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一元一次方程【章节复习】压轴题--新定义与找规
律 题集C2
1.
【解析】
【标注】
已知数列
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，……，记第一个
数为
，第二个数为
，……，第个数为
，若
是方程
的解，则
或 （从小到大填写）．
【答案】
;
解：将方程
去分母得
移项，并合并同类项得
解得
，
∵
是方程
的解，
∴
，则为
组，
观察数列
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，……，
可发现规律：
为组，
、
、
为组……
每组的个数由
，则第
组由
，则第
组共有
个数．
这组数的最后一位数为：
，
这组数的第一位数为
．
故答案为：
或
.
【知识点】一元一次方程的解
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 一般地，我们把不超过数的最大整数，称为的整数部分，记作
，
称为的小数部分，记
住
．例如
，
，
，
．
求方程
的解．
若
，求的取值范围．
，求正整数．
2
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
称为的小数部分，
∴
，
为整数部分，
∴
．
与
为整数，
，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
．
∴
．
设
，
，
分别为整数，
则
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】与方程有关的新定义
（1 ）
（2 ）
3. 我们规定，若关于的一元一次方程
的解为
，则称该方程为“差解方程”，例如：
的解为，且
，则该方程
是差解方程．
请根据上边规定解答下列问题：
判断
是否是差解方程．
若关于的一元一次方程
是差解方程，求
的值．
【答案】（1 ）是．
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
．
的解为
，
，
∴
是差解方程．
依题意得
的解为
，
∴
．
【知识点】与方程有关的新定义
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
规定：在数轴上一个点表示的数是关于的一元一次方程的解，这个点叫做这个一元一次方程的“关
联点”，这个一元一次方程叫做这个点的“关联方程”．
数轴上的点
表示的数为
，则点
的“关联方程”是 （写出一个即可）；
数轴上的点
的“关联方程”是
和
，则
；
方程
的“关联点”是点
，方程
的“关
联点”是点
，且
，则
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
答案不唯一，符合题意即可，如
，
或
答案不唯一，符合题意即可，
如
，
，
，
∵
和
都是点
的“关联方程”，
∴两个方程的解相同，
由
得
，
将
代入
中，得
，
∴
．
解方程
得：
，
．
4
【标注】
∵
是此方程的“关联点”，
∴
在数轴上对应的数为
．
解方程
得
，
，
∵
是此方程的“关联点”，
∴
在数轴上对应的数为
．
∴
，
∴
，
∴
或
．
∴当
时，
，
当
时，
，
∴
或
．
【知识点】与方程有关的新定义
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
【解析】
小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
的解为
，而
，
的解为
，而
．
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于的方程
的解为
，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进
行以下探究：
若
，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解，若没有，请说明理由．
若关于的方程
为“奇异方程”，解关于的方程：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
没有，理由见解析．
．
没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：
把
代入原方程解得：
，
若为“奇异方程”，则
，
∵
，
∴不符合“奇异方程”定义，故不存在．
5
（2 ）
【标注】
∵
为奇异方程，
∴
，
∴
，
，
，
∴方程
可化为：
，
∴
，
，
解得
．
【知识点】与方程有关的新定义
（1 ）
1
2
3
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
解答：
一个两位正整数，表示十位上的数字，表示个位上的数字
，则这个两位数
用多项式表示为 （含、的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两
位数，则这两个两位数的和一定能被 整除，这两个两位数的差一定能被 整除．
一个三位正整数
，各个数位上的数字互不相同且都不为．若从它的百位、十位、个位上的
数字中任意选择两个数字组成个不同的两位数．若这个两位数的和等于这个三位数本身，
则称这样的三位数
为“友好数”，例如：
是“友好数”．
一个三位正整数
，各个数位上的数字互不相同且都不为，若它的十位数字等于百位数字与
个位数字的和，则称这样的三位数
为“和平数”．
直接判断
是不是“友好数”？
直接写出共有 个“和平数”．
通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数．
【答案】（1 ）
1
2
3
（2 ）
；
，
不是“友好数”．
，
，
．
这个两位数用多项式表示为
，
，
6
1
2
3
（2 ）
【标注】
∵
（整数），
∴这个两位数的和一定能被数
整除．
，
∵
（整数），
∴这两个两位数的差一定能被数整除，
故答案为：
，．
不是“友好数”．理由如下：
∵
，
∴
不是“友好数”．
十位数字是的“和平数”有
，
，
，
，
，
，
，
，一个
个．
十位数字是的“和平数”有
，
，
，
，
，
，一个个．
十位数字是的“和平数”有
，
，
，
，
，
，一个个．
十位数字是的“和平数”有
，
，
，
，一个个．
十位数字是的“和平数”有
，
，
，
，一个个．
十位数字是的“和平数”有
，
，一个个．
十位数字是的“和平数”有
，
，一个个．
所以，“和平数”一共有
个．
故答案为
．
设三位数
既是“和平数”又是“友好数”，
∵三位数
是“和平数”，
∴
．
∵
是“友好数”，
∴
，
∴
，
∴
．
把
代入，得
，
∴
，
∴
，
由②可知，既是“和平数”又是“友好数”的数是
，
，
．
【知识点】一元一次方程的数字问题
【知识点】整除的概念与基本性质
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【能力】运算能力
【能力】分析和解决问题能力
