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1
一元二次方程【章节复习】压轴题-判别式相关 题集
C1
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
已知一元二次方程
．
求证：不论为任何实数，该方程有两个根．
若该方程的两根一个大于，另一个小于且关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，求的整数值．
在（）的条件下，关于的另一方程
有大于且小
于的实数根，求的整数值．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
的整数值为
．
∵
，
∴不论为任何实数，该函数的图象与轴必有两个交点．
∵二次函数
的图象与轴的两个交点在点
的两侧，且二次
函数开口向上，
∴当
时，函数值
，即
，解得
．
∵关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
且
，
∴
且
，
∴
且
，
∵为整数，
∴
．
由（）可知，
，
∴
，
解得
，
．
根据题意，
，
∴
，
∴的整数值为
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
2
1
2
（1 ）
（2 ）
2.
1
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的一元二次方程
．（其中
为实数）
若此方程的一个非零实数根为．
当
时，求
的值．
若记
为，求与
的关系式．
当
时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
．
．
方程有两个不相等的实数根．
∵为
的实数根，
∴
．※
当
时，
∵为非零实数根，
∴
，方程※两边都除以
，得
．
整理，得
．
解得
，
．
∵
是关于的一元二次方程，
∴
．
∴
．
∵为原方程的非零实数根，
∴将方程※两边都除以，得
．
整理，得
．
∴
．
．
当
时，
，
．
∴
，
，
．
∴当
时，此方程有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
3. 已知关于的方程
有两个实数根
、
，且
．
求证：
．
3
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
若点
，
，
，点
在
的三条边上运动，问是否存在这
样的点
，使
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
存在点
和点
，使
成立．
∵
、
为方程
的两个实数根，
∴判别式
，
且
，
，
，
又
，
∴
．
若使
成立，只需
，
①当点
在
边上运动时，
由
，
，
得
，
，
而
，
故在
边上存在满足条件的点，其坐标为
，所以不符合题意舍去，
即在
边上不存在满足条件的点．
②当点
在
边上运动时，
由
，
，
得
，
，
此时
，
又因为
，
故在
边上存在满足条件的点，其坐标为
．
③当点
在
边上运动时，
由
，
，
得
，
，
由平面几何知识得
，
于是
，
由
，解得
，
，
4
【标注】
又因为
，
，
故在
边上存在满足条件的点，其坐标为
．
综上所述，当点
在
的三条边上运动时，存在点
和点
，
使
成立．
【知识点】坐标系中的动点问题（非函数）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的方程
．
求证：无论
为何实数，方程总有实数根．
若方程有两个正整数根，且
是正整数，求
的值．
在（）的条件下，
的三边、、满足
，
，
，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
方程
为一元二次方程时，
．
∴无论
为何实数，方程总有实数根．
当方程
为一元一次方程即
时，
方程为
或
，此时方程有实数根；
综上无论
为何实数，方程总有实数根．
．
．
解得
．
5
（3 ）
【标注】
∵方程的根为正整数，
也为正整数．
∴
．
即
．
．
当
时，
．
综上所述，当方程有两个正整数根，正整数
．
∵
．
．
∴、为方程
的根．
又∵
．
∴、为方程
的根．
．
．
．
，
．
∴
或
．
又∵
．
．
∴
．
即
为
的直角三角形．
∴
．
【知识点】因式分解法求一元二次方程的根
5.
【解析】
已知关于的方程
有且只有一个正实数根，则参数的取值范围为 ．
【答案】
或
或
方程整理得
，
当
时，
，
6
【标注】
解得
．
当
且
时
，
，
解得
．
当
时，
．
综上，
或
或
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，四边形
是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是
和
的边
长，易知
，这时我们把关于的形如
的一元二次方程称为“勾系一
元二次方程”．
请解决下列问题：
写出一个“勾系一元二次方程”．
求证：关于的“勾系一元二次方程”
必有实数根．
若
是“勾系一元二次方程”
的一个根，且四边形
的周长
是
，求
的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
证明见解析．
的面积为．
当
，
，
时，
勾系一元二次方程为
．
根据题意，
得
，
∵
，
∴
，
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（3 ）
【标注】
即
．
∴勾系一元二次方程
必有实数根．
当
时，有
，即
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
【知识点】与三角形三边关系结合
【知识点】一元二次方程的定义
【知识点】一元二次方程的根
【知识点】勾股定理
【能力】运算能力
