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1
一元二次方程的根与系数的关系 题集【A】
1.
【解析】
【标注】
已知一元二次方程
的两个实数根分别是
、
，则
．
【答案】
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
2.
【标注】
如果
，
是方程
的两个根，那么
；
．
【答案】
;
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
3.
【标注】
若关于的方程
的一个根
是．则另一根
；
．
【答案】 ;
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
4.
【解析】
【标注】
若方程
的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式．
【答案】
．
设
的二根为，
，
则
，且
，
消去得：
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
5. 已知关于的方程
，若方程的一个根为，求
的值以及方程的另一根．
【答案】
．方程另一根为
．
2
【解析】
【标注】
∵方程一个根为．
∴把
代入
．
得：
，解得
．
∵
．
．
∴
．
∴
，方程另一根为
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
6.
【解析】
【标注】
已知关于的方程
的两个根为
、
，若
，则
．
【答案】
∵
，
，
∵
．
∴
，
解得：
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
7.
【标注】
求一个一元二次方程，使得它的两根
，
满足：
，
．
【答案】
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
8.
【标注】
若关于的一元二次方程
的两个实根互为倒数，则
．
【答案】
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
（1 ）
9. 已知、 是方程
的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、
表示）
．
3
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【标注】
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
．
．
．
．
．
．
．
【知识点】利用根求代数式的值
10.
【解析】
【标注】
已知一元二次方程
的两个根为
、
，则
，
，
，
．
【答案】
;
;
;
∵方程
有两个根
，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
11. 已知
，
是方程
的两个根，那么
，
．
4
【解析】
【标注】
【答案】 ;
略．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
12.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
已知、是方程
的两根，求
的值．
【答案】
．
由韦达定理可得，
，
．
∴
，
∴
．
所以
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
13.
【解析】
【标注】
已知
，
，求
的值．
【答案】若
，则
，若
，
．
有两种情况：
( )若
，则
，
( )若
，根据题意，、是方程
，即
的根，
则
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
14. 若
，且
及
，则
，
.
5
【解析】
【标注】
【答案】
;
由
可得
，又由
可的
，
∴，
为方程
的两个不等实根.
∴
，
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
15.
【解析】
【标注】
设，是方程
的两个实数根（
），求
的值．
【答案】
将
，
代入方程，得
①
②
由①-②，
得
∴
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
（1 ）
（2 ）
16.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
．
若方程有实数根，求实数
的取值范围．
若方程两实数根分别为
，
，且满足
，求实数
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
根据题意得
，
解得
．
根据题意得
，
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
整理得
，解得
6
【标注】
，
，
而
，
∴
的值为．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
（1 ）
（2 ）
17.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的一元二次方程
．
求证：方程总有实数根．
设这个方程的两个实数根分别为
，
，且
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
，
∵
，
∴方程总有实数根．
由题意可得
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
18. 关于的一元二次方程
的两个实数根分别为
，
．
求
的取值范围．
若
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
7
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
∵有两个实数根．
∴
，
∴
，
，
，
，
∴
的范围：
．
∵方程有两个实数根，
∴
，
，
∴原式：
，
，
，
∴
的值为：
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
