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一元二次方程与几何问题 题集【A】
1. 一个正方形的边长增加
，它的面积就增加
，这个正方形的边长是多少？
2. 如图①：要设计一幅宽
，长
的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为
，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何实际每个彩条的宽度？设
一份儿为，如图②：用含的代数式表示
、
和矩形
的面积，列出方程并完成本题解
答．
3. 如图所示，在宽
，长为
的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，把耕地分成
大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为
，道路应为多宽？
4. 列方程或方程组解应用题：
如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了
，另一边减少了
，剩余
一块面积为
的矩形空地（空白处），求原正方形空地的边长．
5. 一块长方形木板长
，宽
，在木板中间挖去一个底边长为
，高为
的
形孔，已知
剩下的木板面积是原来面积的
，求挖去的
形孔的宽度．
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6. 某小区有一块长
米，宽米的矩形空地，如图所示，社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿
地，并且两地绿地之间及四周都留有宽度为米的人行通道，如果这两块绿地的面积之和为
平方
米，人行通道的宽度应是多少米？
米
米
7. 在一幅长分米，宽分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂
图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是
平方分米，求金色纸边的宽．
8. 有一张面积为
的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为
，面积为
，能
将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．
（1 ）
（2 ）
9. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过
），用
长的篱笆围一个矩形场地．
怎样围才能使矩形场地的面积为
？
能否使所围矩形场地的面积为
？为什么？
10. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙宽
），另三边用木栏围成，中间隔有一
道木栏，木栏的总长为
．
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（1 ）
（2 ）
请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到
．
你能设计一个面积为
的鸡场吗？请说明理由．
（1 ）
（2 ）
11. 如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为
），
其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道
宽的门，已
知篱笆的总长度为
．
设图中
（与墙垂直的边）的长为
，请用含的代数式表示
的长．
若整个苗圃园的总面积为
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
12. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙
，
，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地
，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长
米，已知墙
长
米，墙
长为
米．
设
米，则
为 米，四边形
的面积为 平方米．
若长方形
的面积为
平方米，问
为多少米．
13. 一张长为
，宽
的矩形纸片，如图所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正
方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为
，求剪掉的正方形纸片的边长．
图
图
14. 如图，在线段
上找一点
，
把
分为
和
两段，其中
是较小的一段，如果
，那么称线段
被点
黄金分割．
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为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．
如图，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三
个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为
丈，求太和门到太和殿之间
的距离（
的近似值取
）．
（1 ）
（2 ）
15. 一个凸多边形共有
条对角线，它是几边形？
分析题意，先填空：
从五边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．一共有个顶点，可得这个五边
形的对角线的总条数为 ．
进而思考：从一个凸边形的一个顶点出发能引出的对角线的条数为 ．可得这个边形
的对角线总条数为 ．
结合以上分析，列出方程并完成本题解答．
