文档文本内容
1
一元二次方程的公共根问题 题集【B】
1.
【解析】
【标注】
已知方程
和方程
有一个公共根，两个非公共根的和
为 ．
【答案】
设
的根为，，则
，
设
的根为，，则
，
，
化简得到：
，即
，
代回得到
，
，
.
【知识点】一元二次方程公共根
2.
【解析】
【标注】
试求满足方程
与
有公共根的所有的值及所有公共根和所有
相异根．
【答案】当
时，两个方程的公共根为，相异根为
和；
当
时，两个方程的公共根为和
，无相异实根．
不妨设两个方程的公共根为
，则有
，
，
两式相减可得，
，即
．
若
，则
为两个方程的公共根，此时
，
∴
，
，相异根为
和．
若
，则两个方程均为
，此时有公共根和
，无相异实根．
【知识点】一元二次方程公共根
3. 已知
均为整数，满足方程
有非整公共根，求证：
．
【答案】证明见解析．
2
【解析】
【标注】
若
，则
为有理数．
则
为有理数．
则
为整数．
矛盾．
【知识点】一元二次方程公共根
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
设方程
与
，
，
有一个公共根，设它们另两个根
分别为
．
求
的值．
的积是否有最大值？若有，请求出；若没有，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
设
是方程的公共根，则
相减得
，得
，且
．
同时
，则
．
，
则当
时，
的最大值为
，而
时，
，与题中
矛盾，故
没有最大值．
【知识点】一元二次方程公共根
，
5.
【解析】
已知，，是互不相等的实数，三个方程①
；②
；③
中，①②有公共根，②③有公共根，③①有公共根，则
．
【答案】
将代入方程①、②，得
，
，
同理可得：
；
，
3
【标注】
三式相乘，得
，
( )若
，则方程①②③有公共根，故
，
，
．
此时代入方程，得
，三式相加，矛盾，
由此可知：，，互不相等．
( ) ，，互不相等时，由韦达定理得
，
，
综上，
．
【知识点】一元二次方程公共根
6.
【解析】
【标注】
已知两个二次方程
与
有一个公共根为，求证：二次方程
也有一个根为．
【答案】证明见解析．
∵
是方程
和
的公共根，
∴
，
，∴
，
∴
①把①代入方程
，得：
，
，
∴
，
∴
，
．故二次方程
也有一个根为．
【知识点】一元二次方程公共根
（1 ）
（2 ）
7. 计算：
已知关于的方程
，
和
有一个公共根，
求
的值．
设是常数，已知
的一个解的相反数是方程
的一个解，求方
程
的解．
【答案】（1 ）
．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
，
．
设这个公共根为
，则
、
、
，将这三式相加并整理，得到
，
因为
，所以
，
即
．
设
是方程
的一个解，则
是方程
的解，即
两式相减得
，所以
．
于是方程
变为
，从而得此方程的解是：
，
．
【知识点】一元二次方程公共根
8.
【解析】
【标注】
已知关于的一元二次方程
有公共根，且
.求
的值.
【答案】．
设为三个方程的公共根，则
，三方程相加变形得
，因为
，所以
，解得
，
当
时，
，解得
，故
，
当
时，
，解得
，故
，
综上：
，
故答案为：．
【知识点】一元二次方程公共根
，
