文档文本内容
培优专题04 一元一次方程有关的含参问题
（题型突破·举一反三）
题型01 根据一次方程的定义求参数
题型02 根据方程的解求参数
题型03 无论参数取何值，解恒为定值
题型04 同解方程
题型05 一元一次方程的整数解问题
题型06 错解一元一次方程含参问题
题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数
题型08 根据一元一次方程解的情况求参数
题型09 解一元一次方程有关的新定义问题
题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题
▌题型01 根据一次方程的定义求参数
【典例1】（25-26 七年级下·河南新乡·期中）若
是关于
的一元一次方程，则
的值可
以是______（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数
的系数不能为
，由此得到关于
的不等式，求出
的取值范
围后任写一个满足条件的值即可．
【详解】解：
是关于
的一元一次方程，
，
解得
，
的值可以是1（答案不唯一）．
【变式1】（25-26 七年级下·山西临汾·期中）如果关于
的方程
是一元一次方程，则
______．
【答案】
【分析】根据一元一次方程中未知数次数为，一次项系数不为
这两个条件，列等式和不等式求解．
【详解】解：∵关于
的方程
是一元一次方程，
∴
，且
，
解
，得
，即
或
，
由
，得
，
综上，
．
【变式2】（25-26 七年级上·广东梅州·期末）已知
是关于y 的一元一次方程，则
的值为______．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，明确其定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是
1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
根据一元一次方程的定义，
的系数必须为零，且y 的指数必须为1，由此列出方程组求解．
【详解】由一元一次方程的定义，得
，
解得
，
所以
．
故答案为：
．
【变式3】（25-26 七年级上·广东佛山·期末）已知
是关于
的一元一次方程，则
_______．
【答案】
【分析】依据一元一次方程的定义，确定二次项系数为0 且一次项系数不为0，进而求出
的值即可．
【详解】解：根据一元一次方程的定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，因此可得：
且
．
由
，得
，解得
或
．
由
，得
，解得
．
因为
和
均不等于
，都符合条件，
所以
．
▌题型02 根据方程的解求参数
【典例2】（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知
是方程
的解，则
的值为________
【答案】5
【分析】根据方程解的含义，将
代入方程，求出
的值，再计算
即可．
【详解】解：
是方程
的解，
则
，
解得
，
将
代入
可得，
．
【变式1】（2026·江苏常州·一模）若
是一元一次方程
的解，则代数式
的值为
_____．
【答案】
【分析】将
代入方程
得到
，对所求代数式变形后整体代入即可求值．
【详解】解：
是一元一次方程
的解，
，
．
【变式2】（25-26 七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知
是方程
的解，则
_____ ．
【答案】4
【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．
根据方程的解的定义，将
代入原方程求出
的值，再利用绝对值的性质计算
的值即可．
【详解】解：∵
是方程
的解，
∴
，
解得
，
∴
．
故答案为：4．
【变式3】（25-26 七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：
，■处在印刷时被油墨
盖住了，查后面的答案知这个方程的解是
，那么■处的数字是______．
【答案】1
【分析】本题考查一元一次方程的解，将解代入原方程是解题的关键．
将已知解
代入方程，解出 ■ 的值．
【详解】解：将
代入方程
，得
．
移项得
．
两边乘以 3 得
．
移项得
．
解得
．
故答案为1．
▌题型03 无论参数取何值，解恒为定值
【典例3】（25-26 七年级上·浙江绍兴·期末）已知
为定值，关于
的方程
，无论
为何值，1 总是它的解，则
___________，
___________
【答案】
【分析】本题主要考查方程解的定义，由k 可以取任何值得到a 和b 的值是解题的关键．将
代入方程，
化简后得到关于 k 的方程，由无论 k 为何值方程都成立，可得 k 的系数和常数项均为零，从而求出 a 和 b．
【详解】解：将
代入方程
，得
，
两边同时乘以 6 得 ，
，
化简得
，
移项得
，即
，
由于无论 k 为何值方程都成立，
所以
且
，
解得
．
故答案为：
．
【变式1】（25-26 六年级下·山东烟台·期中）如果
，
为常数，关于
的方程
，无
论
为何值，方程的解总是2，则
_____．
【答案】
【分析】先整理原方程，得到关于
的表达式．再根据无论
为何值，方程的解总是
，得到关于
和
的方程组．求解得到
，
的值，再计算
即可．
【详解】解：
去分母得：
．
去括号得：
．
移项得：
．
合并同类项得：
．
无论
为何值，方程的解总是
．
当
时，等式对任意
恒成立，可得
，
解得：
，
．
．
【变式2】（24-25 九年级上·江苏无锡·阶段检测）如果
、
是定值，且关于
的方程
，无论
为何值时，它的解总是
，那么
的值是______．
【答案】
【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，灵活运
用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键，根据方程解的定义，把方程转
化为关于k 的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可．
【详解】解：把
代入方程
，
，
，
，
，
由题意得：
，
解得：
，
，
故答案为：
．
【变式3】（24-25 七年级下·福建泉州·阶段检测）已知
，
为常数，关于
的方程
，
无论
为何值，它的解总是
，则
的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把
代入关于
的方程得到含有
，，的等式，根据题
意可得
恒成立，列出关于
，的一元一次方程，解方程求出
，，然后代入
进行
计算即可.
【详解】解：把
代入关于
的方程
得：
，
，
，
，
，
∵无论
为何值，它的解总是
∴无论
为何值，
恒成立，
，
解得：
，
，
故答案为：
．
▌题型04 同解方程
【典例4】（21-22 七年级上·广西桂林·期末）已知关于
的方程
的解与方程
的解相同，则
______．
【答案】
【分析】先解第一个一元一次方程求出
的值，根据两个方程解相同，将
代入第二个方程. 即可求出
的
值．
【详解】解：
，
，
，
，
∵
的解与方程
的解相同，
∴将
代入方程
中，
，
，
，
，
．
【变式1】（21-22 七年级上·江苏连云港·期末）如果关于x 的方程
和方程
的解相同，
那么
的值为______．
【答案】7
【分析】先解第一个方程
得到
的值，再利用两个方程解相同，将
代入第二个方程求解
即可．
【详解】解：解方程
得
因为两个方程的解相同，将
代入
得
解得
【变式2】（25-26 七年级上·山东聊城·期末）若方程
的解与关于
的方程
的
解相同，则
的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了方程的同解问题．
先解第一个方程求出
的值，再将
代入第二个方程求解
即可．
【详解】解：解方程
，
去括号得
，
移项得
，
合并同类项得
，
系数化为1 得
，
将
代入方程
，
得
，
即
，
移项得
，
计算得
，
所以
．
故答案为：
．
【变式3】（2025 七年级上·湖北武汉·专题练习）如果关于
的方程
与
的解相同，
那么
的值是___________．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键．
先解第一个方程求出x 的值，再将x 代入第二个方程求解
，进而得到
的值．
【详解】解：解方程
，
两边同乘6 得
，
解得：
．
将
代入
，得
，
即
，
解得：
，
所以：
．
故答案为：
．
▌题型05 一元一次方程的整数解问题
【典例5】（25-26 七年级上·山东德州·期末）若关于
的方程
的解是整数，则整数
的值是_____．
【答案】
，
，
，
【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确计算是解题的关键．先对方程进行变形得到
，再根据
解为整数，得出
是的因数，且
，从而求出整数
的值．
【详解】解：解方程
，
移项得
，
即
，
当
时，方程无解，不符合题意；
当
时，
，
由于
为整数，因此
必须是的因数，
的因数为
，
，
所以
或
或
或
，
解得
或
或
或
，
故整数
的值为
，
，
，
．
故答案为：
，
，
，
．
【变式1】（24-25 七年级上·重庆江津·期末）若整数
，关于
的一元一次方程
有非正整数
解，那么符合条件的所有整数
之和为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．先解方程，
用a 表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可．
【详解】解：
，
去括号得，
，
移项得，
，
合并同类项得
，
解得
，
有非正整数解，
，
，
故答案为：
．
【变式2】（25-26 七年级上·四川成都·期末）已知关于
的方程
的解为正整数，则满足条件的
整数
的所有值的和是________．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的解的应用，关键是先将方程的解用含参数
的式子表示，再根据解为正整
数、
为整数的条件，确定
的所有可能取值，最后计算这些值的和．
【详解】解：解方程
，得
．
∵
是正整数，
是整数，
∴
是6 的正约数1、2、3、6，
当
时，
，此时
，符合条件；
当
时，
，此时
，符合条件；
当
时，
，此时
，符合条件；
当
时，
，此时
，符合条件；
综上，满足条件的整数
为2、1、0、
，它们的和为
；
故答案为：
．
【变式3】（25-26 七年级上·重庆·期中）已知关于
的方程
的解为负整数，则整数
所有可
能取值的和为______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先解一元一次方程可得
，
再根据关于
的方程的解为负整数，且
为整数可得
所有可能取值，然后求和即可得．
【详解】解：
，
方程两边同乘以6 去分母，得
，
移项、合并同类项，得
，
∵这个关于
的方程有解，
∴
，
又∵这个关于
的方程的解为负整数，且
为整数，
∴
所有可能取值为
，
∴
所有可能取值为
，
∴整数
所有可能取值的和为
，
故答案为：
．
【变式4】（24-25 七年级上·安徽马鞍山·期末）若关于
的方程
的解是正整数，且
关于
的多项式
是二次三项式，那么所有满足条件的整数
的值之和是_____．
【答案】5
【分析】本题主要考查求解一元一次方程，二次三项式的定义，根据一元一次方程，二次三项式求解未知数
的值是解题的关键．
解方程得
，由解为正整数确定
为4 的正因数，即
；再根据多项式为二次三项式的条件，要
求二次项系数
且一次项系数
，排除
，得
和
，求和即可．
【详解】解：
，
，
∵解是正整数，
∴
且为整数，即
，
多项式
是二次三项式，
∴二次项系数
，即
，且一次项系数
，
∴满足条件的
为和
，和为
，
故答案为：5．
▌题型06 错解一元一次方程含参问题
【典例6】（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）某同学解关于x 的方程
，在方程两边都乘
去分母时，漏乘方程右边的，求得的解为
，则
______．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程．
根据错误去分母得到的方程，将
代入，解出
的值．
【详解】解：错误去分母得
，
将
代入得
，
即
，
解得
．
故答案为：
．
【变式1】（25-26 七年级上·湖北荆州·期末）马虎同学在解关于x 的方程
时，把含未知数
的项
移到左边时忘记变号了，解得
，则※处的数字是_______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解题意是解题的关键．
设※处的数字为
，根据题意可得
是方程
的解，代入
求出
的值，即可得出答案．
【详解】解：设※处的数字为
，
由题意得，
是方程
的解，
代入
，得
，
解得
，
∴※处的数字是
．
故答案为：
．
【变式2】（25-26 七年级上·湖南长沙·阶段检测）有一个一元一次方程：
，其中“
”
表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是
，这个被污染的常数应是______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，设被污染的常数为x，根据方程的解满足方程，可得关于x 的方程，
根据解方程，可得答案．
【详解】解：设被污染的常数为x，则方程为
．
将
代入方程得：
，即
，
解得：
，
故答案为：
．
【变式3】（25-26 七年级上·江苏连云港·阶段检测）小明同学在解关于
的方程
时，把
处的数字看错了，解得
，则该同学把
看成了_____．
【答案】5
【分析】设■处的数字为a，将
代入方程
，求解a 的值即可．
本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设■处的数字为a，将
代入方程
，
得
，
，
解得
，
故答案为：5．
▌题型07 已知两个一元一次方程解的关系求参数
【典例7】（北京市中关村中学2025-2026 学年七年级上学期期末考试数学试卷）若关于
的方程
的解是方程
的解的2 倍，则
的值为________．
【答案】2
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出方程
的解，再根据题意得到
方程
的解，代入求解
的值．
【详解】解：解方程
，
得
，即
，
解得
，
因为方程
的解是方程
的解的
倍，
所以方程
的解为
，
将
代入方程
，
得
，即
，
解得
．
故答案为：
．
【变式1】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）已知关于
的方程
与方程
的解互为倒数，则
的值为______．
【答案】15
【分析】本题主要考查了解一元一次方程、方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
先分别求出两个方程的解，再根据解互为倒数列出关于m 的方程求解即可．
【详解】解：解方程
，
两边同乘2 得：
，
移项得：
，即：
，
解得：
．
解方程
，
两边同乘6 得：
，即
，
移项得：
，即
，
解得：
．
由于两个方程的解互为倒数，
因此
，解得：
．
故答案为：15．
【变式2】（江苏扬州市邗江区2025-2026 学年七年级上学期期末数学试题）已知关于x 的方程
与方程
的解互为相反数，则
____．
【答案】1
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数，解题的关键是掌握解一元一次方
程的步骤．
先解方程
得到
，由于两方程解互为相反数，故第一个方程的解为
，代入第一个方程求解
．
【详解】解：解方程
，得
；
∵ 两方程的解互为相反数，
∴ 方程
的解为
，
将
代入方程
，得
，
即
，
移项得
，
即
，
解得
．
故答案为：1．
【变式3】（河北张家口市怀安县2025-2026 学年七年级上学期1 月期末考试数学试题）若关于
的方程
的解是关于
的方程
的解的2 倍，则
的值为_________．
【答案】
/
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程
成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m 的方程求解即可．
【详解】解：解方程
得
；
解方程
得
．
由题意，
，即
，
解得
．
故答案为：
．
【变式4】（2025-2026 学年七年级上学期1 月期末数学试题）若关于
的一元一次方程
与方程
的解的和为2，则
的值为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据方程的解求参数，解题的关键是掌握一元一次方程的解的定
义．
先解方程
得到解，再根据两个方程解的和为2，求出第一个方程的解，最后代入第一个方程
求解
．
【详解】解：解方程
，
移项得
，
即
，
解得
；
设第一个方程的解为
，
则
，
解得
，
将
代入
，得
，
移项得
，即
，
解得
，
故答案为：
．
【变式5】（2025-2026 学年上学期七年级数学期末试题）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们
就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程
和
为“和谐方程”．若关于
的方程
与方程
是“和谐方程”，则
的值______________．
【答案】9
【分析】本题考查了解一元一次方程，已知一元一次方程的解求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点
并能运用其来求解．
先求出方程
的解，再求出方程
的解，根据“和谐方程”的定义列出方程求出m．
【详解】解∶解方程
得
，
解方程
得
；
因为关于
的方程
与方程
是“和谐方程”，
所以
，
解得∶
．
故答案为∶9．
▌题型08 根据一元一次方程解的情况求参数
【典例8】（25-26 七年级上·全国·寒假作业）若关于x 的方程
无解，则k 的取值是____．
【答案】2
【分析】本题考查了解一元一次方程，理解方程无解的条件是解题关键．
将方程化为标准形式，根据一次方程无解的条件，即未知数系数为零且常数项不为零，求解k 的值即可．
【详解】解：
，
移项得
，即
．
当
时，方程变为
，即
，矛盾，方程无解，
此时
．
故答案为2．
【变式1】（23-24 八年级下·上海浦东新·期中）如果关于x 的方程
有解，那么m 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．任意实数
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程无解的情况， 根据
中，当
时，方程无解可知当
时
关于
的方程
有解．
【详解】解：由题意得：当
时，关于
的方程
有解，
解得
，
故选：C．
【变式2】（21-22 七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若
是关于x 的一元一次方程，
且x 有唯一解，则
____________．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义及求解，一元一次方程需满足“只含一个未知数、未知数最高次数
为1、一次项系数不为0”；解题的关键是根据定义列a、b 关系式，代入求x．
整理方程为标准形式，令二次项系数为0、一次项系数不为0 得a、b 关系，代入求解x．
【详解】解：将方程整理为
∵方程是关于x 的一元一次方程
∴
，解得
将
代入
，得
∵
，两边除以a 得
故答案为：
【变式3】（23-24 七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列分析过程，并解答问题．
一元一次方程
①当
时，方程有唯一解；
②当
，
时，方程无解；
③当
，
时，方程有无数解．
根据上面的方法，
(1)当
满足唯一解、无解时，求m 的值；
(2)满足无数解时，求m、n 的值．
【答案】(1)
时有唯一解；
时，无解；
(2)
且
．
【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程．
（1）将方程转化为
，根据题干给出的方法，求解即可；
（2）根据题意，得到
，
，求解即可．
理解并掌握题干中的解题方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：将方程整理得：
，
①当方程无解时：
且
时，
且
.
②当方程有唯一解时：
；
（2）由题意，得：当方程有无数解时：
且
∴
，
．
▌题型09 解一元一次方程有关的新定义问题
【典例9】（24-25 七年级上·安徽合肥·期中）对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果
它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2 倍，我们称这个三位数为“互差数”，定义
一个新运算，我们把一个“互差数”
的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为
，例如：
，因为
，所以723 是一个“互差数”，
．
（1）计算
______；
（2）若
是一个“互差数”，且
，那么
的值是______．
【答案】
3
或840
【分析】本题考查了有理数的混合运算．理解题意，明确运算规则是解题的关键．
（1）由题意知，
，计算求解即可；
（2）设“互差数”
的百位、十位、个位数字分别为
，依题意得，
，
，可求
，
，然后根据
互不相等，确定合适的
的取值，然后判
断作答即可．
【详解】解：（1）由题意知，
，
故答案为：3；
（2）设“互差数”
的百位、十位、个位数字分别为
，
依题意得，
，
，
∴
，
解得，
，
∴
，
∵
互不相等，
∴
，
或
，
∴
或840；
故答案为：
或840．
【变式1】（23-24 七年级上·安徽宿州·阶段检测）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项
的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程
中，
，方程的解为
，则方程
为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：
（1）方程
______妙解方程（填“是”或“不是”）
（2）已知关于
的一元一次方程
是妙解方程．则
______．
【答案】
不是
【分析】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）根据题中的新定义判断即可；
（2）利用题中的新定义确定出m 的值即可；
【详解】解：（1）∵
，
解方程
得，
，
∴方程
不是妙解方程，
故答案为：不是；
（2）∵一元一次方程
是妙解方程
∴方程的解为：
，
代入得：
，
解得：
，
故答案为：
．
【变式2】（25-26 七年级上·山东济宁·期末）已知
为不相等的两个有理数，且
均不等于0．
现定义有序有理数对
的“真诚值”为：
，如数对
“真诚值”为：
，数对
的“真诚值”为：
(1)根据上述的定义填空：
___________，
___________；
(2)若数对
的“真诚值”
，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】此题考查了代数式求值，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义．
（1）根据“真诚值”的定义求解即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
；
；
（2）解：当
时，
解得
；
当
时，
解得
（不合题意，舍去）
综上所述，当
时，
．
▌题型10 解一元一次方程有关的阅读理解类问题
【典例10】（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】定义：关于
的一元一次方程
，若它的
解
满足
，则称该方程是“差解方程”，例如：
的解为
，则方程
就
是“差解方程”，据上述规定解答下列问题：
【定义理解】
（1）判断：方程
_____差解方程；（填“是”或“不是”）
（2）若关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值；
【知识应用】
（3）若关于
的一元一次方程
是“差解方程”，求
的值；
【答案】（1）是；（2）
；（3）16
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程．
（1）根据差解方程的定义判断即可；
（2）根据差解方程的定义即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b 的方程，整理即可得出．
【详解】解：方程
的解为
，而
，符合“差解方程”的定义，
∴方程
是差解方程
故答案为：是；
（2）由题意可知
，
由一元一次方程
可知
所以
，
解得
；
（3）因为方程
是“差解方程”，所以
，
解方程
， 得
所以
所以
，
即
．
【变式1】（24-25 七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可
以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M 的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为
一次多项式N 的一次项系数，二次多项式M 的一次项系数作为一次多项式N 的常数项，二次多项式M 的常
数项变为0．如，二次多项式
经过小魔方后，可以降次为一次多项式
．
理解应用：
（1）若
，经过小魔方后的多项式
______．
（2）若
，经过小魔方后的多项式记为B，若
的结果中不含一次项，求常数m 的值；
拓展应用：
（3）若
（a、b 为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程
有无
数个解，分别求a、b 的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解
题关键．
（1）根据已知处理方法求解即可；
（2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据
的结果中不含一次项，得出关于m 的方程，解方程
即可；
（3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到
，根据方程有无数个解可得出
，
，求解即可．
【详解】解：（1）若
，经过小魔方后的多项式
，
故答案为：
；
（2）由题意得：
，
，
∵
结果中不含一次项，
∴
，
解得
；
（3）
，
，
又
∴
，
∴
，
∵方程
有无数个解，
∴方程
有无数个解，
∴
，
，
∴
，
．
【变式2】（23-24 七年级上·福建福州·期中）【阅读理解】
两点之间的距离：在数轴上M 点表示m，N 点表示n，线段
；
中点公式：在数轴上M 点表示m，N 点表示n，则点M 与点N 的中点表示的数是
．
【解决问题】
如图，在数轴上A 点表示数a，B 点表示数b，C 点表示数c，b 是最小的正整数，且a、c 满足：
．
(1)
，
；
(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，则点B 与数轴上表示x 的点重合，求x 的值；
(3)若点A、点B 和点C 分别以每秒2 个单位长度、1 个单位长度和4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运
动时，小明同学发现：
的值是个定值，求此时m 的值．
【答案】(1)
，；
(2)x 的值为；
(3)当
在
点的右侧，
；
在
点的左侧，
．
【分析】（1）根据绝对值以及平方的非负性，求得
，根据题意求得
，即可求解；
（2）根据题意可得，求得
中点表示的数，列方程求解即可；
（3）设运动时间为，则秒后，点A、点B 和点C 分别表示的数为
，
，
，求得
、
，分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由
可得，
，
，即
，
b 是最小的正整数，则
，
故答案为：
，；
（2）由题意可得，
中点表示的数为：
即
，解得
即x 的值为；
（3）设运动时间为，则秒后，点A、点B 和点C 分别表示的数为
，
，
，
线段
，
当
，即
时，
，此时
在
点的左侧，
是定值，则
，解得
；
当
，即
时，
，此时
在
点的右侧，
是定值，则
，解得
，
综上，当
在
点的右侧，
；
在
点的左侧，
．
【点睛】此题考查了一元一次方程与几何的综合应用，有理数与数轴，数轴上的动点问题以及绝对值和平方
的非负性，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
【变式3】（23-24 七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”
的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：
【问题解决】
（1）若折叠后数1 对应的点与数
对应的点重合，则此时数
对应的点与数________对应的点重合；
【学以致用】
（2）若折叠后数2 对应的点与数
对应的点重合，则此时数0 对应的点与数________对应的点重合；
【问题拓展】
（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B 两点也重合，且A、B 两点之间的距离为11（点B 在A 点的右
侧），则点A 对应的数为________，点B 对应的数为________；
（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P 从B 点出发，以每秒2 个单位长度的速度在数轴上匀速
运动，设运动时间为t 秒（
）．
①动点P 从B 点向右出发，t 为何值时，P、A 两点之间的距离为15 个单位长度；
②请直接写出动点P 从B 点向左出发时，P、A 两点之间的距离为15 个单位长度的t 的值．
【答案】（1）3；（2）
；（3）
，4.5；（4）①2；②13
【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；
（2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；
（3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解；
（4）①根据题意，
,点P 对应的数为
，用代数式表示
，列方程求解即可；
②根据题意，点P 在点A 的左侧，点P 对应的数为
，用代数式表示
，列方程求解即可．
本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之
间的距离的表示方法是解题的关键．
【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数
对应的点与数3 对应的点重合；
故答案为：3
（2）因为数2 对应的点与数
对应的点重合，
所以，对称中心是数
对应的点，
，
此时数0 对应的点与数
对应的点重合；
故答案为：0
（3）由（2）可知，对称中心是数
对应的点，
数轴上A、B 两点之间的距离为11（点B 在A 点的右侧），
设点A 对应的数为x，点B 对应的数为
，
，
解得：
，
则
，
所以，点A 对应的数为
，点B 对应的数为
，
故答案为：
，
；
（4）①根据题意，
,
点P 对应的数为
，
，
解得：
，
答：t 为2 时，P、A 两点之间的距离为15 个单位长度；
②动点P 从B 点向左出发，P、A 两点之间的距离为15 个单位长度时，
此时，点P 在点A 的左侧，
点P 对应的数为
，
，
解得：
，
答：
时，P、A 两点之间的距离为15 个单位长度．
