文档文本内容
1
一元二次方程的判别式 题集【B】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）．
【答案】C
、
，故
有两个相等的实数根；
、
，故无实数根；
、
，故有两个不相等的实数根；
、
，故
有两个相等的实数根；
故答案为．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
．
利用根的判别式判断方程根的情况．
当为最大的负整数时，求方程的根．
【答案】（1 ）
（2 ）
一元二次方程有两个不相等的实数根．
，
．
已知
，
，
∵
，
∴
．
即
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
当为最大的负整数
时．
方程为
，
∴
，
2
【标注】
，
那方程的根为
，
．
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
3.
【解析】
【标注】
请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是；②方程有两个相等的实数根．此方程可
以是 ．
【答案】答案不唯一
设方程为
，有两个相等的实数根，
则
，
设
，则
．
故方程可以是
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
解关于的方程
，有两个不相等的实数根．
求
的取值范围．
若
为整数，且
，是方程的一个根，求代数式
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
且
．
．
∵
有两个不相等的实数根，
∴
，解得
且
，
∴
的取值范围为
且
．
∵
为整数，且
，
∴
且
，
∴
，
∴
，
，
∵是方程的一个根，
∴
，
3
【标注】
∴代数式
，
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴将
代入
，得
，
，
∴代数式
的值为．
【知识点】利用根求代数式的值
（1 ）
（2 ）
（3 ）
5.
（1 ）
【解析】
已知关于的两个一元二次方程：
方程①：
，
方程②：
．
若方程①有两个相等的实数根，求：的值．
若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
若方程①和②有一个公共根，求代数式
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
方程①没有实数根，说明见解析．
代数式的值为．
∵方程①有两个相等的实数根，
∴
，
则
，
∵
，
，
，
4
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
∵
．
∴无论为何值时，方程②总有实数根．
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根．
根据是方程①和②的公共根，
∴
③，
④，
∴③
得：
⑤，
⑤+④得：
，
代数式
，
，
，
故代数式的值为．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
【解析】
已知方程
，根据下列条件，求
的值．
方程有两个相等的实数根．
方程有两个相反的实数根．
方程的一个根为．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，
．
．
．
∵
，
∴
．
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
∵方程有两个相等的实数根，
∴令
且
，
即
，
，
，
．
．
∵方程有两个相反的实数根，
∴
．
∵
，
∴
．
∵方程有一个根为，
∴当
时，
，
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
，其中，，分别为
三边的长．
如果
是方程的根，试判断
的形状，并说明理由．
如果方程有两个相等的实数根，试判断
的形状，并说明理由．
如果
是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
是等腰三角形，理由见解析．
是直角三角形，理由见解析．
，
．
当
时，方程为
，整理得
，
∴
是等腰三角形．
∵方程有两个相等的实数根，
∴
，
，
整理得
，
∴
是直角三角形．
∵
是等边三角形，
6
【标注】
∴
，
∴原方程为
，
∵
，
∴
，
解得
，
．
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
回答下列问题：
无论取何值，方程
总有两个不等的实数根吗？给出答案，并说出理
由．
已知关于的方程
有两个相等的实数根，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
，
，
，
，
，
．
，
∴无论为何值，
方程恒有个不等实根．
，
，
，
，
，
（舍），
，
∴
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
7
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的一元二次方程
．
求证：无论
取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
若
是方程的一个实数根，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∵无论
取何值，
恒大于，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
∵
是方程的一个实数根，
∴
，
整理得：
，
解得：
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的方程
．
求证：方程恒有两个不相等的实数根．
若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
方程的另一个根为．以，为边长的直角三角形的周长为
或者
．
．
∵
，
∴
，
即
，
∴方程恒有两个不相等的实数根．
∵方程的一个根是，
∴将
代入
，
得
，
8
【标注】
∴原方程为
，
解得
，
，
∴方程的另一个根为．
当，为直角三角形的两直角边时，第三边为
，
∴周长为
，
当为直角边，为直角的斜边时，第三边为
，
∴周长为
，
∴以，为边长的直角三角形的周长为
或者
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
11.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的方程
．
求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
若方程有两个异号的实数根，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
，
，
∵
，
∴
，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
，
，
，
∵方程有两个异号的实数根，
∴
，解得
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
12. 已知关于的方程
．
求证：此方程有两个不相等的实数根．
设此方程的两个根分别为
，
，其中
，若
，求
的值．
9
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
，
，
，
，
，
，
，
∴方程有两个不相等实根．
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
13.
方法一：
方法二：
（1 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
．
求证：对于任意实数
，方程总有两个不相等的实数根．
若方程的一个根是，求
的值及方程的另一个根．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
的值为
，方程的另一个根为．
原方程可化为
．
∴
．
∵
，
∴
，
∴对于任意实数
，方程总有两个不想等的实数根．
，
，
，
10
方法一：
方法二：
（2 ）
【标注】
而
，
，
方程总有两个不相等的实数根．
把
代入原方程，得
，
∴
．
把
代入原方程，得
，
∴
，
．
∴
的值为
，方程的另一个根为．
方程的一个根是，
，
解得：
，
原方程为：
，
解得：
，
．
即
的值为
，方程的另一个根是．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的方程
．
求证：方程有两个不相等的实数根．
当
为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此方程的解．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
，
．
，
∵
，
∴
，
即
，
所以方程有两个不相等的实数根．
设方程的两个根为
，
，由题意得：
，即
，解得
，
当
时，方程两根互为相反数，
当
时，原方程为
，
解得：
，
．
11
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
（1 ）
（2 ）
15.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知一元二次方程
．
求证：方程有两个不相等的实数根．
若
的两边
、
的长是这个方程的两个实数根，第三边
的长为．当
是
等腰三角形时，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
或．
∵一元二次方程
，
，
∴此方程有两个不相等的实数根．
∵
的两边
、
的长是这个方程的两个实数根，
由（）知，
，
第三边
的长为，且
是等腰三角形．
∴必然有
或
，即
是原方程的一个根．
将
代入方程
，
得
，解得
或
．
当
时，原方程为
，
解得
，
，
以，，为边长能构成等腰三角形．
当
时，原方程为
，
解得
，
，
以，，为边长能构成等腰三角形．
∴的值是或．
【知识点】一元二次方程的几何问题
