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数学学科诊断练习 12 月 5 日
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】A、含有两个未知数 和 ，不是一元一次方程，该选项不符合题意；
B、是一元一次方程，该选项符合题意；
C、不含有等号，不是一元一次方程，该选项不符合题意；
D、 的次数为 ，不是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的识别，牢记一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），未知
数的次数都是 ，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程）是解题的关键．
2. 在下列方程的变形中，正确的是（ ）
A. 由 ，得 B. 由 ，得
C. 由 ，得 D. 由 ，得
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】根据等式基本性质进行分析即可.
【详解】
A. 由 ，得 ,移项要变号，本选项错误；
B. 由 ，得 ，本选项正确；
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C. 由 ，得 ，本选项错误；
D. 由 ，得 ,本选项错误.
故选B
【点睛】本题考核知识点：方程的变形.解题关键点：熟记等式基本性质.
3. 若 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把方程的解代入方程，解得到的关于a的方程即可．
【详解】解：把 代入 得，
，
解得 ，
故选：C
【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程解的定义和一元一次方程的解法是解题的关键．
4. 若 ，则 的补角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据互为补角的两个角的和为 进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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即 的补角为 ，
故选：D
【点睛】此题考查了补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
的
5. 从三个不同方向看一个几何体，得到 平面图形如图所示，则这个几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 球
【答案】A
【解析】
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
【详解】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱．
故选A．
【点睛】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，
由另一个视图确定其具体形状．
6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种6棵，则缺4棵树苗．若
设参与种树的人数为 人，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由参与种树的人数为x人，分别用“如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种6棵，
则缺4棵树苗”表示出树苗总棵树列方程即可．
【详解】解：设参与种树的人数为 人，
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故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以棵数相等作为等量关系列方程是解题的关键．
7. 如图，将直角三角尺 与 的直角顶点 叠放在一起，若 ，则 的度数为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为 是 和 的重叠部分，因此由
即可求出 的度数．
【详解】 ，
，
即 ，
即 ，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角的和差的计算．熟练掌握角的和差的计算，发现 是 和
的重叠部分是解题的关键．
8. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，且∠BOE＝140°，则∠BOC为（ ）
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A. 140° B. 100° C. 80° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平角的意义求出∠AOE，再根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE，由角的和差关系可得
答案．
【详解】解：∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣140°＝40°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝40°，
∴∠BOC＝∠BOE﹣∠COE
＝140°﹣40°
＝100°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角，掌握角平分线、邻补角的意义以及图形中角的和差关系是
正确解答的关键．
9. 已知线段AB=6cm，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为( )
A. 1cm B. 2cm C. 1.5cm D. 1cm或2cm
【答案】D
【解析】
【详解】本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(1) 点M为靠近点A的线段三等分点(如图①).
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因为点M是AB的三等分点，AB=6cm，所以 (cm).
因为点N是AM的中点，AM=2cm，所以MN=1(cm).
(2) 点M为靠近点B的线段三等分点(如图②).
因为点M是AB的三等分点，AB=6cm，所以 (cm).
因为点N是AM的中点，AM=4cm，所以MN=2(cm).
综上所述，线段MN的长度为1cm或2cm.
故本题应选D.
点睛：
本题的一个易错点在于忽略了线段的三等分点有两个，只针对其中一个三等分点进行求解而漏掉了另一个
点. 理解线段三等分点的意义以及与其相关的线段的长度关系是解决本题的关键. 另外，在解决问题时，
画出相应的线段示意图是分析各线段之间关系的重要手段.
10. 已知 是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁
从A点出发，沿着圆锥侧面经过 上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，
T〈M，N，S，T均在 上）四个点中，它最有可能经过的点是（ ）．
A. M B. N C. S D. T
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥画出侧面展开图，根据两点之间线段最短可得它最有可能经过的点是N．
【详解】解：如图所示：根据圆锥侧面展开图，此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T
均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是N，
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，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 把一根木条固定在墙上，至少要钉____根钉子，根据是__________
【答案】 ①. 2 ②. 两点确定一条直线
【解析】
【详解】考点：直线的性质：两点确定一条直线．
专题：常规题型．
分析：根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
解答：解：往墙上固定一根木条至少需要2个钉子，根据两点确定一条直线的数学原理．
故答案为2，两点确定一条直线．
点评：本题主要考查了两点确定一条直线的性质，熟记性质是解题的关键，是基础题，比较简单．
12. ∠AOB的大小可由量角器测得(如图所示),则∠AOB的补角的大小为____.
【答案】120°
【解析】
【分析】先根据图形得出∠AOB=60°，再根据和为180度的两个角互为补角即可求解．
【详解】解：由题意，可得∠AOB=60°，
则∠AOB的补角的大小为：180°-∠AOB=120°．
故答案为120．
【点睛】本题考查补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个
角是另一个角的补角．熟记定义是解题的关键．
13. 当 时，代数式 的值为 ，则 的值是________．
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【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得到关于 的一元一次方程 ，求解即可得到答案．
【详解】根据题意，得
．
解得
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程，根据已知的等量关系得到一元一次方程是解题的关键．
14. 如图，点C在线段 上，M是线段 的中点，若 ，则 的长是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查线段的中点、线段之间的计算等知识，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
先根据 ， 求出 ，再根据M是线段 的中点得到 的长即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵M是线段 的中点，
∴ ，
故答案为：
15. 如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=50°，则∠BOD的度数是__________．
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【答案】80
【解析】
【详解】试题解析：∵OE平分∠COB，
∴∠EOB=∠COE，
故答案为
16. 如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点 沿表面爬行到顶点 处，请你在图中画出最短路线，你依据的
数学道理是________．
【答案】两点之间线段最短．
【解析】
的
【分析】根据两点之间线段最短 性质，连接 ，即为所求．
【详解】根据两点之间线段最短的性质，如图所示，连接 ，即为所求．
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查线段的比较，牢记两点之间线段最短的性质是解题的关键．
17. 已知关于x的方程kx=7－x有正整数解，则整数k的值为_____．
【答案】0或6
【解析】
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【详解】试题分析：根据一元一次方程的解法可得：x= ，因为x为正整数，k为整数，则k=0或6．
考点：一元一次方程
18. 如图，这是一个数据转换器的示意图，三个滚珠可以在槽内左右滚动．输入x的值，当滚珠发生撞击，
就输出相撞滚珠上代数式所表示数的和y．已知当三个滚珠同时相撞时，不论输入x的值为多大，输出y的
值总不变．
（1）a=_____________；
（2）若输入一个整数x，某些滚珠相撞，输出y值恰好为-1，则x=________．
【答案】 ①. -2, ②. 2
【解析】
【分析】（1）由当三个滚珠同时相撞时，不论输入x的值为多大，输出y的值总不变，可知三个代数式和
的取值与x的取值无关，据此可求出a的值；
（2）分2x-1与3相撞和ax与3相撞两种情况求解即可.
【详解】（1）y=2x-1+3+ax=(2+a)x+2,
∵不论输入x的值为多大，输出y的值总不变，
2+a=0,
∴a=-2;
（2）由题意知，不可能三个球同时相撞，也不可能2x-1与ax相撞.
当2x-1与3相撞时，
由题意得，2x-1+3=-1,
∴x=- ,不合题意，舍去；
当ax与3相撞时，
由题意得，-2x+3=-1,
∴x=2.
故答案为-2；2.
【点睛】本题考查了本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是理解题目中与字母x的取值
无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0．
三、解答题（19、20题各10分，25、26题各6分，21-24题，每题5分）
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19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值、减法转化为加法，再进行有理数的混合运算即可；
（2）按照先乘方、再乘除、后减法的顺序计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键．
20. 解方程：（1） ； （2） ．
【答案】(1)x=-1;(2)x= .
【解析】
【分析】（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可
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【详解】解:(1) ，
，
，
；
(2)
解: ，
，
，
.
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
21. 一个角的余角是这个角的2倍，求这个角的度数？
【答案】30
【解析】
【分析】可设这个角的度数为x，则根据余角的定义可知其余角为 ，根据题中等量关系列出方程
求解即可.
【详解】解：设这个角的度数为x，则其余角为 ，
根据题意得 .
解得 .
所以这个角的度数为30 .
【点睛】本题主要考查了余角的定义及一元一次方程的应用，如果两个角和为90度，那么这两个角互为余
角，正确理解题意，找准题中等量关系是解题的关键.
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22. 如图，平面上四个点A，B，C，D．按要求完成下列问题：
（1）连接 ；
（2）画射线 与直线 相交于E点；
（3）用量角器度量得 的大小为_______（精确到度）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接 构造线段即可；
（2）作射线 ，作直线 ，交点为点E即可．
（3）用量角器测量出 的度数即可．
【小问1详解】
解：连接 ，如图所示，
【小问2详解】
画射线 与直线 相交于E点，如图所示，
【小问3详解】
用量角器度量得 ．
故答案为：
【点睛】此题考查了直线、射线、线段的作图，量角器的使用等知识，熟练掌握作图方法和量角器的使用
是解题的关键．
23. 甲种铅笔每支0.4元，乙种铅笔每支0.6元，某同学共购买了这两种铅笔共30支，并且买乙种铅笔所
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花的钱是买甲种铅笔所花的钱的3倍，求该同学购买这两种铅笔共花了多少钱？
【答案】16元
【解析】
【分析】根据题意结合买乙种铅笔所花的钱是买甲种铅笔所花的钱的3倍，进而得出等式求出即可．
【详解】解：设购买甲种铅笔 支．
由题意得： ，
解得： ， ；
∴ （元）
答：该同学购买这两种铅笔共花了16元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
24. 如图，射线 在 内， 分别平分 、 ，且 ，
，求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得 ， ，利用
即可得到 的度数．
【详解】解：∵ 分别平分 、 ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 的度数为 ．
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【点睛】此题考查了角平分线的相关计算、几何图形中的角度计算等知识，熟练掌握角平分线的定义是解
题的关键．
25. 点 ， ， 在同一条直线上，线段 ， ，若点 为线段 的中点，点 为线
段 的中点，求线段 的长．
【答案】 或
【解析】
【分析】需要分两种情况讨论：①点 位于线段 上；②点 位于线段 上．
【详解】①如图所示，点 位于线段 上．
∵线段 ， ，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
②如图所示，点 位于线段 上．
∵线段 ， ，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查线段的中点，能采用分类讨论的思想处理问题是解题的关键．
26. 如图，直线 相交于点 O，且 ， 平分 ，若 ，求
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的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据对顶角相等得到 ，由角平分线定义得到 ，
由平角的定义得到 ，再利用 即可得到
的度数．
【详解】解：∵ ， 与 是对顶角，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
的
即 度数为 ．
【点睛】此题考查了对顶角的性质、角平分线的定义、角之间的计算等知识，熟练掌握对顶角的性质、角
平分线的定义是解题的关键．
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四、选做题（10分）
27. 如图1， ， ，OM，ON分别是 ， 的角平分线．
（1）若 ， ，当 绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图
2），则 的大小为_______；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转 ，当 时（如图3），求 的
大小并说明理由．
（3）在 绕点O逆时针旋转过程中， ________．（用含 ， 的式子表示）
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【答案】（1）
（2） ，理由见解析．
（3）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可求得 ， ，结
合 ，即可求得答案．
（ 2 ） 根 据 角 平 分 线 的 定 义 可 求 得 ，
，结合 ，即可求得答案．
（3）需要分三种情况讨论：射线OB与OC重合；射线OB在OC下方；射线OB在OC上方．
【小问1详解】
∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
∴ ， ．
∴ ．
故答案为： ．
【小问2详解】
的
∵ ， 分别是 ， 角平分线，
∴ ，
．
∴ ．
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【小问3详解】
①如图所示，射线OB与OC重合．
∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
∴ ， ．
∴ ．
在
②如图所示，射线OB OC下方．
∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
∴ ，
．
∴ ．
③如图所示，射线OB在OC上方．
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∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
∴ ，
．
∴ ．
综上所述， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的定义，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
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