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第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 方程与一元一次方程的概念
题型2 等式的性质
题型3 解一元一次方程
核心提升：重难题型归纳
题型1 配套问题
题型2 工程问题
题型3 利润与打折问题
题型4 球赛积分问题
题型5 方案选择与最优化问题
题型6 其他关于一元一次方程的实际问题
题型专练：高频重难特训
◆题型1 方程与一元一次方程的概念
1．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)．
①5
3
7
x -
=
；②5
3
8
+
=
；③12
6
x
x
-
=
；④
3
a + ；⑤2
3
0
x
y
z
+
-
=
；⑥
3
5
x
y
+
=
；⑦
0
y =
；
⑧
3
6
x +
>
；⑨
1
y ¹ ；⑩π
3.14
»
．
2．x 与6 的差的2 倍等于x 的3 倍，用方程表示数量关系为______．
3．
3
x=-
___________（填“是”或“不是”）方程4
9
2
7
x
x
-
=
-
的解
4．已知
1
x = - 是关于x 的方程3
2
x
m
x
n
+
=
-
的解，则式子
2
2020
m
n
+
+
的值为______．
5．已知
3
x =
是关于x 的方程2
3
9
x
m
+
=
的解，则m 的值是_____．
6．已知关于x 的方程
1
3
2
0
m
x
- +
=
是一元一次方程，则m 的值为_______．
7．若2
2
0
x
y
+
+
=
，则代数式
1
3
2
x
y
+
+ 的值为_________．
8．把方程2
5
3
x
y
-
= 变形为用含有y 的式子表示x ，得x =_____________．
9．关于x 的一元一次方程
1
2
1
0
a
x
a
+
-
+ =
的解为1，则a 的值等于（ ）
A．2
-
B．2
C．1
D．0
10．已知关于x 的方程
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
的解和3
6
2
1
x
m
-
=
+ 的解相同，则m 的值为（ ）
A．
1
2
B．2
C．2
-
D．1
◆题型2 等式的性质
11．运用等式的性质变形正确的是（ ）
A．如果a
b
=
，那么a
c
b
c
+
=
-
B．如果
2
a =
，那么
2
2
2
a
a
=
C．如果a
b
=
，那么a
b
c
c
=
D．如果a
b
c
c
=
，那么a
b
=
12．下列解方程过程中，变形正确的是（ ）
A．由2
1
3
x - =
得2
3 1
x =
-
B．由
1
3
x + =
得
2
3
x +
=
C．由75
76
x
-
=
得
76
75
x = -
D．由
1
3
2
x
x
-
= 得2
3
1
x
x
-
=
◆题型3 解一元一次方程
13．解方程
(1)8
2
7
x
x
=
-
；
(2)
6 2
5
20
4 1 2
x
x
-
+
=
-
．
14．解下列方程．
(1)
3
2
2
1
1
x
x
-
=
+
- ；
(2)
3
1
3
1
4
2
x
x
-
+
-
=
．
15．解下列一元一次方程：
(1)
3
7
5
4
15
x
x
-
+
-
=
(2)
1
2
2
2
5
y
y
-
+
=
-
◆题型1 配套问题
1．某非遗国风礼盒套装，由1 个漆器首饰盒和8 枚传统纹样银饰组成．某非遗工坊现有120 名工人，每个
工人一天能制作50 个漆器首饰盒或200 枚传统纹样银饰．该工坊应如何安排工人生产，才能使每天生产的
漆器首饰盒和传统纹样银饰刚好配套？
◆题型2 工程问题
2．一项工程，甲队单独完成需20 天，乙队单独完成需25 天．
(1)若甲队单独做2 天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成；
(2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000 元，乙队每天的施工费用为4000 元，求完成此项工程需
付给甲、乙两队共多少元？
◆题型3 利润与打折问题
3．某商场新进一批同型号的电脑，按进价提高40％标价，此商场为了促销，又对该电脑打8 折销售，每台
电脑仍可盈利420 元，那么该型号电脑每台进价为多少元．
◆题型4 球赛积分问题
4．某校8 个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1 场比赛），胜1 场得3 分，平1
场得1 分，负1 场得0 分．某班共得15 分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？
◆题型5 方案选择与最优化问题
5．某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍
每副定价120 元，乒乓球每盒定价15 元．店家给出了两种销售方案：
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球．
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90％付款．
该校计划购买乒乓球拍20 副，乒乓球x 盒（
20
x >
，且x 为整数）．
(1)当
30
x =
时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元．
(2)当x 为何值时，两种方案购买所需费用一样？
◆题型6 其他关于一元一次方程的实际问题
6．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电量
不超过200 度
超过200 度（超出部分的收费）
收费标准
每度0.5元
每度0.8元
(1)小林家4 月份用电160 度，则小林家4 月份应付的电费为多少元？
(2)小林家6 月份用电
200
x x >
度，请你用x 表示小林家6 月份应付的电费；
(3)小林家11 月份交付电费156 元，请利用方程的知识，求出小林家11 月份的用电量．
7．我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7 个人，
那么就有5 个人没有房住；如果每一间客房住9 个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少
人？
8．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递
员派送12 件，则还剩5 件；若每个快递员派送14 件，则还差7 件．该快递分派站共有多少名快递员？（提
示：此题只能用一元一次方程解决，其他方法不给分．）
9．在水流速度3 千米/小时的条件下，一艘船从甲港口出发顺流而下到乙港口需要2.7 小时，当它从乙港口
返回甲港口则需要4.5 小时．
(1)当在平静的湖水中航行时，这艘船的平均速度是多少？
(2)求甲乙两港口之间的路程？
一、选择题
1．解为
3
x
-
=
的方程是（ ）
A．2
6
0
x -
=
B．5
3
12
x +
=
C．3(
2)
2(
3)
5
x
x
x
-
-
-
=
D．
1
3
2
5
4
6
2
x
x
-
-
=
-
2．下列各式中，属于一元一次方程的共有（ ）
①2
1
x + ；②3
7
x =
；③
2
x
y
+
=
；④
2
2
0
x
x
-
=
．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
3．下列等式变形中，正确的是（ ）
A．由3
1
5
a
a
+ =
，得3
5
1
a
a
-
=
B．由
3
3
a
b
+
=
+ ，得a
b
=
C．由3
7
12
6
x
x
+
=
-
，得3
12
7
6
x
x
-
=
-
D．由
1
12
4 a
-
=
，得
3
a = -
4．解方程
1
3
1
1
2
3
x
x
-
+
-
= 时，去分母后正确的是（ ）
A．
3
1
2 3
1
1
x
x
-
-
+
=
B．
2
1
3 3
1
6
x
x
-
-
+
=
C．
2
1
3 3
1
1
x
x
-
-
+
=
D．
3
1
2 3
1
6
x
x
-
-
+
=
5．代数式4
3
x - 与2
9
x -
的值互为相反数，则x 的值为（ ）
A．3
-
B．2
C．3
D．6
6．已知
2
7
3
3
5
m
m
x
-
-
-
= 是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ）
A．3
B．4
C．3
-
D．3或4
7．在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤9文，锡的单价是每斤7 文，购买相同斤数
的铜和锡共花费10贯（1贯
1000
=
文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是x ，下列方
程正确的是（ ）
A．9
7
10 1000
x
x
+
=
´
B．9
7
10 1000
x
x
-
=
´
C．9
7
10
x
x
+
=
D．9
7
10
x
x
-
=
二、填空题
8．关于x 的方程
1
0
ax
b
+
+ =
的一个解是
1
x = ，则2026
a
b
-
-
=____________．
9．已知方程5
3
x
y
-
=
，用含x 的代数式表示y，则y = _________．
10．填空，使所得结果仍是等式：
（1）如果
2
5
x -
=
，那么
5
x =
+ _________；
（2）如果3
10
2
x
x
=
-
，那么3x + _________
10
=
；
（3）如果2
7
x =
，那么x =_________；
（4）如果
1
3
2
x - = ，那么
1
x - = _________．
11．已知方程3
1
2
1
x
x
- =
+ 和方程2
3
2
x
a
a
+
=
+
有相同的解，那么a 的值是______．
12．已知某商品的成本为100元，若以标价的七五折出售，仍可获利20% ，则该商品的标价为________元．
13．某班共有50 名学生，其中男生人数比女生人数的2 倍少10 人． 若设女生人数为x，则可列方程为
______．
14．顺丰快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送150 件，还剩60 件，若每名快递员
派送170 件，还差20 件，那么该分派站现有包裹__________件．
15．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一道题：“今有共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文为：“今有若干人一起买物品，若每人出8 钱，则多3 钱；若
每人出7 钱，则还差4 钱，问共有多少人，物价多少钱？”．在此问题中，共有______人．
三、解答题
16．解方程：
(1)5
5
2
17
x
x
+
=
+
；
(2)
2 3
4
5
x
x
-
= -
+
；
(3)
1
3
8
1
3
15
x
x
-
+
-
=
．
17．某车间有82 个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12 个或乙种零件25 个．已知
3 个甲种零件和4 个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生
产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？
18．用方程（组）解决下列问题：
某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分．某班参加了11 场比
赛，并始终保持不败的记录，共得25 分，求该班胜了多少场比赛？
19．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图
中的信息，解答问题．
(1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．
20．为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定：如果每户每月用水不超过20 吨，每吨水收费
3 元，如果每户每月用水超过20 吨，则超过部分每吨水收费4 元．
(1)如果小红家每月用水18 吨，水费是多少？如果每月用水25 吨，水费是多少？
(2)如果用字母
20
x x >
表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该用怎样的代数式表示呢？
(3)如果某月小红家缴水费100 元，那么该月小红家用了多少吨水？
21．一些人共同种一批树苗，如果每人种10 棵，那么剩下8 棵树苗未种；如果每人种12 棵，那么缺10 棵
树苗．求参加种树共有多少人？
