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1
一元一次方程【章节复习】题集【B5】【应用题】
1.
【解析】
【标注】
一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行，它们的起点分别在
站和
站，快车每次回到
站休息分钟，慢车每次回到
站休息分钟，两车在其他车站停留的时间不计，已知沿顺时方向
站
到
站的路程是环路全程的
，两车环行一次各需
分钟和
分钟(不包括休息时间)，那么它们从早
上时同时出发，连续运行到晚上
时，两车同在
站共有 次．
【答案】
略．
【知识点】一元一次方程的行程问题-其他的行程问题
2.
【解析】
一条大河有
、
两个港口，水由
流向
，水流速度是千米/时，甲、乙两船同时由
向
行驶，
各自不停地在
、
之间往返航行．甲在静水中的速度是
千米/时，乙在静水中的速度是
千米/
时，已知两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在
处的那一次）的地点相
距
千米，则
、
两港口的距离为 千米．
【答案】
设
、
两个港口的距离为，
甲顺水速度：
千米/时，甲逆水速度：
千米/时，
乙顺水速度：
千米/时，乙逆水速度：
千米/时，
第二次相遇地点：
从
到
：甲速：乙速
，甲到
，乙到
；
甲从
到
，速度
，甲速：乙速
，甲、乙在
的中点
点第一次相遇；
乙到
时，甲到
，这时甲速：乙速
，甲到
点时，乙到
点；
甲又从
顺水，这时甲速：乙速
，所以甲、乙第二次相遇地点是
处的点
，
，
第二次追上地点：
甲比乙多行来回时第一次追上，多行来回时第二次追上．
2
【标注】
甲行一个来回
时间
乙行一个来回
时间
，
一个来回甲比乙少用时间：
，
甲多行来回的时间是：
，
说明乙第二次被追上时行的来回数是：
，甲第二次追上乙时，乙在第个来回中，甲在第个来回中．
甲行个来回时间是
，
乙行个来回时间是
，
，从
到
甲少用时间：
，
说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中．
，从
到
，甲比乙少用时间：
，
，追上地点是从
到
的中点
处．
根据题中条件，
（千米），即
，解得
千米．
故答案为：
．
【知识点】一元一次方程的行程问题-相遇问题
3.
【解析】
【标注】
甲、乙两车分别从
、
两地同时出发相向而行，甲车每小时行
千米，乙车每小时行
千米，两车
分别到达
地和
地后，立即返回，返回时甲车的速度增加二分之一，乙车的速度增加五分之一．已
知两车两次相遇处的距离是
千米，则
、
两地的距离为 千米．
【答案】
设第一次相遇用时
，第二次相遇用时
（这个时间不包含前面的
），
距离
为 ，则有
，
解得
．
【知识点】一元一次方程的行程问题-相遇问题
、
4. 一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在
前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了
分钟，小轿车追上了货车；又过了
分
3
【解析】
【标注】
钟，货车追上了客车．问小轿车追上客车，需要多长时间？
【答案】小轿车追上客车，需要
分钟．
设小轿车与货车之间的距离为，则货车与客车之间的距离为，小轿车与客车之间的距
离为
．
设小轿车，货车，客车的速度分别为
，
，
．
依题意，得
，
，
则
，
∴
．
答：小轿车追上客车，需要
分钟．
【知识点】一元一次方程的行程问题-追及问题
轿
货
客
轿
货
货
客
轿
客
轿
客
（1 ）
（2 ）
5. 唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李
白沽酒”的故事．诗云：
今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮
九．
相逢三处店，饮尽壶中酒，试问能算士：如何知原有．
注：古代一斗是
升．
大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再
喝掉其中的
升酒．按照这样的约定，在第个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．
列方程求壶中原有多少升酒．
设壶中原有
升酒，在第个店饮酒后壶中余
升酒，如第一次饮后所余酒为
（升），第二次饮后所余酒为
（升）．
①用
的表达式表示
，再用
和的表达式表示
．
斗.
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
②按照这个约定，如果在第个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．
【答案】（1 ）
（2 ）
壶中原有
升酒．
①
②在第个店喝光了壶中酒时，壶中原有
升酒．
设壶中原有升酒．
依题意得
．
去中括号，得
．
去括号，得
．
系数化，得
．
答：壶中原有
升酒．
①
．
．
（或写成
）
②当
时，
．
（或写成
）
∵在第个店喝光了壶中酒，
∴
．
（或写成
）
即
．
解得
．
答：在第个店喝光了壶中酒时，壶中原有
升酒．
【能力】运算能力
【能力】分析和解决问题能力
【能力】抽象概括能力
【知识点】数列找规律-其他数列规律
【知识点】解一元一次方程
【知识点】一元一次方程的其他实际问题
6. 如图是某景区的环形游览路线
，已知从景点
到出口
的两条道路
和
均为
米，现有号、号两游览车分别从出口
和景点
同时出发，号车顺时针、号车逆时针沿环形道路
5
1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
1
（1 ）
【解析】
连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车的速度均为
米/分，每
一个游客的步行速度均为
米/分．
出口
号车
景点
号车
出口
号车
景点
号车
甲
出口
号车
景点
号车
探究（填空）：
当两车行驶 分钟时，、号车第一次相遇，此相遇点到出口
的路程
为 米．
当号车第二次恰好经过点
，此时两车行驶了 分钟，这一段时间内号车与
号车相遇了 次．
发现：
若游客甲在
上
处（不与点
、
重合）候车，准备乘车到出口
，在下面两种情况下，
请问哪种情况用时较少（含候车时间）？请说明理由．
情况一：若他刚好错过号车，便搭乘即将到来的号车；
情况二：若他刚好错过号车，便搭乘即将到来的号车．
决策：
若游客乙在
上从
向出口
走去，游客乙从
出发时恰好号车在
处，当步行到
上一点
（不与
，
重合）时，刚好与号车相遇，经计算他发现：此时原地（
点）等候乘号车到出口与直接从
步行到达出口
这两种方式，所花时间相等，请求
出
点到出口
的路程．
当游客丙逛完景点
后准备到出口
，此时号车刚好在
点，已知
路程为
米，
请你帮助游客丙做一下决策，怎样到出口
所花时间最少，并说明理由．
【答案】
1
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
;
;
情况一所用时间比较少．
米．
丙应该选择乘坐号车所需时间最少．
设两车行驶
分钟时，、号车第一次相遇，
6
2
（2 ）
1
2
（3 ）
【标注】
则
，
解得：
，
，
故当两车行驶分钟时，、号车第一次相遇，
此相遇点到出口
的路程为
米．
当号车第二次恰好经过点
，此时两车行驶时间为
（分钟），
两车第二次相遇时间为
分钟，
第三次相遇时间为
分钟，
第四次相遇时间为
分钟，
∴这一段时间内号车与号车相遇了次，
故答案为：
，．
情况一所用时间比较少，
设
米，由题意知，
情况一需要时间为：
，
情况二需要的时间为：
，
∴情况一所用时间比较少．
设
到
的路程为米，
则号车从
的时间为
分钟，
∴
到
的路程为
，
由题意知，
，
解得
，
∴
到
的路程为
米，
∴
到
的路程为
米．
若丙选择乘坐号车，所需时间为
分钟，
若丙选择乘坐号车，所需时间为
分钟，
若丙选择步行到出口
，所需时间为
分钟，
所以丙应该选择乘坐号车所需时间最少．
【知识点】一元一次方程的行程问题-相遇问题
