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1
一元二次方程与利润问题 题集【A】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
某商品现在的售价为毎件
元，每月可卖出
件．市场调査反映：如调整价格，毎涨价元，每月
要少卖出
件．该商品的进价为每件
元，设每件涨价元．
根据题意，填写下表：
每件涨价/元
每件利润/元
月卖出量/件
若该商品上个月的销售利润为
元，求上个月该商品的定价．
【答案】（1 ）
（2 ）
；
；
；
．
上个月该商品的定价为
元．
，
，
当每件涨价元时，每件的利润为
元，每月可卖出
件．
故答案为：
；
；
；
．
根据题意得：
，
整理得：
，
解得：
，
．
所以定价为
，
答：上个月该商品的定价为
元．
【知识点】一元二次方程的利润问题
（1 ）
（2 ）
2. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克
元，按每千克
元出售，平均每天可售出
千克，后
来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售量可增加
千克，若该专卖店销售这种核
桃要想平均每天获利
元，请回答：
每千克核桃应降价多少元？
在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出
售？
【答案】（1 ）
（2 ）
每千克核桃应降价元或元．
该店应按原售价的九折出售．
2
方法一：
方法二：
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
设每千克核桃应降价元．
根据题意，得
．
化简，得
，
解得
，
，
答：每千克核桃应降价元或元．
设每千克核桃降价
元，
单件利润：
元千克，
数量：
千克，
获利：
，
，
，
，
，
，
，
，
降价
元，
元，
答：每千克应降价元或元．
由（）可知每千克核桃可降价元或元．
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价元．
此时，售价为：
（元），
．
答：该店应按原售价的九折出售．
【知识点】一元二次方程的利润问题
3.
【解析】
某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入株
时，平均单株盈利元．以同样的栽培条件，若每盆每增加株，平均单株盈利就减少
元．要使每
盆的盈利达到
元，每盆应该植多少株？
【答案】每盆应植株或者株．
设每盆花苗增加株，则每盆花苗有
株，平均单株盈利为：
元，
由题意得：
．
3
【标注】
化简，整理得
，
解这个方程，得
，
，
则
，
．
答：每盆应植株或者株．
【知识点】一元二次方程的利润问题
4.
【解析】
【标注】
某商店将进价为元的商品按每件
元售出，每天可售出
件，现在采取提高商品售价减少销售量
的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高
元其销售量就减少
件，问应将每件售价定
为多少元时，才能使每天利润为
元？
【答案】将每件售价定为
或
元时，才能使每天利润为
元．
设每件售价为
元，
根据题意,得
，
解得
，
．
当
时，
，
当
时，
．
答：将每件售价定为
或
元时，才能使每天利润为
元．
【知识点】一元二次方程的利润问题
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
小赵投资销售一种进价为每件
元的护眼台灯．销售过程中发现，月内销售单价不变，每月销售量
（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
．
设小赵每月获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求出最
大利润．
如果小赵想要每月获得的利润不低于
元，那么如何制定销售单价才可以实现这一目标？
【答案】（1 ）
（2 ）
当销售单价定为
元时，每月可获得最大利润，且最大利润为
元．
如果小赵想要每月获得的利润不低于
元，那么他的销售单价应不低于
元而
不高于
元．
由题意，得：
．
当
时，
．
当销售单价定为
元时，每月可获得最大利润，且最大利润为
元．
4
（2 ）
【标注】
由题意，得：
，
解这个方程得：
，
．
即小赵想要每月获得
元的利润，销售单价应定为
元或
元．
∵
，
∴抛物线开口向下．
∴当
时，
．
如果小赵想要每月获得的利润不低于
元，那么他的销售单价应不低于
元而不高于
元．
【知识点】一元二次方程的利润问题
A.
B.
C.
D.
6.
【解析】
【标注】
某商店购进一种商品，进价为
元．试销中发现这种商品每天的销售量
（件）与每件的销售价
（元）满足关系：
．若商店在试销期间每天销售这种商品获得
元的利润，根据题
意，下面所列方程正确的是（ ）．
【答案】A
∵每件商品的利润为（
）元，可售出（
）件，
∴根据每天的利润为
元可列的方程为
．
【知识点】一元二次方程的利润问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
【解析】
一种进价为每件
元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的
关系可近似的看做一次函数，若售价
元，能卖
台/月，若售价
元，能卖
台/月．
求与的函数关系．
为清理库存，在不赔钱的情况下，售价为多少元时，每月可获得最大销售量．
如果想要每月获得
元的利润，那么销售单价应定为多少元．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
售价为
元时，销售量最大．
销售单价应定为
元或
元．
设
，将
，
代入
，
5
（2 ）
（3 ）
【标注】
解得
，
∴
．
若不赔钱
，
，
，
．
∵
，随增大而减小，
∴当
时，销售量最大．
，
，
，
，
所以销售单价定为
元或
元时，每月获得
元的利润．
【知识点】一元二次方程的利润问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
8.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
商场某种商品平均每天可销售
件，每件盈利
元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价
措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规
律，请回答：
商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）．
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到
元？
在上述条件不变、销售正常情况下，商场日盈利可以达到
元吗？如果可以，请求出，如
果不行，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
每件商品降价
元．
商场日盈利不可以达到
元．
商场日销售量增加
件，每件商品盈利
元．
依题意，可得：
，
∴解得：
，
，
∵为了尽快减少库存，
∴
．
答：每件商品降价
元．
，
∴
，
∴
，
6
【标注】
∴商场日盈利不可以达到
元．
【知识点】一元二次方程的利润问题
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
商场某种商品平均每天可销售
件，每件盈利
元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价
促销措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可以多售出件．设每件商品降价元．
请回答：
商场日销量将增加 件，每件赢利 元（用含的代数式表示）．
上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日赢利可达
元？
【答案】（1 ）
（2 ）
;
元．
∵降价元，可多售出件，
∴降价元，可多售出
件，
每件赢利的钱数
，
故答案为
，
．
由题意得：
，
解得：
，
，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴
，
答：每件商品降价
元，商场日盈利可达
元．
【知识点】一元二次方程的利润问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10. 大学生小韩在暑假创业，销售一种进价为
元/件的玩具熊，销售过程中发现，每周销售量（件）
与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
．
如果小韩想要每周获得
元的利润，那么销售单价应定为多少元？
设小韩每周获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每周可获得利润最大，最大利润
是多少？
若该玩具熊的销售单价不得高于
元，如果小韩想要每周获得的利润不低于
元，那么他的
销售单价应定为多少？
【答案】（1 ）销售单价应定为
元或
元．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
（3 ）
当售价为
元/台时，最大利润为
元．
他的销售单价应定为
元至
元之间．
根据题意可得：
，
解得：
或
，
答：销售单价应定为
元或
元．
，
∴当
时，取得最大值，最大值为
元，
答：当售价为
元/台时，最大利润为
元．
根据题意有：
，
解得：
，
又
，
∴
，
答：他的销售单价应定为
元至
元之间．
【知识点】二次函数的利润问题
一、课堂目标
会用一元二次方程解决利润问题，体验建立数学模型解决问题的一般过程，进一步体会方程思想．
二、知识讲解
1. 列方程解应用题的一般步骤
① 审：审题，分析题中已知是什么，求什么，明确各数量之间关系；
② 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；
③ 设：设未知数（一般求什么，就设什么为未知数）；
④ 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；
⑤ 解：解所列出的方程，求出未知数的值；
⑥ 验：检验所求解是否符合题意；
⑦ 答：写出答案（包括单位名称）．
8
2. “每每型”问题
利润的减少会导致销量的增加，所以 新利润×新销量=新总利润。
例题1
变式
如果上题的问题为“当每件商品的售价为多少元时，可使每星期的销售额为19250元．”该怎么做？
练习1
例题2
练习2
三、出门测
