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专题3.1 从算式到方程
典例体系
一、知识点
1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。
一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1 次。如
1
x +3=x
，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0 的数，所得结果仍是等式。
二、考点点拨与训练
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）下面的等式中，是一元一次方程的为（ ）
A．3x＋2y＝0
B．3＋x＝10
C．2＋
＝x
D．x2＝16
【答案】B
【解析】解：A、该方程中含有两个未知数，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；
B、符合一元一次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程未知数在分母上，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；
D、该方程的未知数的最高次数是2，所以它不是一元一次方程，故本选项错误；
故选B．
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数是1 的整式方程.
巩固练习
1．（2020·广西平桂·期中）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A 选项错误，不是等式；
B 选项正确；
C 选项错误，有两个未知数，不是一元；
D 选项错误，次数是二次．
故选：B．
2．（2020·全国单元测试）下列方程中，是一元一次方程的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、含有两个未知数，即不是一元一次方程，故本选项错误；
B、方程的次数是2 次，即不是一元一次方程，故本选项错误；
C、方程的次数是2 次，即不是一元一次方程，故本选项错误；
D、是一元一次方程，故本选项正确．
故选：D．
3．（2020·全国课时练习）已知
是关于
的一元一次方程，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
解得
.
故选：C．
4．（2020·全国课时练习）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、
有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项错误；
B、
分母有未知数，不是一元一次方程，故此选项错误；
C、
未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故此选项错误；
D、
是一元一次方程，故此选项正确；
故选：D．
5．（2020·全国课时练习）下列叙述正确的有（ ）
①
是一元一次方程；②
是一元一次方程；③
是一元一次方程；④
不是一元一次方程
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【解析】①
不含未知数，不是一元一次方程，错误；
②
是一元一次方程，正确；
③
中的
不是整式，不是一元一次方程，错误；
④
是一元一次方程，错误；
综上，叙述正确的有1 个，
故选：A．
6．（2020·全国课时练习）若方程
与方程
分别是关于x、y 的一元一次方程，则
（ ）
A．2
B．0
C．2 或0
D．3
【答案】C
【解析】解：∵方程
与方程
分别是关于x、y 的一元一次方程
∴
解得：
当m=-1，n=1 时，m＋n=0
当m=1，n=1 时，m＋n=2
∴
2 或0
故选C．
7．（2019·北京市昌平区第四中学期中）已知方程
是关于
的一元一次方程，则
的值
是（ ）
A．
1
B．1
C．-1
D．0 或1
【答案】C
【解析】∵方程
是关于
的一元一次方程，
∴
，
，
解得：
．
故选：C．
8．（2020·全国单元测试）已知方程
是关于
的一元一次方程，则
应满足的条件是_______．
【答案】
【解析】
方程化为
，
，
∴
；
故答案是
．
9．（2020·全国单元测试）如果方程
是关于
的一元一次方程，那么
________．
【答案】2
【解析】∵方程
是关于
的一元一次方程，
∴n-1=1，
解得：n=2，
故答案为：2
10．（2020·全国单元测试）方程
是一元一次方程，则
_______．
【答案】-2
【解析】解：方程
是一元一次方程，
所以
；
解得：m=-2
故答案为：-2
11．（2020·山西襄汾·期末）若关于
的方程
是一元一次方程，则
的值是_________．
【答案】-1
【解析】∵关于
的方程
是一元一次方程，
∴
，
∴
且
，
即：
，
故答案为：
.
考点2：列一元一次方程
典例：（2020·德惠市第三中学初一月考）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．
设宽为x，列方程为_____．
【答案】2[x+（x+5）]=50
【解析】设宽为x，则长为x+5，
2[x+（x+5）]=50，
故答案为： 2[x+（x+5）]=50．
方法或规律点拨
考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出长和宽，根据周长列出方程．
巩固练习
1．（2020·全国课时练习）已知某数为x，比它的
大1 的数的相反数是5，则可列出方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】比某数
的
大1 的数表示为：
，
比某数
的
大1 的数的相反数表示为：
，
因此可列方程为：
．
故选：B．
2．（2020·全国初一课时练习）足球的表面一般是由若干黑色五边形和白色六边形围成的，一个足球的表
面共有32 个皮块.设白皮有x 块，则黑皮有
块，每块白皮有六条边，共有6x 条边，因为每块白皮
有三条边和黑皮连在一起，故黑皮共有3x 条边.要求出白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：根据黑皮的边数相等，可列方程为：
.
故选B.
3．（2020·青海中考真题）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：大量筒中的水的体积为：
，
小量筒中的水的体积为：
，
则可列方程为：
.
故选A.
4．（2020·全国单元测试）已知某数的相反数与2 的差等于某数，如果设这个数为
，那么可得方程为
_________．
【答案】
【解析】
解：设这个数为
，
由题意知：
，
故填：
．
5．（2020·全国单元测试）如果正方形的边长增加
，它的周长增加
，那么可得方程为
_________．
【答案】
【解析】∵正方形增加的周长=4
增加的边长
∴
故答案为
6．（2020·全国单元测试）长方形场地的面积是80 平方米，它的长是宽的2 倍多6 米，若设长方形的宽是
米，那么可以列出方程为_______．
【答案】
【解析】设长方形的宽是
米，
∵长是宽的2 倍多6 米，
∴长是（2x+6）米，
∵长方形的面积为80 平方米，
∴（2x+6）x=80，
故答案为：（2x+6）x=80
7．（2020·全国课时练习）某数的
与-1 的差等于10，设某数为x，依题意，可列方程为_____________．
【答案】
【解析】由题意得：
，
故答案为：
．
8．（2020·全国课时练习）根据题意，列出方程：x 的
与3y 的和得7：__________________．
【答案】
【解析】
的
表示为：
，
它与
的和表示为：
，
则方程为：
，
故答案为：
．
9．（2020·新疆高昌·初一月考）某件商品的进货价是100 元，售价是130 元，则其利润率为 _____%.
【答案】30
【解析】由题意知，利润率
，
故答案为：30．
10．（2020·新疆高昌·初一月考）根据下列语句列出方程：
（1）比a 小4 的数是7：_____.
（2）3 与x 差的一半等于x 的4 倍______.
【答案】a-4=7 或a-7=4(其相关变形均可) 0.5(3-x)=4x
【解析】（1）由题意知，可列方程：a-4=7；
（2）由题意知，可列方程：0.5(3-x)=4x；
故答案为：a-4=7 或a-7=4(其相关变形均可)；0.5(3-x)=4x．
考点3：方程的解
典例：（2020·全国单元测试）以1 为方程的解的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：A．当y=1 时，
，所以左边=右边，故本选项符合题意；
B．当x=1 时，
，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
C．当t=1 时，
，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
D．当x=1 时，
，所以左边≠右边，故本选项不符合题意．
故选A．
方法或规律点拨
此题考查的是方程解的判断，掌握方程的解的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）下列方程中，其解为﹣1 的方程是（ ）
A．2y=
1+y
﹣
B．3
y=2
﹣
C．x
4=3
﹣
D．﹣2x
2=4
﹣
【答案】
A
【解析】解：A、方程2y=-1+y，
移项合并得：y=-1，符合题意；
B、方程3-y=2，
解得：y=1，不合题意；
C、方程x-4=3，
移项合并得：x=7，不合题意；
D、方程-2x-2=4，
移项合并得：-2x=6，
解得：x=-3，不合题意，
故选A．
2．（2020·全国课时练习）解为
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】把
代入各方程：
A、左边
，右边=0，
∴左边
右边，不合题意；
B、左边
，右边
，
∴左边
右边，不合题意；
C、左边
，右边
，
∴左边
右边，不合题意；
D、左边
，右边
，
∴左边
右边，符合题意，
故选：D．
3．（2020·全国课时练习）
不是下列哪个方程的解（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】把
代入，可得：
，故A 不符合题意；
，故B 不符合题意；
，故C 不符合题意；
，故D 符合题意；
故答案选D．
4．（2019·北京市昌平区第四中学期中）若x＝﹣1 关于x 的方程2x+3＝a 的解，则a 的值为（ ）
A．﹣5
B．3
C．1
D．﹣1
【答案】C
【解析】由题意，将
代入方程得：
解得：
故选：C.
5．（2020·河南偃师·期末）若x=-3 是方程
的解，则
的值是（ ）
A．6
B．－6
C．12
D．－12
【答案】B
【解析】解：把x=-3 代入方程得：2（-3-m）=6，
解得：m=-6．
故选：B．
6．（2020·福建惠安·期末）已知关于x 的方程4x﹣a＝3 的解是x＝2，则a＝_____．
【答案】5
【解析】∵关于x 的方程4x﹣a＝3 的解是x＝2，
∴8﹣a＝3，
解得：a＝5．
故答案为：5．
7．（2020·全国单元测试）
________方程
的解．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【解析】解：把
代入方程得：左边
右边．
则
是方程
的解．
故答案是：是．
8．（2020·全国单元测试）对于方程
，有理数1、2、-6 三个数中，是方程解的数为________．
【答案】1，-6
【解析】解：当x=1 时，
，左边=右边，故1 符合题意；
当x=2 时，
，左边≠右边，故2 不符合题意；
当x=-6 时，
，左边=右边，故-6 符合题意；
故答案为：1，-6．
9．（2020·全国课时练习）如果方程
无解，则
__________________．
【答案】3
【解析】由题意得：
，
解得
，
故答案为：3．
考点4：等式的性质
典例：（2020·全国初一课时练习）有三种不同质量的物体“
”“
”“
”，其中，同一种物体的质
量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
的质量为x，
的质量为y，
的质量为：a，
假设A 正确，则，x=1.5y，此时B，C，D 选项中都是x=2y，
故A 选项错误，符合题意，
故选A．
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
巩固练习
9．（2019·北京市昌平区第四中学期中）下列等式变形正确的是（ ）
A．若﹣3x＝5，则x＝
B．若
，则2x+3（x
1
﹣）＝1
C．若5x
6
﹣＝2x+8，则5x+2x＝8+6
D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3
2x
﹣
＝1
【答案】D
【解析】选项A. 若
，则
.错误.
选项B. 若
，则
.错误.
选项C. 若
，则
.错误.
选项 D. 若
，则
.正确.
故选D.
2．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校开学考试）下列各式变形正确的是（ ）
A．如果
那么
B．如果
那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】D
【解析】如果
那么
，故A 错误；
如果
那么
故B 错误；
如果
，那么
，故C 错误；
如果
，那么
，故D 正确；
故选D．
3．（2019·黑龙江道外·初一期末）已知a＝b，下列等式不一定成立的是( )
A．a+c＝b+c
B．c
a
﹣＝c
b
﹣
C．ac＝bc
D．
【答案】D
【解析】A、由a＝b 知a+c＝b+c，此选项一定成立；
B、由a＝b 知c
a
﹣＝c
b
﹣，此选项一定成立；
C、由a＝b 知ac＝bc，此选项一定成立；
D、由a＝b 知当c＝0 时
无意义，此选项不一定成立；
故选D
4、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0 数或字母，等式仍成立．
22．（2020·四川汶川·初一期末）下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A．如果
那么
B．如果
，那么
等于
C．如果
那么
D．如果
，那么
【答案】D
【解析】A、如果2x－y＝7，那么y＝2x－7，故A 错误；
B、k＝0 时，两边都除以k 无意义，故B 错误；
C、如果2x＝5，那么x＝
，故C 错误；
D、两边都乘以－3：
，
，故D 正确；
故选择：D．
5．（2020·广东郁南·初一期末）下列等式的变形中，正确的有（ ）
①由5 x=3，得x=
；②由a=b，得﹣a=﹣b；③由﹣x
3=0
﹣
，得﹣x=3；④由m=n，得
=1．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】①若5x=3，则x=
，
故本选项错误；
②若a=b，则-a=-b，
故本选项正确；
③-x-3=0，则-x=3，
故本选项正确；
④若m=n≠0 时，则
=1，
故本选项错误．
故选B.
6．（2019·广东郁南·初一期末）在下列变形中，正确的是( )
A．如果a=b，那么
B．如果
=4，那么a=2
C．如果a–b+c=0，那么a=b+c
D．如果a=b，那么a+c=b–c
【答案】A
【解析】A、正确.
B、a=8，故选项错误；
C、a=b-c，故选项错误．
D、应同加同减，故选项错误；
故选A．
7．（2020·贵州印江·初一期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】C
【解析】解：A、如果
，
，那么
，故本选项变形错误，不符合题意；
B、如果
，那么
，故本选项变形错误，不符合题意；
C、如果
，那么
，故本选项变形正确，符合题意；
D、如果
，那么
，故本选项变形错误，不符合题意．
故选：C．
8．（2019·海南琼海·初一期末）如果
那么下列等式不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A. 等式x=y 的两边同时加上a，该等式仍然成立；故本选项正确；
B. 等式x=y 的两边同时减去a，该等式仍然成立；故本选项正确；
C. 等式x=y 的两边同时乘以a，该等式仍然成立；故本选项正确；
D. 当a=0 时，
无意义；故本选项错误；
故选D.
9．（2020·吉林宽城·初一期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由
，得
B．由
，得
C．由
，得
D．由
，得
【答案】D
【解析】解：A. 由
，得
，故不正确；
B. 由
，得
，故不正确；
C. 由
，得
，故不正确；
D. 由
，得
，正确．
故选D．
10．（2020·杭州市十三中教育集团（总校）初三其他）若a=b+2，则下面式子一定成立的是（ ）
A．a
b+2=0
﹣
B．3
a=
b
1
﹣
﹣﹣
C．2a=2b+2
D．
=1
【答案】D
【解析】∵
，
∴
，
所以A 选项不成立；
∵
，
∴
，
所以B 选项不成立；
∵
，
∴
，
所以C 选项不成立；
∵
，
∴
，
故D 选项符合题意；
故选：D．
11．（2020·河南方城·初一期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A．由
得
B．由
得
C．由
得
D．由
得
【答案】A
【解析】A. 由
两边同除以4 得
，正确；
B. 由
，移项合并得
，故错误；
C. 由
两边同除以
得
，故错误；
D. 由
去括号得-4x+4=-2 合并得
，故错误
故选A.
12．（2020·四川省遂宁市第二中学校初一期中）下列各式变形正确的是（ ）
A．由
得
B．由
得
C．由
得
D．由
得
【答案】B
【解析】A、得x=-2y，错误；
B、正确；
C、x=-3，错误；
D、3x=7+5，错误，所以答案选择B 项.
13．（2020·湖北黄石·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a＋2＝b＋3
B．如果a＝b，那么a－2＝b－3
C．如果
，那么a＝b
D．如果a2＝3a，那么a＝3
【答案】C
【解析】解：A、等式的左边加2，右边加3，故A 错误；
B、等式的左边减2，右边减3，故B 错误；
C、等式的两边都乘c，故C 正确；
D、当a=0 时，a≠3，故D 错误；
故选C．
14．（2020·全国初一课时练习）把方程
变形为
，其依据是（ ）
A．等式的性质1
B．等式的性质2
C．乘法结合律
D．乘法分配律
【答案】B
【解析】将原方程两边都乘2，得
，这是依据等式的性质2．
故选B．
