m
-
<
时，
∵输出的结果n 为5.5
-
，
∴
( 7)
5.5
m
-
+ -
= -
，
解得：
1.5
m = -
；
当
1
m
-
>
时，
∵输出的结果n 为5.5
-
，
∴(
2)
( 7)
5.5
m
-
-
+ -
= -
，
解得：
0.5
m =
．
7．满足
2
3
7
x
x
+
+
-
=
的整数x =____________．
【答案】3
- 或4
【分析】根据绝对值的定义，确定绝对值的零点为
2
x = - 和
3
x =
，分三种区间讨论去掉绝对值符号，解一
元一次方程后筛选出符合条件的整数解即可．
【详解】解：令
2
0
x +
=
，解得
2
x = - ；令
3
0
x -
=
，解得
3
x =
，
分三种情况讨论：当
2
x
-
<
时，原方程可化为
2
3
7
x
x
-
+
-
-
=
，
去括号得
2
3
7
x
x
- -
-
+
=
，
合并同类项得2
1
7
x
-
+ =
，
移项得2
6
x
-
=
，
系数化为1得
3
x
-
=
，
3
2
x = - < - ，且
3
x
-
=
是整数，符合要求；
当2
3
x
- £
£
时，原方程可化为
2
3
7
x
x
+
-
-
=
，
化简得5
7
=
，等式不成立，此区间无解；
当
3
x >
时，原方程可化为
2
3
7
x
x
+
+
-
=
，
去括号得
2
3
7
x
x
+
+
-
=
，
合并同类项得2
1
7
x - =
，
移项得2
8
x =
，
系数化为1得
4
x =
，
4
3
x =
>
，且
4
x =
是整数，符合要求；
综上所述，整数x =
3
- 或4 ．
8．若关于x 的方程
3
x
m
+
=
和2
6
4
x -
=
有相同的解，则m = ______．
【答案】8
【分析】先解不含参数的一元一次方程得到x 的值，再代入含参数的方程即可求出m ．
【详解】解：解方程2
6
4
x -
=
，
移项得2
4
6
x =
+
，
合并同类项得2
10
x =
，
系数化为1得
5
x =
，
Q两个方程有相同的解，
\把
5
x =
代入
3
x
m
+
=
，得
5
3
8
m =
+
=
．
9．若有理数a ，b 同时满足
5
b
a
=
+
，
11
a
b
+
=
，则ab 的值为________
【答案】24
【分析】根据
5
0
b
a
=
+
>
，
11
a
b
+
=
可知
11
a
b
+
=
，进而消去b，得到
6
a
a
+
=
，分情况讨论求出a 的
值，进而得到b 的值，可知ab 的值．
【详解】解：∵
5
0
b
a
=
+
>
，
11
a
b
+
=
，
∴
11
a
b
+
=
，
∴
11
b
a
=
-
，
∴11
5
a
a
-
=
+
，
整理得：
6
a
a
+
=
，
当
0
a ³
时，
6
a
a
+
=
，
解得：
3
a =
；
当
0
a <
时，
6
-
=
a
a
，无解；
综上所述，
3
a =
，
∴
3
5
8
b =
+
=
，
∴
3 8
24
ab = ´ =
．
10．我们把不超过有理数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作
x ，又把
x
x
-
称为x 的小数部分，记作
x ，则有
x
x
x
=
+
．如：
1.2
1
= ，
1.2
1.2
1.2
1.2 1
0.2
=
-
=
- =
，
1.2
1.2
1.2
=
+
；
3.17
4
-
= - ，
3.17
3.17
3.17
3.17
4
0.83
-
= -
- -
= -
- -
=
，
3.17
3.17
3.17
-
= -
+ -
．若x 是大于5
- 且小于4
- 的有理数，
且
3
1
3
x
x
x
+ =
+
，则x 的值为___________．
【答案】4.75
-
【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程求解，理解新定义的整数部分与小数部分的含义，根据x 的取
值范围确定
x ，再将原方程转化为关于x 的一元一次方程即可求解．
【详解】解：
x
Q 是大于5
- 且小于4
- 的有理数，根据定义可得，
5
x
\
= - ，
又
x
x
x
=
+
Q
，
5
5
x
x
x
x
x
\
=
-
=
- -
=
+
，
将
5
x = - ，
5
x
x
=
+
代入方程
3
1
3
x
x
x
+ =
+
，
得
3
5
1
5
3
x
x
´ -
+ =
+
+
，
整理得
14
4
5
x
-
=
+
，
移项得 4
19
x = -
，
解得
4.75
x = -
．
三、解答题
11．解方程．
(1)
4
3 20
6
7 9
x
x
x
x
-
-
=
-
-
；
(2)
5 2
4
1
1
1
3
2
12
x
x
x
-
+
-
+
= -
．
【答案】(1)
0.5
x =
；
(2)
4
17
x =
．
【分析】
1 方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；
2 方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：去括号得4
60
3
6
63
7
x
x
x
x
-
+
=
-
+
，
移项合并得6
3
x =
，
解得
0.5
x =
；
（2）解：去分母得
4 4
1
6
1
12
5 2
x
x
x
+
+
-
=
-
-
，
去括号得16
4
6
6
12 10
5
x
x
x
+
+
-
=
-
+
，
移项合并得17
4
x =
，
解得
4
17
x =
．
12．一项工程，甲队单独完成需30 天，乙队单独完成需45 天，现甲队先单独做20 天，之后两队合作完成
此项工程．
(1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？
(提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率=总工作量¸ 工作时间)
(2)甲队施工一天需付工程款3.5 万元，乙队施工一天需付工程款2 万元，若该工程计划在40 天内完成，在
不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完
成该工程省钱？
【答案】(1)甲、乙两队再合作6 天才能把该工程完成
(2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱
【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x 天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可；
（2）因为45 天大于40 天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合
作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解．
【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x 天才能把该工程完成，
根据题意列方程为
20
1
30
45
x
x
+
+
= ，
去分母，得：
3
20
2
90
x
x
+
+
=
，
去括号，得：3
60
2
90
x
x
+
+
=
，
移项，得：3
2
90
60
x
x
+
=
-
，
合并同类项，得：5
30
x =
，
系数化为1，得：
6
x =
，
答：甲、乙两队再合作6 天才能把该工程完成．
（2）因为45 天大于40 天，所以不能由乙队单独完成，
若由甲队单独完成工程的费用：3.5 30
105
´
=
(万元)
设由甲、乙两队全程合作完成需要m 天，则
1
30
45
m
m
+
= ，解得
18
m =
，
甲、乙两队全程合作完成工程的费用：3.5 18
2 18
99
´
+ ´
=
(万元)，
因为99万元
105
<
万元．
所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱．
13．如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足
2
2
6
0
a
b
+
+
-
=
．
(1)a =________，b = ________；
(2)点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程
1
2
1
2
2
x
x
- =
+
的解，点M 是BC 的中点，在数轴上是否存在点
P ，使
8
PA
PM
+
=
，若存在，直接写出点P 对应的数；若不存在，说明理由；
(3)在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位长度/ 秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处
以2 个单位长度/ 秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度
向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
【答案】(1) 2
- ；6 ；
(2) 3
- 或5；
(3)甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为4
3 秒或8秒
【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b 的值，继而可得出线段AB 的长；
（2）先求出x 的值，再由
8
PA
PM
+
=
，分两种情况列方程可得出点P 对应的数；
（3）根据题意分为：甲、乙两球均向左运动或甲继续向左运动，乙向右运动，列方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
6
0
a
b
+
+
-
=
，
∴
2
0,
6
0
a
b
+
=
-
=
，
∴
2,
6
a
b
= -
=
；
（2）解：
1
2
1
2
2
x
x
- =
+
解得
2
x =
，
∵点M 是BC 的中点，且点B 为6 ，点C 为2，
∴M 在数轴上对应的数为
2
6
2
4
+
¸
=
，如下图，
设点P 对应的数为y ，
∵
4
2
6
8
AM =
- -
=
<
，
∴点P 只能在点A 的左边或点M 的右边，
①当点P 在点A 的左边时，2
4
8
y
y
- -
+
-
=
解得
3
y
-
=
；
②当点P 在点M 的右边时，
2
4
8
y
y
- -
+
-
=
解得
5
y =
，
综上所述，点P 对应的数是3
- 或5；
（3）解：当甲、乙两球均向左运动时，此时0
3
t
£ £
，
∴
2
OA
t
=
+ ，
6
2
OB
t
=
-
，
∴2
6
2
t
t
+ =
-
解得
4
3
t =
；
当甲继续向左运动，乙向右运动时，此时
3
t >
，
∴
2
OA
t
=
+ ，
2
3
2
6
OB
t
t
=
-
=
-
，
∴2
2
6
t
t
+ =
-
解得
8
t =
．
答：甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为4
3 秒或8秒．
14．在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下：
解方程：3
1
7
2
2
3
x
x
-
-
-
=
．
解：去分母，得
3 3
1
2
7
12
x
x
-
-
-
=
第一步
去括号，得9
3 2
14 12
x
x
- -
-
=
第二步
移项，得9
2
12
3 14
x
x
-
=
+ +
第三步
合并同类项，得7
29
x=
第四步
系数化为1，得
29
7
x =
第五步
(1)第________步开始出现错误；（填序号）
(2)写出正确求解过程．
【答案】(1)二
(2)解：去分母，得
3 3
1
2
7
12
x
x
-
-
-
=
，
去括号，得9
3
2
14
12
x
x
- -
+
=
，
移项，得9
2
12 14
3
x
x
-
=
-
+ ，
合并同类项，得7
1
x = ，
系数化为1，得
1
7
x =
．
【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误；
（2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1 求解即可．
【详解】（1）解：第二步中
2
7
2
14
x
x
-
-
= -
-
去括号符号错误，
故题目第二步开始出现错误；
（2）略
15．对于数轴上不重合的两点A ，B ，给出如下定义：若数轴上存在一点M ，通过比较线段AM 和BM 的
长度，将较短线段的长度定义为点M 到线段AB 的“绝对距离”．若线段AM 和BM 的长度相等，将线段AM
或BM 的长度定义为点M 到线段AB 的“绝对距离”．
(1)当数轴上原点为O ，点A 表示的数为1
- ，点B 表示的数为5时．
①点O 到线段AB 的“绝对距离”为_____________；
②点M 表示的数为m ，若点M 到线段AB 的“绝对距离”为3，则m 的值为_____________；
(2)在数轴上，点P 表示的数为6
- ，点A 表示的数为3
- ，点B 表示的数为2，点P 以每秒2 个单位长度的速
度向正半轴方向移动时，点B 同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为
0
（
）
>
t t
秒，
当点P 到线段AB 的“绝对距离”为2 时，求t 的值．
【答案】(1)①1；②4
- 或2 或8；
(2)所求t 的值为
1
2 或10
3
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，理解“绝对距离”的定义，采用分类讨论
的思想是解此题的关键．
（1）①由题意可得
1
OA = ，
5
OB =
，再结合“绝对距离”的定义即可得出结果；②分三种情况：当点M 在
点A 的左边时，MA
MB
<
；当点M 在点A 、B 之间时；当点M 在点B 的右边时，MB
MA
<
；分别列出一
元一次方程，解方程即可得出结果；
（2）由题意可得点P 运动到点A 时需要的时间为3
2 秒，点B 运动到点A 时需要的时间为5秒，点P 、点B
相遇需要的时间为8
3 秒，设移动的时间为
0
（
）
>
t t
秒，则点P 表示的数为6
2t
- +
，点B 表示的数为2
t
- ，分
四种情况：当
3
0
2
t
< £
时，PA
PB
<
；当3
8
2
3
t
< £
时；当8
5
3
t
< £
时，PB
PA
<
；当
5
t >
时，PA
PB
<
，分
别列出一元一次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：①∵数轴上原点为O ，点A 表示的数为1
- ，点B 表示的数为5，
∴
1
OA = ，
5
OB =
，
∵1
5
< ，
∴点O 到线段AB 的“绝对距离”为1；
②∵点M 表示的数为m ，点A 表示的数为1
- ，点B 表示的数为5，点M 到线段AB 的“绝对距离”为3，
∴当点M 在点A 的左边时，MA
MB
<
，
∴1
3
m
- -
=
，
∴
4
m = - ，符合题意；
当点M 在点A 、B 之间时，
∵
1
MA
m
=
+ ，
5
MB
m
=
-
，
∴如果
1
3
m + =
，解得
2
m =
，此时5
3
m
-
=
，满足题意；
当点M 在点B 的右边时，MB
MA
<
，
∴
5
3
m -
=
，
解得：
8
m =
，符合题意；
综上所述，m 的值为4
- 或2 或8；
（2）解：∵点P 表示的数为6
- ，点A 表示的数为3
- ，点B 表示的数为2，点P 以每秒2 个单位长度的速度
向正半轴方向移动时，点B 同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．
∴点P 运动到点A 时需要的时间为
3
3
6
2
2
é
ù
- - -
¸
=
ë
û
秒，点B 运动到点A 时需要的时间为
2
3
1
5
é
ù
- -
¸ =
ë
û
秒，
点P 、点B 相遇需要的时间为
8
2
6
2 1
3
é
ù
- -
¸
+
=
ë
û
秒，
设移动的时间为
0
（
）
>
t t
秒，则点P 表示的数为6
2t
- +
，点B 表示的数为2
t
- ，
当
3
0
2
t
< £
时，PA
PB
<
，
由题意可得
3
6
2
3
2
2
PA
t
t
= - - - +
=
-
=
，
解得：
1
2
t =
，符合题意；
当3
8
2
3
t
< £
时，
6
2
3
2
3
PA
t
t
= - +
- -
=
- ，
2
6
2
8
3
PB
t
t
t
=
- - - +
=
-
，
如果2
3
2
t -
=
，解得
5
2
t =
，此时
1
8
3
2
2
t
-
=
<
，不符合题意；
如果8
3
2
t
-
=
，解得
2
t =
，此时2
3
1
2
t -
= <
，不符合题意；
当8
5
3
t
< £
时，PB
PA
<
，
由题意可得
6
2
2
3
8
2
PB
t
t
t
= - +
-
-
=
-
=
，
解得：
10
3
t =
，符合题意；
当
5
t >
时，PA
PB
<
，
由题意可得
6
2
3
2
3
2
PA
t
t
= - +
- -
=
-
=
，
解得：
5
5
2
t =
<
，不符合题意；
综上所述，t 的值为
1
2 或10
3 ．
