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1
一元二次方程的整数根问题 题集【A】
1. 判别式为完全平方式
1.
【解析】
【标注】
当整数
取何值时，关于的方程
的根为整数．
【答案】
，，．
当
时，
，
当
时，该方程为一元二次方程，
，
，
∵和
为整数，
∴
，
综上，当
，，时，方程的根为整数．
【知识点】整数根-分离常数法
2.
【解析】
【标注】
关于的方程
的根为正整数，且
为整数，求
的值．
【答案】或或或
．
当
时，方程可化为
，
有整数根
，满足题意．
当
时，∵
，
，
或
，
∴
，
．
又∵该方程的根为正整数且
为整数，
∴
为大于
的整数，
∴
或或
．
则
的值为或或或
．
【知识点】整数根-分离常数法
3.
2
【解析】
【标注】
已知为整数，且关于的方程
有两个不相等的正整数根，求的
值．
【答案】．
原方程化为：
．
所以
，
．
因方程的根为正整数，
因而推知
，此时
，
．
【知识点】整数根-分离常数法
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的方程
．
求证：无论常数
取何值，方程总有实数根．
当整数
取何值时，方程有两个整数根．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
或或或
．
①当
即
时，方程化成
，解得
，
②当
即
时，方程是一元二次方程，
，
，
，
∴
，
∴方程总有两个不相等的实数根，
∴综上所述，无论常数
取何值，方程总有实数根．
，
∴
，
，
而
，
∴当
，
时，
为整数，
即
或或或
，方程有两个整数根．
【知识点】整数根-分离常数法
（1 ）
5. 已知关于的一元二次方程
．
证明：不论
为何值时，方程总有实数根．
3
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
若一元二次方程的两个实数根
，
，满足
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
，
∵不论
为何值时，
，
∴
，
∴方程总有实数根．
解方程得，
，
，
，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴
或，
∵
不合题意，
∴
．
，化简得
，
代入等式
，化简得
．
∵
，
∴代入
，得
，
∴
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 已知：关于的一元二次方程
．
求证：不论实数
取何值，方程必有两个实数根．
若方程有一个根大于且小于，求实数
的取值范围．
若
为整数，且方程的两个根均为正整数，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
，
，．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
解法一：
由题意，得
，∴
，
∴不论实数
取何值，方程必有两个实数根．
解法二：
原方程因式分解得
，∵
，∴原方程必有两个实根．
由（）可知，方程两根为
，
，∴
，化简得
，
由
可知，
；由
可知，
；
∴综上所述，
．
∵
为整数，
为正整数，∴
，
，．
【知识点】整数根-分离常数法
2. 判别式为一次式
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
求实数的取值范围．
若为正整数，求该方程的整数根．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
．
．
∵原方程两个不相等的实数根，
∴
．
∴
．
∵为正整数，
∴
或．
∵方程的根都是整数，
∴
是完全平方数．
∴
．
∴原方程变为：
．
解得
，
．
5
【标注】【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
求
的取值范围．
若
为正整数，且该方程的根都是整数，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由题意得：
，
解得：
．
由
为正整数，可知
或，
求根公式得
，
∵方程的根为整数，
∴
为完全平方数，
则
的值为．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
．
若方程有两个不相等的实数根，求
的取值范围．
在（）的条件下，选择一个恰当的
的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
当
时，
，
．
．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
，
∴
．
在（）的条件下，当
时，
该方程可化为
．
∴两个整数根为
，
．
6
【标注】【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知：关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
求
的取值范围．
若
，是否存在整数
，使方程有两个整数根，若存在，求出
的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
存在，
．
，得
．
存在整数
，使方程有两个整数根，
原因：方程的解为
，
∵
，
为整数，
∴
且为整数，
∴
，
又∵方程有两个整数根，
∴
0或
或
，
∴
或
或
，
∴
，
当
时，
，
符合题意．
【知识点】整数根-△为给定范围一次式
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
已知
，且关于的二次方程
有两个整数根，整数
（
）．
【答案】C
由原方程有整数解可知，
必然是一个完全平方数．
又
可知，
，
又
为奇数，故
，
∴
．
7
【标注】
此时原方程的两个实数根为：
，
不妨设
，则
，
．
故
．
满足
为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．
故选．
【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式
3. 判别式为二次式
1.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
当
为何整数时，方程
有整数解．
【答案】
或
．
将方程
左边因式分解可得
故
，或
，或
，或
解得
，
，
，
．
将方程
整理成标准形式：
由原方程有整数解，首先必须满足
为一个完全平
方数，
不妨设
，则有
，
又
、
的奇偶性相同，
故它们必然同为偶数，则有
，
，
，
，
，
，
，
，
解得
，
，
，
，
，
，
，
，
代入
中检验可知，均满足题意，故
或
．
【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式
2. 求所有整数，使方程
的根都是整数．
8
【解析】
【标注】
方法说明：原方程的两根不容易求出，还可以从根系关系入手，利用整数的和与积仍为整数，再利
用整除性质求解，注意对二次项系数的讨论．
【答案】
或
．
①当
时，
，
．
②当
时，
由根与系数关系得：
，
，
∵根都是整数，
∴
，
检验：
不符合（舍）．
综上所述，
或
．
【知识点】整数根-分离常数法
3.
【解析】
【标注】
当
是什么整数时，关于的方程
的两根都是整数？
【答案】
或
．
设方程的两整数根分别是
，
，
由韦达定理得
，
，
消去
，可得
，
，
则有
或
，
解得：
或
，
由此
或，
∴
或
．
【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式
4. 当整数
取何值时，关于的方程
有整数根．
【答案】
．
9
【解析】
【标注】
当
时，
，
（舍）．
当
时，该方程为一元二次方程，
，
设
（为正整数），
，则
，
或
，
则
．
【知识点】整数根-△非完全平方式的二次式
