文档文本内容
1
一元二次方程与几何问题 题集【B】
1.
【解析】
【标注】
列方程解应用题：
如图是一块长为
分米，宽为
分米的艺术墙矩形区域，初二某同学在设计时想分区域表达自己的
创意，于是在该区域内设计了一横二竖的等宽的彩条，要使彩条的面积是艺术墙矩形区域面积的
，请问彩条的宽应是多少分米？
【答案】彩条的宽应是分米．
设彩条的宽为分米，由题意得：
，
整理得：
，
解得
（不合题意，舍去）或
．
答：彩条的宽应是分米．
【知识点】一元二次方程的几何问题
2.
【解析】
如图，在宽为
，长为
的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草
坪．要使草坪的面积为
，求道路的宽．(部分参考数据：
，
，
)
【答案】米．
解法(1)：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为米，
根据题意得：
，
2
【标注】
整理得：
，
解得：
(舍去)，
，
答：道路宽为米．
解法(2)：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为米，
根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
，
(舍去)，
答：道路宽应是米．
【知识点】一元二次方程的几何问题
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
【解析】
要在一块长
，宽
的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小
颖的设计方案．
小亮设计的方案如图
甬道宽度均为
块绿地面积共
平方米
所示，
，剩余的四
小颖设计的方案如图
所示，
求小亮设计方案中甬路的宽度．
求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的
取值相同）
【答案】（1 ）
（2 ）
小亮设计方案中甬道的宽度为
．
小颖设计方案中四块绿地的总面积为
平方米．
根据小亮的设计方案列方程得：
，
解得：
或
（舍去）．
∴小亮设计方案中甬道的宽度为
．
3
（2 ）
【标注】
作
，
，垂足分别为、，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
由（）得
，
∴
．
在
中，
．
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为
平方
米．
【知识点】一元二次方程的几何问题
图
1
2
（1 ）
（2 ）
4. 某小区有一块长
，宽
的长方形土地将要进行绿化，分别种植蝴蝶兰和金盏菊．已知蝴蝶兰
和金盏菊的单位面积的费用之比为
．
如图，将长方形土地划分为三个小长方形，两端大小相同的两个小长方形都种植蝴蝶兰，中
间的小长方形种植金盏菊．
若
，则
，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的面积的比为 ，
种植蝴蝶兰与种植金盏菊的费用之比为 ．
怎样划分这块土地（
，
分别为多少
），使种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为
？
4
图
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
为了使种植图案更加美观，进行如下设计：如图，土地正中宽度相等的水平小长方形和竖直
小长方形（图中阴影部分
）种植金盏菊，四角四个相同的小长方形都种植蝴蝶
兰，其余条件不变，当种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为
时，四角的每个小长方形面积
为
．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
;
;
，
．
因为将长方形土地划分为三个小长方形，两端大小相同的两个小长方形都种植蝴
蝶兰，中间的小长方形种植金盏菊，
所以
，种植蝴蝶兰与种植金盏菊的面积的比为
．
种植蝴蝶兰与种植金盏菊的费用之比
．
故答案为：，
，
．
设
，则
，依题意，可列方程：
，
解得：
．
即
，
，使种植蝴蝶兰和金盏菊的费用之比为
．
设
为，可得：
，
解得：
，
（舍去），
故
，
可得：小长方形面积
．
故答案为：
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
5. 某校计划在一块长为
米，宽为
米的长方形空地上修建一个长方形花圃．
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
通道
花圃
米
米
米
米
米
米
如图，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，如果通道所占面积是整个长方形空地面
积的一半，求出此时通道的宽．
在（）中修建的长方形花圃中，要继续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域
没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（
）米．
．
设通道的宽是米，依题意有：
，
解得
（不合题意），
．
答：通道的宽是（
）米．
∵
，
∴圆形区域的半径为
，面积最大，
设两圆圆形距为，当两圆只有一个公共点时，
有最小值，为（
）米，
当两圆分别与花圃的宽相切时，有最大值，
米，
∴两个圆心距离的取值范围是
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
（1 ）
6. 在一块长
，宽为
的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面
分别是小华与小芳的设计方案．
小芳说，’我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽
度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．
6
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
小华说，’我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点
分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩
形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理
由．
图
图
【答案】（1 ）
（2 ）
能，宽度为米．
画图见解析．
设宽度为米，则
，
∴
，
解得
，
，
又∵
，
∴
，
答：路宽为米．
如图，作矩形的中点四边形，得菱形，则菱形面积
矩形面积，
图
如图，以矩形两宽的中点连线
为直径，作圆，
7
【标注】
图
交两长于
、
，则得矩形
，且
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
四边形
矩形
7. 教育部联合共青团中央、全国少工委印发《关于加强中小学劳动教育的意见》．为了更好的落实文
件精神，丰台区某校八年级学生到北京农机试验站学农教育基地进行了为期一周的学农活动．在基
地，学生们进行了翻地整地、菜苗移植、认识蔬菜、制作香皂等活动．在参观牛舍的过程中，同学
们发现工作人员为了保护小牛，给每头小牛盖了专门的牛舍．如下图所示，整个小牛舍区域是长
，宽
的矩形，其中每一个小牛舍是一面靠墙，其余三面用围栏围成的矩形．为了照顾小牛方
便，工作人员在每个小牛舍周围留着等宽的小路，如果每个小牛舍的面积是
，请求出小路的
宽．（设小路的宽为
）
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【解析】
【标注】
【答案】小路的宽为
．
根据题意，得
，
解这个方程，得
，
，
其中
不合题意，舍去
所以
．
答：小路的宽为
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，有一块矩形铁皮（厚度不计），长
分米，宽分米，在它的四角各切去一个同样的正方形，
然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．
若无盖方盒的底面积为
平方分米，那么铁皮各角应切去边长是多少分米的正方形？
若要求制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的倍，并将无盖方盒内部进行防锈处理，侧面
每平方分米的防锈处理费用为
元，底面每平方分米的防锈处理费用为元，问铁皮各角切
去边长是多少分米的正方形时，总费用最低？最低费用为多少元？
【答案】（1 ）
（2 ）
铁皮各角应切去边长是分米的正方形．
当铁皮各角切去边长是
分米的正方形时，总费用最低，最低费用为
元．
设铁皮各角应切去边长是分米的正方形，
则无盖方盒的底面是长为
分米、宽为
分米的矩形，
由题意得
，整理得：
，
解得：
，
∵
，
∴
，
∴
．
答：铁皮各角应切去边长是分米的正方形．
设铁皮各角切去边长是
分米的正方形，防锈处理所需总费用为元，
，
9
【标注】
∵制作的无盖方盒的底面长不大于底面宽的倍，
∴
，
解得：
，
根据题意得：
，
∴
，
∴当
时，的值随
值的增大而减小，
∴当
时，取得最小值，最小值为
．
答：当铁皮各角切去边长是
分米的正方形时，总费用最低，最低费用为
元．
【知识点】一元二次方程的其他实际问题
，
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
（2 ）
【解析】
回答下列问题：
下面是小李探索
的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是的正方形的边长是
，且
．设
，可画出如下示意图．
由面积公式，可得
．
略去
，得方程 ．
解得
，即
．
仿照上述方法，利用
的结论，再探究一次，使求得的
的近似值更加准确．（画出示意
图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】（1 ）
（2 ）
;
;
;
；
；
；
∵
，
∴
．
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【标注】
∴
．
∴
．
∴设
．示意图如图所示：
由面积公式，可得
． 整理，得
．
略去
，得方程
，
解得
．即
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10.
（1 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
．点
从
点出发，以
的
速度向终点
做匀速运动，同时，点
从
点出发，以
的速度向终点
做匀速运动．当一个点
到达终点时，另一个点随之停止运动．
设运动时间为秒，则
，
（用含的式子表示）．
经过多长时间，
的面积为
？
在运动过程中，
的面积能否等于
？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
经过秒后，
的面积为
．
不能，证明见解析．
，
．
11
（2 ）
（3 ）
【标注】
由（）知，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
，
，
∵
，
∴
，
即经过秒后，
的面积为
．
由（）知
，
∴
，
即
，
∴
，
∴方程无实数根，
∴在运动过程中，
的面积不能等于
．
【知识点】一元二次方程的几何问题
（1 ）
（2 ）
11.
（1 ）
【解析】
如图，
中，
，
，
，一动点
从
出发沿着
边以
的速度运动，另一动点
从
出发沿着
边以
的速度运动．
，
两点同时出发，运动时间
为
．
当为几秒时，
的面积是
面积的
？
的面积能否为
面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
的面积不可能为
面积的一半．
由题意可得：
，
，
12
（2 ）
【标注】
∴
，
，
∴
，
整理得
，
解得
．
答：当
时，
的面积是
面积的
．
当
时，
，
整理得
，
，
∴此方程没有实数根，
∴
的面积不可能为
面积的一半．
【知识点】一元二次方程的几何问题
