文档文本内容
培优专题04 一元一次方程有关的含参问题
（题型突破·举一反三）
题型01 根据一次方程的定义求参数
题型02 根据方程的解求参数
题型03 无论参数取何值，解恒为定值
题型04 同解方程
题型05 一元一次方程的整数解问题
题型06 错解一元一次方程含参问题
题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数
题型08 根据一元一次方程解的情况求参数
题型09 解一元一次方程有关的新定义问题
题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题
▌题型01 根据一次方程的定义求参数
【典例1】（25-26 七年级下·河南新乡·期中）若
是关于
的一元一次方程，则
的值可
以是______（写出一个即可）．
【变式1】（25-26 七年级下·山西临汾·期中）如果关于
的方程
是一元一次方程，则
______．
【变式2】（25-26 七年级上·广东梅州·期末）已知
是关于y 的一元一次方程，则
的值为______．
【变式3】（25-26 七年级上·广东佛山·期末）已知
是关于
的一元一次方程，则
_______．
▌题型02 根据方程的解求参数
【典例2】（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知
是方程
的解，则
的值为________
【变式1】（2026·江苏常州·一模）若
是一元一次方程
的解，则代数式
的值为
_____．
【变式2】（25-26 七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知
是方程
的解，则
_____ ．
【变式3】（25-26 七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：
，■处在印刷时被油墨
盖住了，查后面的答案知这个方程的解是
，那么■处的数字是______．
▌题型03 无论参数取何值，解恒为定值
【典例3】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）已知
为定值，关于
的方程
，无论
为何值，1 总是它的解，则
___________，
___________
【变式1】（25-26 六年级下·山东烟台·期中）如果
，
为常数，关于
的方程
，无
论
为何值，方程的解总是2，则
_____．
【变式2】（24-25 九年级上·江苏无锡·阶段检测）如果
、
是定值，且关于
的方程
，无论
为何值时，它的解总是
，那么
的值是______．
【变式3】（24-25 七年级下·福建泉州·阶段检测）已知
，
为常数，关于
的方程
，
无论
为何值，它的解总是
，则
的值为________．
▌题型04 同解方程
【典例4】（21-22 七年级上·广西桂林·期末）已知关于
的方程
的解与方程
的解相同，则
______．
【变式1】（21-22 七年级上·江苏连云港·期末）如果关于x 的方程
和方程
的解相同，
那么
的值为______．
【变式2】（25-26 七年级上·山东聊城·期末）若方程
的解与关于
的方程
的
解相同，则
的值为_________．
【变式3】（2025 七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于
的方程
与
的解相同，
那么
的值是___________．
▌题型05 一元一次方程的整数解问题
【典例5】（25-26 七年级上·山东德州·期末）若关于
的方程
的解是整数，则整数
的值是_____．
【变式1】（24-25 七年级上·重庆江津·期末）若整数
，关于
的一元一次方程
有非正整数
解，那么符合条件的所有整数
之和为_______．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期末）已知关于
的方程
的解为正整数，则满足条件的
整数
的所有值的和是________．
【变式3】（25-26 七年级上·重庆·期中）已知关于
的方程
的解为负整数，则整数
所有可
能取值的和为______．
【变式4】（24-25 七年级上·安徽马鞍山·期末）若关于
的方程
的解是正整数，且
关于
的多项式
是二次三项式，那么所有满足条件的整数
的值之和是_____．
▌题型06 错解一元一次方程含参问题
【典例6】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）某同学解关于x 的方程
，在方程两边都乘
去分母时，漏乘方程右边的，求得的解为
，则
______．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北荆州·期末）马虎同学在解关于x 的方程
时，把含未知数
的项
移到左边时忘记变号了，解得
，则※处的数字是_______．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）有一个一元一次方程：
，其中“
”
表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是
，这个被污染的常数应是______．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏连云港·阶段检测）小明同学在解关于
的方程
时，把
处的数字看错了，解得
，则该同学把
看成了_____．
▌题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数
【典例7】（北京市中关村中学2025-2026 学年七年级上学期期末考试数学试卷）若关于
的方程
的解是方程
的解的2 倍，则
的值为________．
【变式1】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）已知关于
的方程
与方程
的解互为倒数，则
的值为______．
【变式2】（江苏扬州市邗江区2025-2026 学年七年级上学期期末数学试题）已知关于x 的方程
与方程
的解互为相反数，则
____．
【变式3】（河北张家口市怀安县2025-2026 学年七年级上学期1 月期末考试数学试题）若关于
的方程
的解是关于
的方程
的解的2 倍，则
的值为_________．
【变式4】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）若关于
的一元一次方程
与方程
的解的和为2，则
的值为_____．
【变式5】（2025-2026 学年上学期七年级数学期末试题）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们
就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程
和
为“和谐方程”．若关于
的方程
与方程
是“和谐方程”，则
的值______________．
▌题型08 根据一元一次方程解的情况求参数
【典例8】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）若关于x 的方程
无解，则k 的取值是____．
【变式1】（23-24 八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x 的方程
有解，那么m 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．任意实数
【变式2】（21-22 七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若
是关于x 的一元一次方程，
且x 有唯一解，则
____________．
【变式3】（23-24 七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列分析过程，并解答问题．
一元一次方程
①当
时，方程有唯一解；
②当
，
时，方程无解；
③当
，
时，方程有无数解．
根据上面的方法，
(1)当
满足唯一解、无解时，求m 的值；
(2)满足无数解时，求m、n 的值．
▌题型09 解一元一次方程有关的新定义问题
【典例9】（24-25 七年级上·安徽合肥·期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果
它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2 倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义
一个新运算，我们把一个“互差数”
的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为
，例如：
，因为
，所以723 是一个“互差数”，
．
（1）计算
______；
（2）若
是一个“互差数”，且
，那么
的值是______．
【变式1】（23-24 七年级上·安徽宿州·阶段检测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项
的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程
中，
，方程的解为
，则方程
为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：
（1）方程
______妙解方程（填“是”或“不是”）
（2）已知关于
的一元一次方程
是妙解方程．则
______．
【变式2】（25-26 七年级上·山东济宁·期末）已知
为不相等的两个有理数，且
均不等于0．
现定义有序有理数对
的“真诚值”为：
，如数对
“真诚值”为：
，数对
的“真诚值”为：
(1)根据上述的定义填空：
___________，
___________；
(2)若数对
的“真诚值”
，求
的值．
▌题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题
【典例10】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】定义：关于
的一元一次方程
，若它的
解
满足
，则称该方程是“差解方程”，例如：
的解为
，则方程
就
是“差解方程”，据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程
_____差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值；
【知识应用】
（3）若关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值；
【变式1】（24-25 七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可
以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M 的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为
一次多项式N 的一次项系数，二次多项式M 的一次项系数作为一次多项式N 的常数项，二次多项式M 的常
数项变为0．如，二次多项式
经过小魔方后，可以降次为一次多项式
．
理解应用：
（1）若
，经过小魔方后的多项式
______．
（2）若
，经过小魔方后的多项式记为B，若
的结果中不含一次项，求常数m 的值；
拓展应用：
（3）若
（a、b 为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程
有无
数个解，分别求a、b 的值．
【变式2】（23-24 七年级上·福建福州·期中）【阅读理解】
两点之间的距离：在数轴上M 点表示m，N 点表示n，线段
；
中点公式：在数轴上M 点表示m，N 点表示n，则点M 与点N 的中点表示的数是
．
【解决问题】
如图，在数轴上A 点表示数a，B 点表示数b，C 点表示数c，b 是最小的正整数，且a、c 满足：
．
(1)
，
；
(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，则点B 与数轴上表示x 的点重合，求x 的值；
(3)若点A、点B 和点C 分别以每秒2 个单位长度、1 个单位长度和4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运
动时，小明同学发现：
的值是个定值，求此时m 的值．
【变式3】（23-24 七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”
的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：
【问题解决】
（1）若折叠后数1 对应的点与数
对应的点重合，则此时数
对应的点与数________对应的点重合；
【学以致用】
（2）若折叠后数2 对应的点与数
对应的点重合，则此时数0 对应的点与数________对应的点重合；
【问题拓展】
（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B 两点也重合，且A、B 两点之间的距离为11（点B 在A 点的右
侧），则点A 对应的数为________，点B 对应的数为________；
（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P 从B 点出发，以每秒2 个单位长度的速度在数轴上匀速
运动，设运动时间为t 秒（
）．
①动点P 从B 点向右出发，t 为何值时，P、A 两点之间的距离为15 个单位长度；
②请直接写出动点P 从B 点向左出发时，P、A 两点之间的距离为15 个单位长度的t 的值．
