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一元二次方程【章节复习】压轴题-阅读类 题集C2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
某
热点的信号覆盖区域是以这个
热点为圆心，为半径的圆（包括圆的内部），如图为
某广场的平面示意图，
个长
，宽
的展区排列在面积为
的矩形
区域，展区
间纵向横向的每条路宽均相等．
求展区间的每条路宽．
若只固定一个
热点，便可覆盖广场中的所有位置，求的最小值．
当为
时，能否只固定两个这样的
热点，使得信号覆盖广场中的所有位置？请通过
画图计算进行说明．
说明：本题不考虑
热点的占地面积和展区对信号的干扰．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
展区间的每条路宽为
米．
．
当为
时，能固定两个这样的
热点，使得信号覆盖广场中的所有位置．
设道路的宽为米，根据题意列方程得：
，
整理得：
，
解得：
，
（舍去）．
答：展区间的每条路宽为
米．
矩形
区域的长
，宽
，
根据勾股定理可知对角线
，
所以以
与
的交点为圆心，以
为半径，便可覆盖广场中的所有位置，
所以的最小值为：
．
如图所示，连接
、
的中点
、
，
∵
，
，
则
，
∴以
、
为圆心，
为半径的两个圆可以完全覆盖矩形
，
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【标注】
故当为
时，能只固定两个这样的
热点，使得信号覆盖广场中的所有位置．
【知识点】一元二次方程的几何问题
【知识点】直接用勾股求边长
【知识点】勾股定理
【知识点】矩形的性质
【能力】抽象概括能力
【能力】运算能力
【思想】数形结合思想
【思想】方程思想
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2.
（1 ）
【解析】
已知：关于的一元二次方程
．
求证：方程有两个不相等的实数根．
设方程的两个实数根分别为
，
（其中
），若是关于
的函数，且
，求这个函数的解析式．
将（）中所得的函数的图象在直线
的左侧部分沿直线
翻折，图象的其余部分保
持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于
的函数
的图
象与此图象有两个公共点时，求的取值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
．
，
∵
，
∴
，
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴方程有两个不相等的实数根．
，
两根分别为，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
．
∴
．
作出函数
的图象，并将图象在直线
左侧部分沿此直线翻折，
所得新图，如图所示．
易知点
，
的坐标分别为
，
．
当直线
过点
时，可求得
，
过点
时，可求得
．
因此，
．
【知识点】反比例函数与一次函数综合
3. 请阅读下列材料：问题：已知方程
，求一个一元二次方程，是它的根分别是已知
方程根的倍．
解：设所求方程根为，则
，所以
，把
带人已知方程，得
，化简得
．故所求的方程为
．这种利用
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（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的换根法求新方程（要求
把方程化为一般形式）：
已知方程
，求一个一元二次方程．是它的根是已知方程根的相反数，则所求
方程为： ．
已知关于的一元二次方程
有两个不等于零的实根，求一个一元二
次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
设所求方程的根为，则
所以
．
把
代入已知方程，得
，
故所求方程为
．
设所求方程的根为，则
，于是
．
把
代入方程
，得
．
去分母，得
．
若
，有
，即
，
可得有一个解为
，不符合题意，因为题意要求方程
有两个不为的
根．
故
，
故所求方程为
．
【知识点】一元二次方程根的判别式
【知识点】公式法解一元二次方程的一般步骤
【知识点】一元二次方程的定义
【能力】运算能力
（1 ）
4. 任意给定一个矩形
，是否存在另一个矩形
，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
（完成下列空格）
当已知矩形
的边长分别为和时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边分别是和，由题意得方程组：
消去化简得：
∵
，
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（2 ）
（3 ）
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
方法一：
（3 ）
【解析】
∴
，
，
∴满足要求的矩形
存在．
如果已知矩形
的边长分别为和，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形
．
如果矩形
的边长为
和，请你研究满足什么条件时，矩形
存在？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
不存在．
当
时，存在另一个矩形使它的周长和面积分别是已知矩形周
长和面积的一半．
由上可知，
，
∴
，
．
假设存在，不妨设矩形
的长为、宽为．
则
消元得：
∴方程无实数根，
∴矩形
不存在．
设所求矩形的两边分别是和，由题意，
得
，
消去化简，得：
，
∵
，
∴不存在矩形
．
设所求矩形的长为、宽为．
∵新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，
∴
消元得
，
，即
当
时，
，
，
即存在、均为正数
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方法二：
【标注】
∴当
时，存在另一个矩形使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面
积的一半．
．
设所求矩形的两边分别是和，由题意，
得
，
消去化简，得
，
，
即
时，
满足要求的矩形
存在．
【知识点】一元二次方程根的判别式
