文档文本内容
第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 方程与一元一次方程的概念
题型2 等式的性质
题型3 解一元一次方程
核心提升：重难题型归纳
题型1 配套问题
题型2 工程问题
题型3 利润与打折问题
题型4 球赛积分问题
题型5 方案选择与最优化问题
题型6 其他关于一元一次方程的实际问题
题型专练：高频重难特训
◆题型1 方程与一元一次方程的概念
1．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)．
①5
3
7
x -
=
；②5
3
8
+
=
；③12
6
x
x
-
=
；④
3
a + ；⑤2
3
0
x
y
z
+
-
=
；⑥
3
5
x
y
+
=
；⑦
0
y =
；
⑧
3
6
x +
>
；⑨
1
y ¹ ；⑩π
3.14
»
．
【答案】
①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦
【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含
有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类．
【详解】解：①5
3
7
x -
=
含有等号和未知数x，是等式也是方程；
②5
3
8
+
=
含有等号但没有未知数，是等式但不是方程；
③12
6
x
x
-
=
含有等号和未知数x，是等式也是方程；
④
3
a + 不含等号，既不是等式也不是方程；
⑤2
3
0
x
y
z
+
-
=
含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程；
⑥
3
5
x
y
+
=
含有等号和未知数x、y，是等式也是方程；
⑦
0
y =
含有等号和未知数y，是等式也是方程；
⑧
3
6
x +
>
含有不等号，是不等式；
⑨
1
y ¹ 含有不等号，是不等式；
⑩π
3.14
»
含有约等号，不是等式．
等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦．
故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦．
2．x 与6 的差的2 倍等于x 的3 倍，用方程表示数量关系为______．
【答案】
2
6
3
x
x
-
=
【分析】根据x 与6 的差的2 倍，即为
2
6
x -
，x 的3 倍，即为3x ，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：依题意得，
2
6
3
x
x
-
=
．
3．
3
x=-
___________（填“是”或“不是”）方程4
9
2
7
x
x
-
=
-
的解.
【答案】不是
【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别
3
x=-
代入方程的左右两边计算，
即可判断答案．
【详解】解：当
3
x=-
时，
左边
4
3
9
12
9
21
=
´ -
-
= -
-
= -
，
右边
2
3
7
6
7
13
=
´ -
-
= - -
= -
，
\左边¹ 右边，
3
x
\ =- 不是方程4
9
2
7
x
x
-
=
-
的解．
故答案为：不是．
4．已知
1
x = - 是关于x 的方程3
2
x
m
x
n
+
=
-
的解，则式子
2
2020
m
n
+
+
的值为______．
【答案】2022
【分析】把方程的解
1
x = - 代入原方程，经过变形得到
2
m
n
+
的整数值，再整体代入代数式求值．
【详解】解：将
1
x = - 代入方程3
2
x
m
x
n
+
=
-
：
3
1
1 2
m
n
´ -
+
= - -
，
3
1 2
m
n
- +
= - -
，
移项：
2
1 3
2
m
n
+
= - +
=
，
2
2020
2
2020
2022
m
n
\
+
+
=
+
=
．
5．已知
3
x =
是关于x 的方程2
3
9
x
m
+
=
的解，则m 的值是_____．
【答案】．1
【详解】解：把
3
x =
代入2
3
9
x
m
+
=
得：2 3
3
9
m
´ +
=
，
解得：
1
m = ．
6．已知关于x 的方程
1
3
2
0
m
x
- +
=
是一元一次方程，则m 的值为_______．
【答案】2
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为1，据此列出关于m 的方程即可求解.
【详解】解：Q
1
3
2
0
m
x
- +
=
是关于x 的一元一次方程，
\未知数x 的次数为1，即
1
1
m - = ，
解得
2
m =
.
7．若2
2
0
x
y
+
+
=
，则代数式
1
3
2
x
y
+
+ 的值为_________．
【答案】2
【分析】本题先对已知等式变形，得到
1
2
x
y
+
的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值．
【详解】解：2
2
0
x
y
+
+
=
可得：2
2
x
y
+
= -
等式两边同乘1
2 得：
1
1
2
x
y
+
= -
将
1
1
2
x
y
+
= - 代入
1
3
2
x
y
+
+ 得：
原式
1 3
2
= - +
=
．
8．把方程2
5
3
x
y
-
= 变形为用含有y 的式子表示x ，得x =_____________．
【答案】5
3
2
y +
【详解】解：2
5
3
x
y
-
=
2
5
3
x
y
=
+
∴
5
3
2
y
x
+
=
9．关于x 的一元一次方程
1
2
1
0
a
x
a
+
-
+ =
的解为1，则a 的值等于（ ）
A．2
-
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【分析】将已知解
1
x = 代入原方程，得到关于a 的一元一次方程，求解即可得到a 的值．
【详解】解：关于x 的一元一次方程
1
2
1
0
a
x
a
+
-
+ =
的解为1，
∴
1 2
1
0
a
a
+ -
+ =
解得
2
a =
．
10．已知关于x 的方程
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
的解和3
6
2
1
x
m
-
=
+ 的解相同，则m 的值为（ ）
A．
1
2
B．2
C．2
-
D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做
同解方程．求出方程
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
的解，代入3
6
2
1
x
m
-
=
+ 即可求出m 的值．
【详解】解：解方程
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
得
8
3
x =
，
∵方程3
6
2
1
x
m
-
=
+ 与
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
的解相同，
∴将
8
3
x =
代入3
6
2
1
x
m
-
=
+ ，得：8
6
2
1
m
-
=
+ ，
解得：
1
2
m =
，
故选：A．
◆题型2 等式的性质
11．运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．如果a
b
=
，那么a
c
b
c
+
=
-
B．如果
2
a =
，那么
2
2
2
a
a
=
C．如果a
b
=
，那么a
b
c
c
=
D．如果a
b
c
c
=
，那么a
b
=
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可．
【详解】解：A．∵a
b
=
，
∴a
c
b
c
+
=
+ ，故该选项错误；
B．如果
2
a =
，等式两边同乘a，则
2
2
2
2
a
a
a
=
¹
，故该选项错误；
C．如果a
b
=
，且
0
c ¹
时，则a
b
c
c
=
，故该选项错误；
D．∵a
b
c
c
=
，
∴
0
c ¹
，
∴a
b
=
，故该选项正确．
12．下列解方程过程中，变形正确的是（ ）
A．由2
1
3
x - =
得2
3 1
x =
-
B．由
1
3
x + =
得
2
3
x +
=
C．由75
76
x
-
=
得
76
75
x = -
D．由
1
3
2
x
x
-
= 得2
3
1
x
x
-
=
【答案】C
【详解】解：A． 由2
1
3
x - =
，移项得2
3 1
x =
+ ，故A 错误．
B． 由
1
3
x + =
，两边同时加1 得
2
4
x +
=
，故B 错误．
C． 由75
76
x
-
=
，系数化为1 得
76
75
x = -
，故C 正确．
D． 由
1
3
2
x
x
-
= ，两边同时乘6 去分母得
-
=
2
3
6
x
x
，故D 错误．
◆题型3 解一元一次方程
13．解方程
(1)8
2
7
x
x
=
-
；
(2)
6 2
5
20
4 1 2
x
x
-
+
=
-
．
【答案】(1)
7
6
x = -
(2)
7
10
x =
【详解】（1）解：移项合并得6
7
x = - ，
解得
7
6
x = -
；
（2）解：去括号得12
30
20
4
8
x
x
-
+
=
-
，
移项合并得20
14
x =
，
解得
7
10
x =
．
14．解下列方程．
(1)
3
2
2
1
1
x
x
-
=
+
- ；
(2)
3
1
3
1
4
2
x
x
-
+
-
=
．
【答案】(1)
7
x =
(2)
1
5
x = -
【详解】（1）解：去括号，得3
6
2
2 1
x
x
-
=
+
-
移项，得3
2
2 1 6
x
x
-
=
- +
合并同类项，得
7
x =
（2）解：去分母，得
4
3
1
2 3
x
x
-
-
=
+
去括号，得4
3
1
6
2
x
x
-
+ =
+
移项，得3
2
6
4 1
x
x
-
-
=
-
-
合并同类项，得5
1
x
-
=
系数化为1，得
1
5
x = -
15．解下列一元一次方程：
(1)
3
7
5
4
15
x
x
-
+
-
=
(2)
1
2
2
2
5
y
y
-
+
=
-
【答案】(1)
7
x =
(2)
3
y =
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1 求解即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 求解即可．
【详解】（1）解：3
21 5
20
15
x
x
-
+
-
=
，
3
5
21
20 15
x
x
+
=
+
+
，
8
56
x =
，
7
x =
（2）解：
5
1
2 10
2
2
y
y
-
=
´
-
+
，
5
5
20
2
4
y
y
-
=
-
-
，
5
2
20
4
5
y
y
+
=
-
+
，
7
21
y =
，
3
y =
．
◆题型1 配套问题
1．某非遗国风礼盒套装，由1 个漆器首饰盒和8 枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120 名工人，每个
工人一天能制作50 个漆器首饰盒或200 枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的
漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？
【答案】安排40 名工人生产漆器首饰盒，80 名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好
配套
【分析】设安排x 名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有
120
x
-
名，利用非遗国风礼
盒套装，由1 个漆器首饰盒和8 枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可.
【详解】解：设安排x 名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有
120
x
-
名．
根据题意，列方程得
8 50
200 120
x
x
´
=
-
．
解得
40
=
x
．
∴生产传统纹样银饰的工人数量：120
40
80
-
=
（名）．
答：安排40 名工人生产漆器首饰盒，80 名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套.
◆题型2 工程问题
2．一项工程，甲队单独完成需20 天，乙队单独完成需25 天．
(1)若甲队单独做2 天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成；
(2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000 元，乙队每天的施工费用为4000 元，求完成此项工程需
付给甲、乙两队共多少元？
【答案】(1)甲乙再合作10 天才能把该工程完成
(2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000 元
【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设甲乙再合作x 天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量+ 乙队完成的工作量= 总工作量（单
位1），即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总施工费用= 甲队每天的施工费用´甲队工作的时间+ 乙队每天的施工费用´乙队工作的时间，
即可求出结论．
【详解】（1）解：设甲乙再合作x 天才能把该工程完成，
依题意，得：
2
1
20
25
x
x
+
+
= ，
解得：
10
x =
．
答：甲乙再合作10 天才能把该工程完成．
（2）解：
5000
10
2
4000 10
100000
´
+
+
´
=
（元）．
答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000 元．
◆题型3 利润与打折问题
3．某商场新进一批同型号的电脑，按进价提高40％标价，此商场为了促销，又对该电脑打8 折销售，每台
电脑仍可盈利420 元，那么该型号电脑每台进价为多少元．
【答案】该型号电脑每台进价为3500 元
【分析】设该型号电脑每台进价为x 元，根据等量关系式：售价- 进价= 利润，列出方程，解之即可．
【详解】解：设该型号电脑每台进价为x 元，依题意，得
0.8 1
40
420
x
x
-
+
=
％
，
解得：
3500
x =
．
答：该型号电脑每台进价为3500 元．
◆题型4 球赛积分问题
4．某校8 个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1 场比赛），胜1 场得3 分，平1
场得1 分，负1 场得0 分．某班共得15 分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？
【答案】该班共胜4 场比赛
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为7 是解题的关键．
8 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7 个班级比赛，根据总比赛场数为7 ，设赢了x 场，总分
数为15即可列出方程，即可解题．
【详解】解：8 个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余7 个班比赛，
所以设胜了x 场，则平了(7
)
x
-
场．
由题意，得3
7
15
x
x
+
-
=
，
解得
4
x =
．
答：该班共胜4 场比赛．
◆题型5 方案选择与最优化问题
5．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍
每副定价120 元，乒乓球每盒定价15 元．店家给出了两种销售方案：
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球．
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90％付款．
该校计划购买乒乓球拍20 副，乒乓球x 盒（
20
x >
，且x 为整数）．
(1)当
30
x =
时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元．
(2)当x 为何值时，两种方案购买所需费用一样？
【答案】(1)2550；2565
(2)当
40
=
x
时，两种方案购买所需费用一样
【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可；
（2）由题意易得13.5
2160
15
2100
x
x
+
=
+
，进而求解即可．
【详解】（1）解：方案一：需付款
20 120 15
30
20
2400 150
2550
´
+
´
-
=
+
=
元；
方案二：需付款
120 20 15 30
90
2565
´
+
´
´
=
％
元；
（2）解：方案一需付款：
120 20
20
15
15
2100
x
x
´
+
-
´
=
+
元．
方案二需付款：
120 20 15
90
13.5
2160
x
x
´
+
´
=
+
％
元．
根据题意可列方程13.5
2160
15
2100
x
x
+
=
+
，
解得
40
=
x
．
答：当
40
=
x
时，两种方案购买所需费用一样．
◆题型6 其他关于一元一次方程的实际问题
6．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电量
不超过200 度
超过200 度（超出部分的收费）
收费标准
每度0.5元
每度0.8元
(1)小林家4 月份用电160 度，则小林家4 月份应付的电费为多少元？
(2)小林家6 月份用电
200
x x >
度，请你用x 表示小林家6 月份应付的电费；
(3)小林家11 月份交付电费156 元，请利用方程的知识，求出小林家11 月份的用电量．
【答案】(1)80元
(2)0.8
60
x -
(3)270 度
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，当
200
x >
时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答．
（3）先整理得200 0.5
100
156
´
=
<
，设11 月份用电量为x 度，且
200
x >
，依题意，得0.8
60
156
x -
=
，
再进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，160 0.5
80
´
=
（元），
∴小林家4 月份应付的电费为80元；
（2）解：当
200
x >
时，则电费为
200 0.5
0.8
200
0.8
60
x
x
´
+
-
=
-
（元）；
（3）解：依题意，200 0.5
100
156
´
=
<
，
设11 月份用电量为x 度，且
200
x >
；
由（2）得当
200
x >
时，则电费为
0.8
60
x -
元，
依题意，得0.8
60
156
x -
=
，
解得
270
x =
．
7．我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7 个人，
那么就有5 个人没有房住；如果每一间客房住9 个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少
人？
【答案】这批住店的客人共54人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设间房有x 间，根据每一间客房住7 个人，那么就有5 个人
没有房住；每一间客房住9 个人，就会多出来一间房，列方程求解即可．
【详解】解：设间房有x 间，根据题意得
7
5
9
1
x
x
+
=
-
，
解得
7
x =
，
则7
5
54
x +
=
（人）．
答：这批住店的客人共54人．
8．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递
员派送12 件，则还剩5 件；若每个快递员派送14 件，则还差7 件．该快递分派站共有多少名快递员？（提
示：此题只能用一元一次方程解决，其他方法不给分．）
【答案】该快递分派站共有6 名快递员
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
设该分派站有x 个快递员，根据“若每个快递员派送12 件，则还剩5 件；若每个快递员派送14 件，则还
差7 件”，得出关于x 的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设该分派站有x 名快递员，
由题意得：12
5
14
7
x
x
+
=
- ，
解得：
6
x =
．
答：该快递分派站共有6 名快递员．
9．在水流速度3 千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要2.7 小时，当它从乙港口
返回甲港口则需要4.5 小时．
(1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？
(2)求甲乙两港口之间的路程？
【答案】(1)12千米/小时
(2)40.5 千米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）设船在静水中的速度为v 千米/ 小时，水流速度已知为3千米/ 小时，根据顺流和逆流的路程相等列
出方程，求解v ，
（2）根据（1）的结论，列出算式，计算即可求解．
【详解】（1）解：设船在静水中的速度为v 千米/小时，水流速度
3
u =
千米/小时，根据题意得，
(
3) 2.7
(
3) 4.5
v
v
+
´
=
-
´
．
解得
12
v =
．
答：这艘船在平静湖水中的平均速度是12 千米/小时．
（2）解：甲乙两港口之间的路程为(12
3) 2.7
15 2.7
40.5
+
´
=
´
=
．
答：甲乙两港口之间的路程是40.5 千米．
一、选择题
1．解为
3
x
-
=
的方程是（ ）
A．2
6
0
x -
=
B．5
3
12
x +
=
C．3(
2)
2(
3)
5
x
x
x
-
-
-
=
D．
1
3
2
5
4
6
2
x
x
-
-
=
-
【答案】．D
【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将
3
x
-
=
代入各选项验证左右两
边是否相等即可得到结果．
【详解】解：将
3
x
-
=
依次代入各选项：
代入选项A，左边
2
3
6
12
0
=
´ -
-
= -
¹
= 右边，∴A 不符合题意；
代入选项B，左边
5
3
3
12
= ´ -
+
= -
¹ 右边，∴B 不符合题意；
代入选项C，左边
3
3
2
2
3
3
3
=
- -
-
- -
= - ，右边
5
3
15
= ´ -
= -
，3
15
- ¹ -
，∴C 不符合题意；
代入选项D，左边
3 1
1
4
- -
=
= - ，右边
3
2
3
5
1
6
2
- ´ -
=
-
= - ，左边= 右边，∴D 符合题意．
2．下列各式中，属于一元一次方程的共有（ ）
①2
1
x + ；②3
7
x =
；③
2
x
y
+
=
；④
2
2
0
x
x
-
=
．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】A
【分析】只含一个未知数，且未知数的最高次数为1 的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可．
【详解】解：①2
1
x + 不是等式，故不是一元一次方程；
②3
7
x =
是一元一次方程；
③
2
x
y
+
=
含有x 和y 两个未知数，不是一元一次方程；
④
2
2
0
x
x
-
=
中未知数的最高次数为2 ，不是一元一次方程．
综上所述，只有②是一元一次方程，共1 个．
3．下列等式变形中，正确的是（ ）
A．由3
1
5
a
a
+ =
，得3
5
1
a
a
-
=
B．由
3
3
a
b
+
=
+ ，得a
b
=
C．由3
7
12
6
x
x
+
=
-
，得3
12
7
6
x
x
-
=
-
D．由
1
12
4 a
-
=
，得
3
a = -
【答案】B
【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案．
【详解】解：选项A 、∵3
1
5
a
a
+ =
，移项得3
5
1
a
a
-
= - ，原变形错误，不符合题意；
选项B、∵
3
3
a
b
+
=
+ ，等式两边同时减3，得a
b
=
，原变形正确，符合题意；
选项C、∵3
7
12
6
x
x
+
=
-
，移项得3
12
6
7
x
x
-
= - -
，原变形错误，不符合题意；
选项D、∵
1
12
4 a
-
=
，等式两边同时乘4
- ，得
48
a = -
，原变形错误，不符合题意；
4．解方程
1
3
1
1
2
3
x
x
-
+
-
= 时，去分母后正确的是（ ）
A．
3
1
2 3
1
1
x
x
-
-
+
=
B．
2
1
3 3
1
6
x
x
-
-
+
=
C．
2
1
3 3
1
1
x
x
-
-
+
=
D．
3
1
2 3
1
6
x
x
-
-
+
=
【答案】D
【分析】根据解一元一次方程的去分母步骤，去分母时需将方程两边同乘所有分母的最小公倍数，常数
项也需要乘，本题分母为2 和3，计算后即可得到结果．
【详解】解：∵方程
1
3
1
1
2
3
x
x
-
+
-
= 的分母是2 和3，最小公倍数为6 ，
∴方程两边同时乘以6 去分母，得：
3
1
2 3
1
6
x
x
-
-
+
=
．
5．代数式4
3
x - 与2
9
x -
的值互为相反数，则x 的值为（ ）
A．3
-
B．2
C．3
D．6
【答案】B
【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为0 ，据此列出一元一次方程，求解方程即可
得到x 的值.
【详解】解：Q 代数式4
3
x - 与2
9
x - 的值互为相反数，
4
3
2
9
0
x
x
\
-
+
-
=
，
去括号得 4
3
2
9
0
x
x
- +
-
=
，
合并同类项得 6
12
0
x -
=
，
移项得 6
12
x =
，
系数化为1得
2
x =
.
6．已知
2
7
3
3
5
m
m
x
-
-
-
= 是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ）
A．3
B．4
C．3
-
D．3或4
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且一次项系数不为0 ，列出条件求解即可得到m 的
值．
【详解】解：∵
2
7
3
3
5
m
m
x
-
-
-
= 是关于x 的一元一次方程，
∴2
7
1
m-
= 且
3
0
m -
¹
，
解得
4
m =
，
∴m 的值为4．
7．在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤9文，锡的单价是每斤7 文，购买相同斤数
的铜和锡共花费10贯（1贯
1000
=
文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是x ，下列方
程正确的是（ ）
A．9
7
10 1000
x
x
+
=
´
B．9
7
10 1000
x
x
-
=
´
C．9
7
10
x
x
+
=
D．9
7
10
x
x
-
=
【答案】A
【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可．
【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为x ，
Q铜的单价为每斤9文，锡的单价为每斤7 文，
\购买铜的花费为9x文，购买锡的花费为7x 文，
Q 1贯
1000
=
文，总花费为10贯，则总花费为10 1000
´
文，
\根据“总花费= 购买铜的花费+ 购买锡的花费”可列方程：9
7
10 1000
x
x
+
=
´
．
二、填空题
8．关于x 的方程
1
0
ax
b
+
+ =
的一个解是
1
x = ，则2026
a
b
-
-
=____________．
【答案】2027
【详解】解：∵关于x 的方程
1
0
ax
b
+
+ =
的一个解是
1
x = ，
∴
1
0
a
b
+
+ =
，
∴
1
a
b
+
= - ，
∴ 2026
2026
(
)
2026
( 1)
2027
a
b
a
b
-
-
=
-
+
=
- -
=
．
9．已知方程5
3
x
y
-
=
，用含x 的代数式表示y，则y = _________．
【答案】5
3
x -
【详解】解：∵5
3
x
y
-
=
，
移项，得
3
5
y
x
-
=
-
，
等式两边同乘1
- ，得
5
3
y
x
=
- ．
10．填空，使所得结果仍是等式：
（1）如果
2
5
x -
=
，那么
5
x =
+ _________；
（2）如果3
10
2
x
x
=
-
，那么3x + _________
10
=
；
（3）如果2
7
x =
，那么x =_________；
（4）如果
1
3
2
x - = ，那么
1
x - = _________．
【答案】
2
2x
7
2
6
【分析】根据等式的性质1和等式的性质2 对各等式逐一变形即可求解．
【详解】解：（1）已知
2
5
x -
=
，根据等式的性质1，等式两边同时加上2 ，得
5
2
x =
+
；
（2）已知3
10
2
x
x
=
-
，根据等式的性质1，等式两边同时加上2x ，得3
2
10
x
x
+
=
；
（3）已知2
7
x =
，根据等式的性质2 ，等式两边同时除以2 ，得
7
2
x =
；
（4）已知
1
3
2
x - = ，根据等式的性质2 ，等式两边同时乘以2 ，得
1
6
x - =
．
11.已知方程3
1
2
1
x
x
- =
+ 和方程2
3
2
x
a
a
+
=
+
有相同的解，那么a 的值是______．
【答案】1
【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于a 的方程，从而可以求出a 的值．
【详解】解：解方程3
1
2
1
x
x
- =
+ 得：
2
x =
，
解方程2
3
2
x
a
a
+
=
+
得：
1
x
a
=
+ ，
∵方程3
1
2
1
x
x
- =
+ 和方程2
3
2
x
a
a
+
=
+
有相同的解，
∴
1
2
a + =
，
解得：
1
a = ．
12.已知某商品的成本为100元，若以标价的七五折出售，仍可获利20% ，则该商品的标价为________元．
【答案】160
【分析】设该商品的标价为x 元，根据利润= 售价- 成本，结合获利20% ，可得出关于x 的一元一次方程，
解之即可得出结论．
【详解】解：设该商品的标价为x 元，
根据题意可列方程：0.75
100
100 20%
x -
=
´
，
整理得：0.75
120
x =
，解得：
160
x =
．
13.某班共有50 名学生，其中男生人数比女生人数的2 倍少10 人． 若设女生人数为x，则可列方程为
______．
【答案】2
10
50
x
x
-
+
=
【分析】设女生人数为x ，根据题意表示出男生人数，再利用总人数为50 的等量关系列方程即可．
【详解】解：设女生人数为x ，
∵男生人数比女生人数的2 倍少10，班级总共有学生50 人，
∴男生人数可表示为2
10
x -
，
∵总人数等于男生人数加女生人数，
∴可列方程为
2
10
50
x
x
+
-
=
．
14.顺丰快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送150 件，还剩60 件，若每名快递员派
送170 件，还差20 件，那么该分派站现有包裹__________件．
【答案】660
【分析】根据包裹总数不变，结合两种不同派送情况的描述找到等量关系，列出方程组求解即可得到包
裹总数．
【详解】解：设该分派站有x 名快递员，现有包裹件数分别可以表示为
150
60
x +
件和
170
20
x -
件，
根据题意得：
150
60
170
20
x
x
+
=
-
，
解得，
4
x =
，
所以，现有包裹件数分别可以表示为150
60
150 4
60
660
x +
=
´ +
=
件．
15．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8 钱，则多3 钱；若
每人出7 钱，则还差4 钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人．
【答案】7
【分析】设共有x 人，根据“若每人出8 钱，则多3 钱”得到物价为
8
3
x -
钱，根据“每人出7 钱，则还
差4 钱”得到物价为
7
4
x +
钱，根据物价相同即可列出方程并求解．
【详解】解：设共有x 人，根据题意，得
8
3
7
4
x
x
-
=
+
，
解得
7
x =
．
三、解答题
16．解方程：
(1)5
5
2
17
x
x
+
=
+
；
(2)
2 3
4
5
x
x
-
= -
+
；
(3)
1
3
8
1
3
15
x
x
-
+
-
=
．
【答案】(1)
4
x =
(2)
13
x = -
(3)
3
2
x =
【详解】（1）解：5
5
2
17
x
x
+
=
+
移项，得
5
2
17
5
x
x
-
=
- ；
合并同类项，得
3
12
x =
；
系数化为1，得
4
x =
．
（2）解：
2 3
4
5
x
x
-
= -
+
去括号得
6
2
4
20
x
x
-
= -
-
；
移项得
2
4
20
6
x
x
-
+
= -
-
；
合并同类项得
2
26
x = -
；
系数化为1，得
13
x = -
．
（3）解：
1
3
8
1
3
15
x
x
-
+
-
=
去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得
15
5(
1)
3
8
x
x
-
-
=
+
；
去括号得
15
5
5
3
8
x
x
-
+
=
+ ；
移项得
5
3
8 15
5
x
x
-
-
=
-
-
；
合并同类项得
8
12
x
-
= -
；
系数化为1，得
3
2
x =
．
17．某车间有82 个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12 个或乙种零件25 个．已知
3 个甲种零件和4 个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生
产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？
【答案】分配50 人生产甲种零件，32 人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好
配成200 套
【分析】设生产甲零件人数为x ，乙零件人数为82
x
-
，利用配套关系：甲零件总数3
¸ =乙零件总数4
¸
列出方程，解出人数后再计算配套套数．
【详解】解：设分配x 人生产甲种零件，则
82
x
-
人生产乙种零件．
依题意得：
25 82
12
3
4
x
x
-
=
，
解得
50
x =
，
82
32
x
-
=
，
小学
初中
50 12
200
3
´
=
（套），
答：分配50 人生产甲种零件，32 人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成
200 套．
18．用方程（组）解决下列问题：
某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分．某班参加了11 场比
赛，并始终保持不败的记录，共得25 分，求该班胜了多少场比赛？
【答案】该班胜了7 场比赛
【分析】设该班胜了x 场比赛，根据积分规则列方程求解即可．
【详解】解：设该班胜了x 场比赛，则平(11
)
x
-
场，依题意得：
3
(11
)
25
x
x
+
-
=
解得：
7
x =
答：该班胜了7 场比赛．
19．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图
中的信息，解答问题．
(1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
【答案】(1)一共去了成人8 人，学生12 人；
(2)购买15 张团体票，5 张学生票更省钱，此时的购票费用为575 元
【分析】（1）设一共去了x 位成人，则去了
20
x
-
位学生，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700 元进行比较，据此解答即可．
【详解】（1）解：设一共去了x 位成人，则去了
20
x
-
位学生，
根据题意得，
50
50 50%
20
700
x
x
+
´
´
-
=
解得
8
x =
，
则学生人数为20
20
8
12
x
-
=
-
=
（人），
答：一共去了成人8 人，学生12 人；
（2）解：若购买20 张团体票，则共需付款20 50 60%
600
´
´
=
（元），
若购买15 张团体票，5 张学生票，则共需付款15 50 60%
5 50 50%
575
´
´
+ ´
´
=
（元），
∵575
600
700
<
<
，
∴购买15 张团体票，5 张学生票更省钱．
20．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20 吨，每吨水收费
3 元，如果每户每月用水超过20 吨，则超过部分每吨水收费4 元．
(1)如果小红家每月用水18 吨，水费是多少？如果每月用水25 吨，水费是多少？
(2)如果用字母
20
x x >
表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？
(3)如果某月小红家缴水费100 元，那么该月小红家用了多少吨水？
【答案】(1)用水18 吨，水费是54 元；用水25 吨，水费是80 元
(2)水费用代数式表示为
4
20
x-
元
(3)该月小红家用了30 吨水
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据不超过20 吨，每吨水收费3 元，如果每户每月用水超过20 吨，则超过部分每吨水
收费4 元，进行列式计算，即可作答．
（2）结合收费情况以及用字母
20
x x >
表示小红家每月用水的吨数，进行分析列式化简，即可作答．
（3）先得出20 3
60
100
´ =
<
，故设该月小红家用了x 吨水（
20
x >
），得
20
4
20 3
100
x -
´ +
´ =
，解得
30
x =
，
即可作答．
【详解】（1）解：依题意，18 3
54
´ =
（元），
25
20
4
20 3
20
60
80
-
´ +
´ =
+
=
（元），
即用水18 吨，水费是54 元；用水25 吨，水费是80 元；
（2）解：依题意，
20
4
20 3
4
80
60
4
20
x
x
x
-
´ +
´ =
-
+
=
-
，
∴水费用代数式表示为
4
20
x -
元，
（3）解：依题意，20 3
60
100
´ =
<
，
∴设该月小红家用了x 吨水（
20
x >
）
∴
20
4
20 3
100
x -
´ +
´ =
，
解得
30
x =
，
即该月小红家用了30 吨水．
21．一些人共同种一批树苗，如果每人种10 棵，那么剩下8 棵树苗未种；如果每人种12 棵，那么缺10 棵
树苗．求参加种树共有多少人？
【答案】参加种树共有9 人
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．
设参加种树的共有x 人，根据题意得，每人种10 棵时，树苗总数为10
8
x +
；每人种12 棵时，树苗总数
为12
10
x -
，进而列出方程求解即可．
【详解】解：设参加种树的共有x 人．
根据题意得，每人种10 棵时，树苗总数为10
8
x +
；每人种12 棵时，树苗总数为12
10
x -
．
∴10
8
12
10
x
x
+
=
-
12
10
8 10
x
x
-
=
+
2
18
x =
解得
9
x =
，
∴参加种树共有9 人．
