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专题22.31 二次函数与一元二次方程（培优篇）（专项练习）
一、单选题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
1．将二次函数
的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到
一个新图象，当直线y＝kx－2 与新图象恰有三个公共点时，则k 的值不可能是（ ）
A．－1
B．－2
C．1
D．2
2．如图，将抛物线
在x 轴下方部分沿x 轴翻折，其余部分保持不变，得到图
形
，当直线
与图形
恰有两个公共点时，则b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知抛物线P：
，将抛物线P 绕原点旋转180°得到抛物线
，当
时，在抛物线
上任取一点M，设点M 的纵坐标为t，若
，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
类型二：由函数值求自变量的值
4．已知函数y＝
，当a≤x≤b 时，﹣
≤y≤2，则b﹣a 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
5．将函数
在轴下方的图像沿
轴向上翻折，在轴上方的图像保
持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则
的值为
（ ）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
6．如图，将抛物线
图象中轴上方的部分沿轴翻折到
轴下方，图象的其
余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线
的交点个数有（）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
7．根据下列表格对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
ax2+bx+c
0.05
﹣
0.02
﹣
0.01
0.03
0.45
判断关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x 的范围是（ ）A．3.23＜x＜3.24 B．
3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26
D．3.26＜x＜3.27
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线
x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣
，
y2）、点C（
，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x
5
﹣）=
3
﹣的两
根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．关于x 的方程m（x+h）
2+k=0（m，h，k 均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程
m（x+h-3）
2+k=0 的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1
B．x1=0，x2=5
C．x1=-3，x2=5
D．x1=-6，x2=2
类型四：图象法解一元二次不等式
10．抛物线
的对称轴为直线
，图象过
点，部分图象如图所示，下
列各式中：①
②
③
④
其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
11．已知函数y＝|ax2
2
﹣x﹣a|，当﹣1≤x≤1 时，y≤2，则a 的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a
0
B．0
a≤1
C．﹣1≤a≤1
D．﹣2 a 2
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：
abc
①
＞0；
②该抛物线的对称轴在x=
1
﹣的右侧；
③关于x 的方程ax2+bx+c+1=0 无实数根；
④
≥2．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
13．已知二次函数
，经过点
．当
时，x 的取值范围为
或
．则如下四个值中有可能为m 的是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
14．抛物线y＝-x2+ax+3 的对称轴为直线x＝2．若关于x 的方程-x2+ax+3﹣t＝0（t 为实数）
在﹣1＜x＜3 的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）
A．6≤t＜7
B．t＜7
C．-2≤t＜6
D．-2＜t≤7
15．对于二次函数y＝x2
4
﹣x＋3，当自变量x 满足a≤x＜3 时，函数值y 的取值范围为﹣1≤y
＜0，则a 的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a≤2
B．1＜a≤3
C．1＜a＜2
D．1＜a≤2
类型六：根据交点确定不等式的解集
16．已知关于x 的一元三次方程
的解为
，
，
，请运用
函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x 的不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
或
D．
或
17．如图，抛物线
与x 轴交于点
，顶点坐标为
，与y 轴的
交点在
和
两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（ ）
①不等式
的解集为
或
；
②
；
③一元二次方程
的两个根分别为
，
；
④
．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
18．二次函数
的图象与一次函数
的图象没有交点，则
b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
类型七：抛物线与x 轴交点问题
19．若平面直角坐标系内的点
满足横、纵坐标都为整数，则把点
叫做“整点”例如：
、
都是“整点”，抛物线
与轴交于
、
两点，若
该抛物线在
、
之间的部分与线段
所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．在平面直角坐标系中，若点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为雅系点，已知二次函
数
的图象上有且只有一个雅系点
，且当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．已知抛物线
的对称轴是直线
， x 与y 的部分对应值如下表：
x
0
t
y
m
n
当m＞3 时，有下列5 个结论：①
；②
；③若
，则
；④抛物线
与x 轴的交点横坐标分别为0 和
；⑤关于x 的方程
的正实数根
在2 与3 之间．其中一定正确的结论有（ ）A．2 个
B．3 个
C．4 个D．5 个
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
，将
向右平移4 个单位，得到抛
物线
，过点
作x 轴的垂线，交
于点M，交
于点N，q 为M 与N 的纵坐标中的较小
值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点
组成的图形记为图形T．若直线y＝x＋n 与
图形T 恰好有4 个公共点，则n 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x 轴交于点A（﹣1，0），与y 轴
的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①
abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④
； ⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①④⑤
D．①③④⑤
24．如图是抛物线
的部分图象，图象过点
，对称轴为直线
，有下列
四个结论：①
；②
；③y 的最大值为3；④方程
有实数根；
⑤
．其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
类型九：求抛物线与x 轴截线长
25．已知二次函数
过点
和点
，交
轴于
，
两点，
交
轴于点
，则：①
；②无论取何值，此二次函数图象截轴所得的线段长度必大于
2；③若
，则
．以上说法正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
26．对于每个非零自然数
，抛物线
与
轴交于
两点，
以
表示这两点间的距离，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．如图，二次函数
（
）的图象与轴交于点
、
两点，与
轴交于
点
，对称轴为直线
，点
的坐标为
，则下列结论：①
；②
；③
；④
，其中正确的结论有（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．个
二、填空题
类型一：抛物线与坐标轴交点坐标
28．关于抛物线
，给出下列结论：①当
时，抛物线与直线
没有交点；②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与
（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内
（包括边界），则
．其中正确结论的序号是________．
29．已知抛物线
（其中a>0）与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C 点，若
△ABC 为等腰三角形，则a 的值是________________．
30．如图，已知二次函数
的图象与正比例函数
交于点A(
，
)，与
x 轴交于点B，当
时，自变量x 的取值范围是___________．
类型二：由函数值求自变量的值
31．对于一个函数，当自变量x 取n 时，函数值y 等于2
n
﹣，我们称n 为这个函数的“二合
点”，如果二次函数y＝ax2+x
1
﹣有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a 的取值范围是
_____．
32．二次函数
（
，、、为常数）中的与
的部分对应值如下表：
－1
0
3
3
3
其中
时，则下列结论一定正确的是_________（填序号即可）
①
；②
；③
是方程
的一个根；④不等式
的解集为
．
33．对于实数a 和b，定义一种新的运算“*”，
，计算
=______________________．若
恰有三个不相等的实数根
，记
，则k 的取值范围是 _______________________．
类型三：图象法确定一元二次方程的近似根
34．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x 与函数y 的对应值如下表：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
3
4
…
y
…
m
4
﹣
m
2
﹣
m﹣
m
m﹣
m
2
﹣
m
4
﹣
…
若1＜m＜1
，则一元二次方程ax2+bx+c=0 的两根x1,x2的取值范围是________ ．
35．如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：
①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若
为函数图象上的两点，则y1＜
y2；④若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p 的值有2 个．其中正确的有
___．
36．已知二次函数y＝ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
0.03
﹣
0.01
﹣
0.02
0.04
则方程ax2+bx+c＝0 的一个解的范围是_____．
类型四：图象法解一元二次不等式
37．已知：直线
经过抛物线
的顶点
，则该抛物线的函数
表达式是______，不等式
的解集是______．
38．如图，二次函数
的图象与
轴交于点
,与
轴的一个交点为
,点
在抛物线上，且与点
关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数
的图象经过
两点,
根据图象,则满足不等式
的的取值范围是_____________
39．若二次函数
的图象如图所示，则不等式
的解集
为________．
类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围
40．若不等式
对
恒成立则x 的取值范围是______．
41．二次函数
，当
时，
的最小值为1，则的取值范围是
________．
42．已知二次函数y＝x2
4x+3
﹣
，当a≤x≤a+5 时，函数y 的最小值为﹣1，则a 的取值范围是
_______．
类型六：根据交点确定不等式的解集
43．若二次函数y=x2+6x+k 的图象与x 轴有且只有一个交点，则k 的值为_____．
44．已知关于x 的二次函数y1＝x2
2
﹣x 与一次函数y2＝x+4，若y1＞y2，则x 的取值范围是
_____．
45．对于一个函数，当自变量取时，函数值
等于
，我们称为这个函数的“二合
点”．如果二次函数
有两个相异的二合点
，
，且
，则的取值范围
是________．
类型七：抛物线与x 轴交点问题
46．下列关于二次函数
（a，m 为常数，
）的结论：
①当
时，其图象与x 轴无交点；
②其图象上有两点
，
其中
，
，
；
③无论m 取何值时，其图象的顶点在一条确定的直线上；
④若
，当
时，其图象与y 轴交点在
和
之间．其中正确的结论是____
（填写序号）．
47．若二次函数
（a，m，b 均为常数，
）的图像与轴两个交点的坐
标是
和
，则方程
的解是____________．
48．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴的正半轴交
于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当
x＝﹣n2
2
﹣时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0 的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣
x2）﹣1＝0 的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 _____
类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况
49．已知二次函数
与x 轴有两个交点，把当k 取最小整数时的
二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图
象，若新图象与直线
有三个不同的公共点，则m 的值为______．
50．二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c 为常数且a＜0）经过(1，m)，且mc＜0，下列结论：①c
＞0；②a＜﹣
；③若关于x 的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p 的值有3
个；④当a≤x≤a+2 时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有_______．（填序
号即可）
51．若抛物线y＝x2－2x＋k 与直线y＝x－1 在0≤x≤2 范围内只有一个交点，则k 的取值范围
是__．
类型九：求抛物线与x 轴截线长
52．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
4
①a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1
2|
|
﹣﹣x2
2|
﹣＞0 时，y1＞y2；
③若抛物线与x 轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a
；
④若3≤x≤4，对应的y 的整数值有3 个，则﹣1＜a
．
其中正确的结论是_____（填写序号）．
53．已知抛物线
在x 轴上截得的线段长为4 个单位，且过（1，3）（2，4）两
点，则
=________．
54．公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛物
线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线
（单
位：m）的一部分，则水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为________m．
三、解答题
55．如图，等腰直角三角形
的直角顶点
在坐标原点，直角边
，
分别在
轴和
轴上，点
的坐标为
，且
平行于轴．
(1)求直线
的解析式；
(2)求过
，
两点的抛物线
的解析式；
(3)抛物线
与轴的另一个交点为
，试判定
与
的大小关系；
(4)若点
是抛物线上的动点，当
的面积与
的面积相等时，求点
的坐标．
56．如图，已知二次函数
的图象经过点
．
(1)求a 的值和图象的顶点坐标；
(2)点
在该二次函数图象上；
①当
时，求m 的值，
②当
时，该二次函数有最小值2，请直接写出m 的取值范围．
57．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你
将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程
的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：
；
（2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1 所示，把方程
的
解看成是二次函数y= 的图象与x 轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程
的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图
象交点的横坐标；
②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x 轴上标出方程的解．
58．已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y 轴交于点A
(1)若a＞0
①当a=1，c=－1，求该抛物线与x 轴交点坐标；
②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c 的图象上，且n－c＞0，试求m 的取值范围；
(2)若抛物线恒在x 轴下方，且符合条件的整数a 只有三个，求实数c 的最小值；
(3)若点A 的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c 时，抛物线与x 轴只有一个公共点，求a 的取值范
围.
59．已知二次函数
（为常数，且
）．
(1)求证：该函数的图像与x 轴总有两个公共点；
(2)若点
，
在函数图像上，比较
与
的大小；
(3)当
时，
，直接写出的取值范围．
60．如图，抛物线
与直线y＝x＋n 交于点
和点B．
(1)求m 和n 的值；
(2)求点B 的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式
的解集；
(4)点P 是直线AB 上的一个动点，将点P 向左平移5 个单位长度得到点Q，若线段PQ 与抛
物线只有一个公共点，直接写出点P 的横坐标
的取值范围．
61．已知二次函数
的图象经过
，
两点．
(1)求分别以
，
两点为顶点的二次函数表达式；
(2)求b 的值，判断此二次函数图象与x 轴的交点情况，并说明理由；
(3)设
是该函数图象与x 轴的一个公共点．当
时，结合函数图象，写出a 的
取值范围．
62．二次函数
的对称轴为直线
．
(1)求二次函数
的解析式；
(2)若关于x 的一元二次方程
（t 为实数）在
的范围内有解，则t 的取值
范围．
63．抛物线
与x 轴的交点分别为
，
．
（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点；
（2）若
，求此抛物线的解析式．
参考答案
1．B
【分析】
先分别求出A、B、C 的坐标，然后证明直线
经过点C，再分当k＞0 时，直线
与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过B、C，当k＜0 时，直线
与新
图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过A、C，当直线
与抛物线只有一个交点C 时，
三种情况讨论求解即可．
解：设原抛物线与x 轴交于A、B，交y 轴于C ，
对于
，令
，则
，令
，则
，
解得
，或
，
∴点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，-2），
对于y＝kx－2，令
时，
，
∴直线
经过点C，
∴当k＞0 时，直线
与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过B、C，
∴
，
解得
；
当k＜0 时，直线
与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过A、C，
∴
，
解得
；
当直线
与抛物线只有一个交点C 时，联立
，
∴
，
∴
，
解得
，
综上所述，k=±1 或k=2，
故选B．
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，解题的关键在于能够利用分类讨论的思
想求解．
2．A
【分析】
通过解方程x2−2x−3=0 得到A、B 的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图
象y=(x−1)2−4(−1<x<3)沿x 轴翻折所得图象的解析式为y=−x2+2x+3(−1<x<3)，然后求出直线y=x+b
与y=−x2+2x+3(−1<x<3)相切b 的值，直线y=x+b 过A 和过B 点所对应的b 的值，再利用图象可判
断直线y=x+b 与此图象有且只有两个公共点时b 的取值范围．
解：当y=0 时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，则A(−1,0)，B(3,0)，
y=x2−2x−3=(x−1)2−4，则顶点坐标为(1,−4)，
把图象y=(x−1)2−4(−1<x<3)沿x 轴翻折所得图象的解析式为y=−
(x−1)2+4=−x2+2x+3(−1<x<3)，
如图，
当直线y=x+b 与y=−x2+2x+3(−1<x<3)相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时
x+b=−x2+2x+3 有相等的实数解，
方程整理得x2−x+b−3=0，
，解得
，
，
舍去；
当直线y=x+b 过A(−1,0)时，−1+b=0，解得b=1，
当直线y=x+b 过B(3,0)时，3+b=0，解得b=−3，
所以，当−3<b<1 时，直线y=x+b 与此图象有且只有两个公共点．
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)与x
轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本
题的关键是利用数形结合的思想的运用．
3．A
【分析】
先求出抛物线
的解析式，再列出不等式
，求出其解集
或
，从而可得
当x=1 时，
，有
成立，最后求出a 的取值范围．
解：∵抛物线P：
，将抛物线P 绕原点旋转180°得到抛物线
，
∴抛物线P 与抛物线
关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P 上，
∴
∴抛物线
的解析式为
，
∵当
时，在抛物线
上任取一点M，设点M 的纵坐标为t，若
，
即
令
，
∴
，
解得：
或
，
设
，
∵
开口向下，且与x 轴的两个交点为（0，0），（4a，0），
即当
时，
要恒成立，此时
，
∴当x=1 时，
即可，
得：
，
解得：
，
又∵
∴
故选A
【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，
a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4．B
【分析】
函数的图象如下图所示，当x≥0 时，当y＝﹣
时，x＝
，当y＝2 时，x＝2 或﹣1，故：顶
点A 的坐标为（
，﹣
），点B（2，2），同理当
时可求出C 点坐标，可确定a,b 的值，
即可求解．
解：函数的图象如下图所示，
当x≥0 时，当y＝﹣
时，x＝
，当y＝2 时，x＝2 或﹣1，
故：顶点A 的坐标为（
，﹣
），点B（2，2），
同理点C（
，﹣
）
则b
a
﹣的最大值为2﹣
＝
.
故选：B．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数
图象、灵活应用二次函数的性质求解.
5．C
【分析】
令y=0，则
，设抛物线于x 轴右侧的交点A（
，0），翻折后的函数表
达式为：y′= x2+2x+m，当x=4 时，y′=8 m，当0≤x≤4 时，函数的最小值为0，故函数最大值
与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解．
解：如下图，函数y=-x2+2x+m 的对称轴为x=1，故顶点P 的坐标为（1，m+1），
令y=0，则
，设抛物线于x 轴右侧的交点A（
，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x 轴对称，故翻折后的函数表达式为：-y′=-
x2+2x+m，
当x=4 时，y′=8-m，
当0≤x≤4 时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大
值最小即可；
①当点A 在直线x=4 的左侧时（直线n 所处的位置），
即
＜4，解得：m＜8；
当函数在点P 处取得最大值时，即m+1≥8-m，解得：m≥3.5，
当m=3.5 时，此时最大值最小为3.5；
当函数在x=4 处取得最大值时，即m+1≤8-m，解得：m≤3.5，
m 最大为3.5 时，此时最大值为m+1=4.5，
故m=3.5；
②当点A 在直线x=4 的右侧时（直线m 所处的位置），
即
＞4，解得：m＞8；
函数的最大为：m+1＞9＞3.5；
综上，m=3.5，
故选：C．
【点拨】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生
非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6．B
【分析】
根据已知条件得到抛物线
(x-1)2+7，故顶点为(1，7)，根据轴对称的性质得到新图象的顶
点坐标为(1，-7)，于是得到结论．
解：如图，∵抛物线
=(x-1)2+7，故顶点为(1，7)
∵将抛物线y=-x2+x+6 图象中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余
部分不变，
∴新图象的顶点坐标为(1，-7)，
∴直线y=-7 经过新图象的顶点并另有两个交点，
故新图象与直线y=-7 的交点个数是3 个，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解
题意是解题的关键
7．B
【分析】
由于x＝3.24 时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25 时，ax2+bx+c＝0.01，则在3.24 和3.25 之间有
一个值能使ax2+bx+c 的值为0，据此即可判断．
解：∵x＝3.24 时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25 时，ax2+bx+c＝0.01，
∴方程ax2+bx+c＝0 一个解x 的范围为3.24＜x＜3.25．
故选：B．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具
体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈
接近方程的根．
8．C
【分析】
根据抛物线的对称轴为直线x=2，可判断（1），利用x=-1 时，y=0，则a-b+c=0，结合对称
轴可得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下可判断（2），利用抛物
线的对称性得到C 关于对称轴对称的点的坐标
，然后利用二次函数的增减性即可得到判断
（3），作出直线y=-3，然后依据函数图象进行判断，即可判断（4）．
解：∵
，
4a+b=0
∴
，故（1）正确．
∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），
a-b+c=0
∴
又∵b=-4a，
a+4a+c=0
∴
，即c=-5a，
8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a
∴
，
∵抛物线开口向下，
a
∴＜0，
8a+7b+2c
∴
＞0，故（2）正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C（
，
），
C
∴
关于对称轴对称的点坐标（
，
）．
-3
∵
＜
＜
，在对称轴的左侧，
y
∴随x 的增大而增大，
∴
，故（3）错误．
方程a（x+1）（x-5）=0 的两根为x=-1 或x=5，
过y=-3 作x 轴的平行线，直线y=-3 与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：
． 故（4）正确．
故选C．．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，二次函数
与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键．
9．B
解：解方程m（x+h）
2+k=0（m，h，k 均为常数，m≠0）得x=-h±
，
而关于x 的方程m（x+h）
2+k=0（m，h，k 均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-
=-3，-h+
=2，
方程m（x+h-3）
2+k=0 的解为x=3-h±
，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选B．
【点拨】本题考查解一元二次方程-直接开平方法．
10．C
【分析】
①根据二次函数图像可得：a＞0，
=-1，c＜0，据此判断即可；
②根据抛物线与x 轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；
③由图象可知抛物线与x 轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x=-1，进而确定另一个交
点，然后判断即可；
④根据对称轴为直线x=-1 可得-
=-1，进而可得b=2a，c=-3a，a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0．
解：①由图像知：a＞0，c＜0，抛物线对称轴x=-1，
-
∴
=-1
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误．
②∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
故②正确．
③∵抛物线与x 轴的一个交点是（1，0），对称轴是直线x=-1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点是（-3，0），
9
∴a-3b+c=0，
故③正确．
④∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），
∴
=-1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=-3a，
5
∴a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，
∴④正确．
故正确的是：②③④．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
11．C
【分析】
由解析式可知：x＝±1 时，y＝2；再由函数的变换可画出图象，因为y＝ax2
2
﹣x﹣a 的对称轴
为x＝
，将a 分三种情况讨论：当a＞0 时，
≥1；当a＜0 时，
≤﹣1；当a＝0 时，y＝|﹣
2x|；即可确定a 的取值范围．
解：由题可知：x＝1 时，y＝2，x＝﹣1 时，y＝2
y
∵＝ax2
2x
a
﹣
﹣的对称轴为x＝
，
当a＞0 时，如图1：
x＝
≥1，则0＜a≤1，
0
∴＜a≤1；
当a＞0 时，如图2：
x＝
≤﹣1，则﹣1≤a＜0，
1≤a
∴﹣
＜0；
当a＝0 时，y＝|
2x|
﹣
，如图3：
当﹣1≤x≤1 时，y≤2 成立；
综上所述：﹣1≤a≤1，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；通过解析式确定x=±1 时y=2，根据a 的情况进行
分类讨论，再数形结合解题是关键．
12．C
【分析】
由a>0 可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x 轴最多有一个交点可c>0，由此可判断①，
根据抛物线的对称轴公式x=﹣
可判断②，由ax2+bx+c≥0 可判断出ax2+bx+c+1≥1＞0，从而可
判断③，由题意可得a
b+c
﹣
＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，
∴抛物线与y 轴交于正半轴，
c
∴＞0，
abc
∴
＞0，故①正确；
0
②∵＜2a≤b，
∴
＞1，
∴﹣
＜﹣1，
∴该抛物线的对称轴在x=
1
﹣的左侧，故②错误；
③由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c≥0，
ax
∴
2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x 轴最多有一个交点，
∴当x=
1
﹣时，y＞0，
a
b+c
∴﹣
＞0，
a+b+c≥2b
∴
，
b
∵＞0，
∴
≥2，故④正确，
综上所述，正确的结论有3 个，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数
的关系.
13．A
【分析】
由y≥-1 时，x 的取值范围为x≤t-1 或x≥-3-t，可得x=t-1 或x=-3-t 是方程ax2-bx+1=0 的两个根，
则有b=4a，再由y=a（x-2）
2-4a，可得-4a≤-1，即将a≥
，将点P(m,2)代入函数解析式可得a=
，利用a 的取值范围确定m 的取值范围即可求解．
解：当y≥-1 时，ax2-bx≥-1，
∴ax2-bx+1≥0，
∵当y≥-1 时，x 的取值范围为x≤t-1 或x≥-3-t，
∴x=t-1 或x=-3-t 是方程ax2-bx+1=0 的两个根，
∴t-1-3-t=-
，
∴b=-4a，
∴y=ax2-bx=ax2+4ax=a（x+2）
2-4a，
∴x=-2 是函数的对称轴，
又∵当y≥-1 时，x 的取值范围为x≤t-1 或x≥-3-t．
-4
∴
a≤-1，
∴a≥
，
∵函数经过点P（m，2），
∴am2+4am=2，
∴a=
，
∴
≥
，
∴m2+4m≤8，
∴m2+4m-8≤0，
-2-2
∴
≤m≤-2+2
，
∴m 的可能取值为1，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练
掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
14．D
【分析】
根据对称求得的值，根据给出的对称轴求出函数解析式为
，将一元二次方
程
的实数根看作函数
与函数
的交点问题，再由
的
范围确定y 的取值范围，然后确定t 的值即可．
解：∵抛物线
的对称轴为直线x＝2．
∴
解得
关于x 的方程-x2+4x+3﹣t＝0 在﹣1＜x＜3 的范围内有实数根，
一元二次方程
的实数根看作函数
与函数
的交点
问题
方程在
的范围内有实数根，
当
时，
∵抛物开口朝下，
函数
在
时有最大值7，
对称轴是
，
，
即在
的范围，当
时的函数值最小
当
时，
t 的取值范围是
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线
的交点问题是解题关键．
15．D
【分析】
函数的顶点D 坐标为：（2，－1），则点A、B 的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图
象可以看出：y 的取值范围为－1≤y≤0 时，1＜a≤2；即可求解．
解：函数图象如下，函数的对称轴为：
，
∵
，
∴顶点D 的坐标为：（2，－1），
则点A、B 的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
从图象可以看出：y 的取值范围为－1≤y＜0 时，
1＜a≤2；
故选：D．
【点拨】本题考察了学生对二次函数及其图像的认识，要求学生能根据函数解析式求出图像
的对称轴、顶点坐标、与x 轴的两个交点坐标，能根据图像求出函数值在一定范围内的自变量的
取值等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
16．A
【分析】
令
．根据题意画出
的图象草图，再据此求解即可．
解：令
．
∵关于x 的一元三次方程
的解为
，
，
，
∴
的图象与x 轴的交点为
，
，
．
∵
的图象与x 轴的交点不含
，
∴当x=0 时，
．
∴
的图象草图如下．
从图象上可以看出y>0 时，即
时，x 的取值范围是
或
．
∴关于x 的不等式
的解集是
或
．
故选：A．
【点拨】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键．
17．D
【分析】
利用对称轴及点A 的坐标可以求出抛物线与x 轴的另一交点，结合图象即可求出不等式的解
集；利用对称轴
，可知
，进一步可求出
；利用韦达定理求出
方程
根与系数的关系，可知
，
，进一步可以求出方程
的两根；利用
，可以推出
，其中
，再利用
可知
，利用c 的范围可以求出
的范围；
解：∵对称轴
，
，
∴抛物线交于x 轴的另一点坐标为
，
∴结合图象可知
的解集为
或
，故①正确；
∵对称轴
，
∴
，即
，故②错误；
∵
中根与系数的关系：
，
假设方程
的根为
和
，
∴
，
∴
，
因式分解得：
∴
，
∴
的两个根分别为
，
，故③正确；
∵
∴
∴
∴
∵
∴
，即
，故④正确；
综上所述：正确的有①③④，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像问题，韦达定理，要能够结合图象求出不等式解集，找出
系数a、b、c 之间的关系，求出二元一次方程
的根，做该类题的关键是结合图象进
行求解．
18．C
【分析】
先根据一次函数的解析式求出
和
时，
的值，再分
，
和
三种
情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
解：对于一次函数
，
当
时，
，
当
时，
，
二次函数
的对称轴为
，
由题意，分以下三种情况：
（1）当
时，
若两个函数的图象没有交点，则当
时，二次函数的函数值大于6；或当
时，
二次函数的函数值小于0，
即
或
，
不等式
可化为
，
利用因式分解法解方程
得：
，
由二次函数
的性质可知，当
时，
或
（舍去），
同理可得：不等式
无解，
综上，此时的取值范围为
；
（2）当
时，
若两个函数的图象没有交点，则
无解，
即关于的方程
无解，
则方程的根的判别式
，
解得
，
则此时的取值范围为
；
（3）当
时，
当
时，二次函数的函数值为
，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为
；
综上，的取值范围为
或
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数以一次函数的综合，根据一次函数的取值范围，正确分三种
情况讨论是解题关键．
19．D
【分析】
首先将二次函数的表达式化为顶点式，确定函数的顶点，可以直接得到（1，1），（1，0）
必在所要求的区域内；然后向外扩充4 个整点，找到（0，0），（0，1），（2，0），（2，
1），进而求出m 的范围．
解：由已知可得
，
∴函数的顶点是（1，2），
∴点（1，1），（1，0）必在抛物线在A，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括
边界）的区域内，
又∵在此区域内有7 个整点，
∴必有点（0，0），（0，1），（2，0），（2，1），
∴当点（0，1）在边界上时，m+2=1，得：m=-1，此时区域内正好有7 个点，
当点（-1，0）在边界上时，m+2m+m+2=0，得：
，此时区域内已多于7 个点，
∴
，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与x 轴交点，数形结合思想的应用
是解决本题的关键．
20．C
【分析】
根据雅系点的概念令
，即
，由题意，△
，即
，方程的根为
，从而求得
，
，所以函数
，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据
的
取值，即可确定的取值范围．
解：令
，即
，
由题意，△
，即
，
又方程的根为
，
解得
，
，
故函数
，
，
函数图象开口向下，顶点为
，与
轴交点为
，由对称性，该函数图象也
经过点
．
由于函数图象在对称轴
左侧
随
的增大而增大，在对称轴右侧
随
的增大而减
小，且当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，
，
故选：
．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质
以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
21．C
【分析】
由（0，-1）可得c=-1；由对称轴为x=1，可得b=-2a；由m＞3 时，x=-2 的函数值大于x=0 的
函数值，可得a＞0；b=-2a＜0，可判断结论①；根据x=-2 时的函数值和不等式的性质可判断结
论②；根据二次函数的对称性可判断结论③；将c 值代入
化简可得判断结论④；
根据x=-1 时的函数值，结合二次函数的对称性可判断结论⑤
解：（0，-1）代入抛物线可得c=-1，
对称轴为x=1，可得
，
当m＞3 时，x=-2 的函数值大于x=0 的函数值，函数对称轴为x=1，
∴函数开口向上，a＞0，
b=-2a＜0，即①正确；
x=-2 时，4a-2b-1=m＞3，4a+4a＞4，a＞
，
∴a•a＞
，（-2）a•a＜
，ab＜
，即②正确；
∵x=-2 到对称轴的距离为3，当t＞4 时，t 到对称轴的距离为（t-1）＞3，
∴m＜n，即③正确；
∵
，
x=0 或x=2 时函数值为0，即与x 轴交点横坐标分别为0，2，
故④错误；
∵a＞
，x=-1 时y=a-b-1=a+2a-1=3a-1＞0，
x=0 时y＜0，
∴关于x 的方程
的负实数根在-1 与0 之间，
由函数对称轴x=1 可得：0 关于x=1 的对称点为2，-1 关于x=1 的对称点为3，
∴关于x 的方程
的正实数根在3 与4 之间，即⑤正确；
综上所述①②③⑤正确，
故选： C．
【点拨】本题考查了二次函数图象和系数间的关系，二次函数的对称性，特殊点的函数值，
不等式的性质等知识；掌握二次函数的性质是解题关键．
22．A
【分析】
先求出抛物线平移后的解析式，即可求出两抛物线的交点坐标为（2，3），从而得出Ｔ的图
象，然后求出直线y=x+n 绕过点（2，3）时的n 值和直线y=x+n 与C1只有一个交点时的n 值，即
可得出直线y＝x＋n 与图形T 恰好有4 个公共点时的n 的取值范围．
解：∵抛物线
，将
向右平移4 个单位，得到抛物线
，
∴抛物线
：y=(x-4)2-1，
联立，得
，解得：
,
∴抛物线交点坐标为(2,3)，
由题意得图形T 的图象如图所示，
把点(2,3)代入直线y=x+n，得3=2+n，解得：n=1，
当直线y=x+n 与C1只有一个交时，则x+n=x2-1，即x2-x-1-n=0 有两个相等根，
则Δ=12-4×1×(-n-1)=0，解得n=-
，
∵直线y＝x＋n 与图形T 恰好有4 个公共点，
-
∴
<n<1，
故选：A．
【点拨】本题属二次函数综合题目，考查了二次函数图象的平移，抛物线的交点，直线与抛
物线的交点，得出T 的图象是解题的关键．
23．C
【分析】
根据对称轴为直线x=1 及图象开口向下可判断出a、b、c 的符号，从而判断①；根据对称性
得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据交点及对称轴、根的判别式即可判断③；根据
图象经过（-1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从而对⑤作判断；从图象与y 轴的交点B 在
（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出④的正误．
解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y 轴右侧
∴ab 异号，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2 时，y＜0，
4
∴a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x 轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=
1
﹣时，y=
=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1，
∴
=1，即b=
2
﹣a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=
3
﹣a，
4
∴ac﹣
=4•a•（﹣3a）﹣
=
＜0，
8
∵a＞0，
4
∴ac﹣
＜8a，故③错误；
④∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间，
-2
∴
＜c＜-1
-
∵
，
∴b=-2a，
∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=-3a，
-2
∴
＜-3a＜-1，
∴
＜a＜
；故④正确
⑤∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴b-c=a，
∵a＞0，
∴b-c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选C．
【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应
用．
24．C
【分析】
根据二次函数图象，依次判断
、
、
，可判断①；根据抛物线的对称性与过点
（3，0），可得抛物线与x 轴的另一个交点为(−1，0)，可判断②；根据图象，可知y 是有最大值，
但不一定是3，可判断③；由函数
与
的图象有两个交点，可判断④；由于抛
物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），可知
，再根据
、
推导
，可判断⑤；从而可得答案．
解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴，
∴
，
，
∵抛物线的对称轴为直线
，
∴
，
∴
，故①错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴
，故②正确；
根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由
可得
，
根据图象，抛物线与直线
有交点，
∴
有实数根，故④正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，故⑤正确．
综上所述，正确的为②④⑤．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结
合思想解决问题是解题的关键．
25．D
【分析】
根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得．
解：将点
、
代入二次函数得：
两式相加得：
，则①正确
两式相减得：
设点
则
因此，
即无论取何值，此二次函数的图象截轴所得的线段长度必大于2，则②正确
若
，则
由二次函数的解析式可知：点C 坐标为
则
，因此③正确
综上，说法正确的是①②③
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟
练掌握并灵活运用二次函数的性质是解题关键．
26．D
试题分析：将非零自然数n 分别代入抛物线得出与x 轴交点的各个值，分别算出两交点间的
距离再求出它们的和
解：将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x2-
，y=x2-
，y=x2-
，…；分别解得x1=1，x2=
=x3，x4=
，x5=
A
∴
1B1=1-
，A2B2=
-
，A3B3=
-
，…，A2009B2009=
A
∴
1B1+A2B2+…+A2009B2009=
故选D
考点：抛物线和X 轴的交点
【点拨】自变量的坐标变换和与各轴的交点是常考点，此类试题之中要注意分析各个抛物线
和图形的基本关系，二次函数的性质和交点公式
27．C
【分析】
根据B 点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A 点坐标，即能求出AB 的值，可判断①；由
二次函数的图象与x 轴有两个交点，即可确定
，可判断②；由图象开口向上，可确定
．由二次函数对称轴为
，即可知
，从而得到b 的符号，即求出
的符号，可
判断③；根据图象可知
，再由
，即可判断出
的符号．可判断④；
解：∵A、B 两点是二次函数与x 轴的交点，且二次函数对称轴为
∴A、B 两点关于直线
对称．
∵B(1，0)，
∴A(-3，0)，
∴
．
故①正确；
∵二次函数的图象与x 轴有两个交点A 点和B 点，
∴一元二次方程
有两个不相等的实数根，
∴
，即
．
故②正确；
根据图象开口向上可知
，
∵二次函数对称轴为
，即
，
∴
．
∴
．
故③错误；
根据图象可知对于该二次函数，当
时有最小值，且最小值小于0，
即
，
∵
，且
，
∴
，即
．
故④正确；
综上，正确的结论有①②④，共3 个．
故选：C
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次
函数的性质是解答本题的关键．
28．②③
【分析】
先联立方程组，得到
，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情
况：当0＜a＜1 时，当a＜0 时，进行讨论即可；③求出抛物线
的顶点坐标
为：
，进而即可求解．
解：联立
，得
，
∴∆=
，当
时，∆有可能≥0，
∴抛物线与直线
有可能有交点，故①错误；
抛物线
的对称轴为：直线x=
，
若抛物线与x 轴有两个交点，则∆=
，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1 时，则
＞1，此时，x＜
，y 随x 的增大而减小，
又∵x=0 时，y=1＞0，x=1 时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0 时，则
＜0，此时，x＞
，y 随x 的增大而减小，
又∵x=0 时，y=1＞0，x=1 时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，
0）之间，故②正确；
抛物线
的顶点坐标为：
，
∵
，
∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边
界），
∴
，解得：
，故③正确．
故答案是：②③．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用
判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
29．2 或
或
【分析】
求出A、B、C 三点坐标，分类讨论即可．
解：当y=0 时，
，
解得，
，
设A（1，0），B（
，0），
当x=0 时，y=-2,
C 点坐标为（0，-2），
AC
∴
2=5，BC2=22+(
)2，AB2=（1+
）
2
当AB=AC 时，（1+
）
2=5，
∵a>0，解得a=
（经检验，符合题意），
当AB=BC 时，（1+
）
2=22+(
)2，
解得a=
（经检验，符合题意），
当AC=BC 时，5=22+(
)2，
∵a>0，解得a=2（经检验，符合题意），
故答案为：2 或
或
．
【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴交点、等腰三角形、勾股定理，解题关键是求出抛物
线与坐标轴的交点坐标，用坐标表示三角形的边长，分类讨论列方程．
30．
【分析】
过A 作AC⊥x 轴于C，则当x 取值在CB 之间时，即有
，所以只要求出C、B 两点
的坐标，问题即可得到解答．
解：如图，过A 作AC⊥x 轴于C，
令
，则：
，解得：x=0 或4，所以
=4，
由题意可得
=
，所以当
，
．
故答案为
．
【点拨】本题考查函数图象的应用，正确求解函数图象交点坐标及函数图象与坐标轴的交点
坐标是解题关键．
31．﹣
＜a＜0 或a＞1．
【分析】
首先根据已知条件得到符合题意的一个一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式得到a
的大致范围，最后结合二次图象及方程两根小于1 得到a 的精确范围．
解：根据题意，可得
两个相异的二合点x1，x2是方程
an2+n
1
﹣＝2
n
﹣的两个根，
整理，得
an2+2n
3
﹣＝0，
△＞0，
即4+12a＞0，解得a＞﹣
．
①当a＞0 时，抛物线开口向上，
x
∵
1＜x2＜1，
当x＝1 时，y＞0，
即a+2
3
﹣＞0，解得a＞1．
所以a＞1．
②当a＜0 时，抛物线开口向下，
x
∵
1＜x2＜1，当x＝1 时，y＜0，
即a+2
3
﹣＜0，解得a＜1，
所以﹣
＜a＜0．
综上所述：﹣
＜a＜0 或a＞1．
故答案为﹣
＜a＜0 或a＞1．
【点拨】本题考查二次函数、一元二次方程与一元一次不等式的综合运用，熟练掌握二次函
数的图象、一元二次方程根的判别式及分类思想的运用是解题关键．
32．①②④
【分析】
先确定抛物线的对称轴，然后根据对称性求得m 的值，即可判定①；先根据对称轴为x=
，可推得ab＜0，然后再根据抛物线过（0,3）点求得c=3，即可判定②；根据表格可得
是方程
的一个根，故③错误；先判断函数在x＜
时增减性，进而得到a＜
0，即可判定④．
解：由表可得函数的对称轴为x=
∵当x=-1 和x=m 的函数值相等
∴
-（-1）=m-
，解得m=4，即①正确；
∵
，即
a
∴、b 异号，即ab＜0
由表可知，当x=0 时，y=3，把他们代入
可得c=3
abc
∴
＜0，即②正确；
∵由表可知，当x=3 时，y=3，而不是y=0，
∴
不是方程
的一个根，即③错误；
∵
∴
由
的对称轴为为x=
n
∵＜0
∴当x＜
时，y 随x 的增大而增大，故抛物线开口向下，即a＜0
∴不等式
的解集为
．即④正确．
故答案为①②④．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，灵活应用二次函数的性质是解答本题的关键．
33．
【分析】
分当
时，当
时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设
y=
，绘制其函数图象，根据图象确定m 的取值范围，再求k 的取值范围．
解：当
时，即
时，
当
时，即
时，
；
设y=
，则y=
其函数图象如图所示，抛物线顶点
，
根据图象可得：
当
时，
恰有三个不相等的实数根，
其中设
，为
与
的交点，
为
与
的交点，
，
，
时，
，
故答案为：
；
【点拨】本题主要考查新定义问题，解题关键是将方程的解的问题转化为函数的交点问题．
34．﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3
解：∵1＜m＜1
，
∴－1＜m－2＜－
，
＜m－
＜1，
∴y=0 在y=m－2 与y=m－
之间，
∴对应的x 的值在－1 与0 之间，即－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
故答案为－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
【点拨】根据函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．
35．①②④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，再根据
对称轴方程可判断与0 的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当
时，函数取最大值，
可判断②，由
＞
，可得
的位置，结合二次函数的性质可
判断③，先求解
，再由函数图象得当0＜y≤
时，
＜x＜3，其中x 为整数时，
x=0，1，2，从而可判断④．
解：∵抛物线开口向下， a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线
＞0，
b
∴＞0；
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
c
∴＞0，
abc
∴
＜0，故①正确；
∴当x=1 时，y 最大，即
，故②正确；
∵
＞
在对称轴上或右侧，
随的增大而减小，
∴
＞
，故③错误；
∵抛物线的对称轴是x=1，与x 轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x 轴的另个交点是（-1，0），
把（3，0）代入
得，0=9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线
，
∴
，
∴
， 解得，
．
∴
（a＜0），
∴顶点坐标为
，
由图象得当0＜y≤
时，-1＜x＜3，其中x 为整数时，x=0，1，2，
又∵x=0 与x=2 时，关于直线x=1 轴对称 当x=1 时，直线y=p 恰好过抛物线顶点．
所以p 值可以有2 个．故④正确；
故答案为①②④．
【点拨】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数的
性质，二次函数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键．
36．6.18＜x＜6.19
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0 时，相应的自变量的取值范围即可．
解：由表格数据可得，当x＝6.18 时，y＝﹣0.01，当x＝6.19 时，y＝0.02，
∴当y＝0 时，相应的自变量x 的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点拨】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，
自变量的取值即可．
37．
【分析】
将点
代入解析式
，即可求得直线的解析式，根据顶点坐标公式求出m、
n 的值，即可得到抛物线的函数表达式；解不等式
的解集．
解：将点
代入解析式
，得2k-3=1,解得k=2, ∴直线的解析式为y=2x-3．
∵抛物线的顶点
，
∴
解得：
∵抛物线解析式为y=-
+4x-3
令y=0,-
+4x-3=0
解得：x=1,x=3．
的解集为
．
【点拨】本题考查了抛物线的函数表达式和函数与不等式的比较大小．解题的关键是能写出
解析式．
38．
【分析】
将点A 的坐标代入二次函数解析式求出m 的值，再根据二次函数解析式求出点C 的坐标，
然后求出点B 的坐标，点A、B 之间部分的自变量x 的取值范围即为不等式的解集.
解：
抛物线
经过点
抛物线解析式为
点
坐标
对称轴为x=-2,B、C 关于对称轴对称,
点
坐标
由图象可知，满足
的
的取值范围为
故答案为:
．
【点拨】本题考查了利用二次函数的性质来确定系数m 和图象上点B 的坐标，而根据图象
可知满足不等式
的的取值范围是在B、A 两点之间.
39．
或
【分析】
直接利用函数图象即可得出结论．
解：∵由函数图象可知，当x<1 或x>3 时，函数图象在x 轴的下方，
∴函数y=a（x-2）
2+b（x-2）+c 的图象与x 轴的交点为3，5，（把x-2 作为一个整体，
代入上面的函数中，）
∴不等式a（x-2）
2+b（x-2）+c<0<0 的解集为x<3 或x>5，
故答案为x<3 或x>5．
【点拨】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是
解答此题的关键．
40．
【分析】
将不等式整理得
，当x=0 时，-6＜0，不等式不成立，得出x≠0，令y=
，y 是关于a 的一次函数，即
，根据一次函数的性质得出x2＞0，关于
a 的函数y 随a 的增大而增大，当a=-1 时，
当
时y＞0 恒
成立，解不等式即可
解：不等式
整理得
当x=0 时，-6＜0，不等式不成立，
∴x≠0，
令y=
,
∴y 是关于a 的一次函数，即
，
∵x2＞0，关于a 的函数y 随a 的增大而增大，
当a=1 时，
，
当a=-1 时，
，
当
时y＞0 恒成立，
∴
＞0，
解得
，
故答案为：
．
【点拨】本题考查一次函数的性质，二次不等式，掌握一次函数的性质，二次不等式解法是
解题关键，
41．
【分析】
根据二次函数的图象性质分类讨论即可；
解：∵二次函数
，
，
∴函数图像开口向下，对称轴
，
①当
，即
时，
当
时，y 随x 的增大而减小，
，
当
时，
或
，不符合题意；
②当
时，
时，y 随x 的增大而增大，x=0 时，
恒成立，此时
都满足题意；
时，
，
，
即当
时，y 在
随x 的增大而增大，
∴x=0 时，
，符合题意，
则此情况下；
③当
时，即
，当
时，
，
当
时，
，
∵
的最小值为1，
∴
，
，
此时
，
综上：
．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象性质，结合不等式的求解计算是解题的关键．
42．﹣3≤a≤2
【分析】
求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得．
解：∵二次函数y＝x2
4x+3
﹣
＝（x
2
﹣）
2
1
﹣，
∴对称轴为直线x＝2，
当a＜2＜a+5 时，则在a≤x≤a+5 范围内，x＝2 时有最小值﹣1，
当a≥2 时，则在a≤x≤a+5 范围内，x＝a 时有最小值﹣1，
a
∴2
4a+3
﹣
＝﹣1，
解得a＝2，
当a+5≤2 时，则在a≤x≤a+5 范围内，x＝a+5 时有最小值﹣1，
∴（a+5）
2
4
﹣（a+5）+3＝﹣1，
解得a＝﹣3，
a
∴的取值范围是﹣3≤a≤2，
故答案为：﹣3≤a≤2．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
43．9
试题分析：根据二次函数y=x2+6x+k 的图象与x 轴有且只有一个交点，可得△=b2-4ac=36-
4k=0，解得k=9.
故答案为9
【点拨】此题主要考查了二次函数与x 轴的交点，解题时，利用二次函数与x 轴的交点的判
断关系：当△=b2-4ac＞0 时，二次函数与x 轴有两个交点；当△=b2-4ac=0 时，二次函数与x 轴有
一个交点；当△=b2-4ac＞0 时，二次函数与x 轴没有交点，直接求解即可.
44．x＜﹣1 或x＞4．
【分析】
解方程组得到二次函数y1＝x2
2
﹣x 的图形与一次函数y2＝x+4 的图象交于（﹣1，3）和（4，
8），再结合图象可得结论．
解：解方程组
得，
或
，
∴二次函数y1＝x2
2
﹣x 的图形与一次函数y2＝x+4 的图象交于（﹣1，3）和（4，8），
∴当x＜﹣1 或x＞4 时，y1＞y2，
∴x 的取值范围是x＜﹣1 或x＞4．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，，利用图象来解不等式，是中考常考题
型．
45．
或
【分析】
根据抛物线与x 轴有两个交点，判别式大于0 可确定a 的取值范围，再根据抛物线开口方向
不同分两种情况讨论a 的取值范围即可得结论．
解：根据题意，可得
两个相异的二合点x1，x2是方程
an2+n-1=2-n 的两个根，
整理，得
an2+2n-3=0，
△＞0，
即4+12a＞0，解得a＞
．
a
①＞0 时，抛物线开口向上，
x
∵
1＜x2＜1，
当x=1 时，y＞0，
即a+2-3＞0，解得a＞1．
所以a＞1．
②当a＜0 时，抛物线开口向下，
x
∵
1＜x2＜1，当x=1 时，y＜0，
即a+2-3＜0，解得a＜1，
所以
．
故答案为：
或a＞1．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题
的关键是分两种情况讨论．
46．①③④
【分析】
当
时，则
为正，从而可判断①正确；举反例即可判断②错误；抛物
线的顶点坐标为(m，m+1)，即顶点的横坐标比纵坐标少1，即y=x+1，从而可判断③正确；求出
抛物线与y 轴的交点，根据
，当
时，可判断抛物线与y 轴交点纵坐标的范围，从而
可确定④正确．
解：当
时，m+1>0，且
，即
，表明对任意x 的取值，
函数值都为正，也即抛物线始终位于x 上方，从而抛物线与x 轴无交点，故①正确；
当
时，满足
，但
，此时函数值随自变量的增大而增大，即
，故②错误；
抛物线的顶点坐标为(m，m+1)，即顶点的横坐标比纵坐标少1，即y=x+1，表明抛物线
的顶点在直线y=x+1 上运动，故③正确；
在
中，当x=0 时，
，即抛物线
与y 轴的交点为
；当
时，
，所以抛物线与y 轴的交点在
和
之间，故④正确．
故答案为：①③④
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题的关键．
47．
，
【分析】
根据抛物线y=a（x+m）
2+b 与x 轴的两交点为（-2，0），（1，0），得出方程a（x+m）
2+b=0 的解，然后根据方程a（x+m）
2+b=0 的解与a（x+m+2）
2+b=0 的解的关系得出答案即可．
解：∵抛物线y=a（x+m）
2+b 与x 轴的两交点为（-2，0），（1，0），
∴方程a（x+m）
2+b=0 的解为x1=-2，x2=1，
∴方程a（x+m+2）
2+b=0 中，x+2=-2 或x+2=1，
∴方程a（x+m+2）
2+b=0 的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为：x1=-4，x2=-1．
【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点，明确抛物线与x 轴的交点坐标与对应的一元二次
方程的关系是解题的关键．
48．3
【分析】
①由开口向上得到
，由对称轴在
轴左侧得到
，由函数图象与
轴的交点在
轴的
正半轴上得到
，进而得到
的正负情况；
②由函数图象与轴的交点个数得到
的正负；
③由对称轴为
得到
，然后由当
时，
得到
的正负；
④由对称轴为
和
时，
，得到
时，
，再由
，得到当
时，
；
⑤由方程的根得到函数与轴的交点横坐标分别为
，
，进而由方程
的两根为
，即为函数
与直线
的交点横坐标，得到
与
、
与
之间的关系．
解：①
开口向上，对称轴在
轴左侧，函数图象与
轴的交点在
轴的正半轴上，
，
，
，
，故①错误，不符合题意；
②
函数图象与
轴有2 个交点，
，
，故②正确，符合题意；
③
对称轴为
，
，
，
当
时，
，
，
，故③错误，不符合题意；
④
对称轴为
，且当
时，
，
时，
，当
时，
随
的增大为减小，
，得到当
时，
，故④正确，符合题意；
⑤
，
是方程
的两根，
与轴的两个交点的横坐标为
，
，
方程
的两根为
，，
函数
与直线
的交点横坐标位
，，
函数图象开口向上，
，
，故⑤正确，符合题意，
正确的个数有3 个，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与轴的
交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系．
49．1 或
【分析】
先运用根的判别式求得k 的取值范围，进而确定k 的值，得到抛物线的解析式，再根据折叠
得到新图像的解析式，可求出函数图象与x 轴的交点坐标，画出函数图象，可发现，若直线与新
函数有3 个交点，可以有两种情况：①过交点（-1，0），根据待定系数法可得m 的值；②不过
点（一1，0），
与
相切时，根据判别式解答即可．
解：∵函数
与x 轴有两个交点，
∴
，解得
，
当k 取最小整数时，
，
∴抛物线为
，
将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得
到一个新图象，所以新图象的解析式为
（
或
）
：
①因为为
的
，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3 个交
点时它一定过
，把
代入
得
所以
，
②
与
相切时，图象有三个交点，
，
，解得
．
故答案为：1 或
．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识点，掌
握分类讨论和直线与抛物线相切时判别式等于零是解答本题的关键．
50．①②④
【分析】
把(1，m)代入
得，
，①由mc＜0，a＜0 讨论
及
两种情况即可得①成立；②由a＜0，
，根据有理数的加法法则得到
，
且
即可得②成立；③依题意可知，二次函数
的图像的对称轴为
，根
据轴对称的性质可知抛物线过(-3，m)，方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）可化为
，因
为方程有整数解，借助函数图像，可得整数解为-2，-1，0，故符合条件的p 值有两个，③不正确；
④当a≤x≤a+2 时，二次函数的最大值为c，讨论当
或
或
三种情况即可
得解．
解：
，
或
，
把(1，m)代入
得，
，
，
，显然当
时，
不成立，
，故①成立；
根据有理数的加法法则，可知：
，根据绝对值及相反数的意义，得
，
a＜﹣
，故②成立；
二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c 为常数且a＜0）经过(1，m)，且对称轴
，
根据轴对称的性质可知抛物线必过(-3，m)，如图，
关于x 的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）可化为：
，
方程
的整数解有-2，-1，0，故符合条件的p 值有两个，③不正确；
当a≤x≤a+2 时，二次函数的最大值为c，且抛物线的对称轴为
分情况讨论：
，抛物线的开口向下，
分情况讨论：
Ⅰ）
，即
，
当
时，二次函数有最大值为
，
解，得
，
，
，
，故④成立；
Ⅱ）
，即
，
当
时，二次函数的最大值为
，
解，得
，
，不合题意，舍去；
当
时，
时，二次函数的最大值为
，
解，得
，不合题意，舍去；
综上所述，①②④成立．
故答案为 ：①②④.
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程
的关系及有理数的运算法则，分类讨论思想是解本题的关键．
51．－1≤k＜1 或k＝
根据题意分两种情况：当抛物线y＝x2－2x＋k 与直线y＝x－1 只有一个交点时，根据根的判
别式可求解；当抛物线y＝x2－2x＋k 与直线y＝x－1 有两个交点但在0≤x≤2 范围内只有一个交点
时，可知顶点（1，k-1）在（1,0）下方；当x=0 时，抛物线的图象不在直线下方；当x=2 时，抛
物线的图象在直线下方，列出不等式确定出公共部分即可．
解：分两种情况：
当抛物线y＝x2－2x＋k 与直线y＝x－1 只有一个交点时，
x2－2x＋k＝x－1，
x
∴
2－3x＋k+1＝0，
∴
k
∴＝
，
此时的交点横坐标为
，在0≤x≤2 范围内，符合题意；
当抛物线y＝x2－2x＋k 与直线y＝x－1 有两个交点但在0≤x≤2 范围内只有一个交点时，
∴顶点（1，k-1）在（1,0）下方；当x=0 时，抛物线的图象不在直线下方；当x=2 时，
抛物线的图象在直线下方，
∴
∴－1≤k＜1，
故答案是：－1≤k＜1 或k＝
【点拨】本题考查了二次函数的性质，运用数形结合的思想正确理解抛物线y＝x2－2x＋k 与
直线y＝x－1 在0≤x≤2 范围内只有一个交点的条件是关键．
52．①③④
【分析】
将A、B 两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值
的意义，可判断结论②；C，D 为抛物线与x 轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计
算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4 时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3
时，y 的取值范围便可判断结论④；
解：将A、B 两点坐标代入抛物线得：
，
解得
，故结论①正确；
抛物线对称轴为
=2，函数开口向下，
|
∵x1
2|
|
﹣﹣x2
2|
﹣＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远，
∴y1＜y2，故结论②错误；
设C（x3，0），C（x4，0），
由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=
，
|
∴ x3－x4|=
，
解得：a
，故结论③正确；
由题意知：x=4 时，y=3，
3≤
∵
x≤4，对应的y 的整数值有3 个，函数开口向下，
∴y 对应的整数值为：5，4，3，
∴x=3 时，对应的y 值：5≤y＜6，
5≤9
∴
a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，
解得﹣1＜a
，故结论④正确；
故答案为：①③④；
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；
掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
53．-1 或
．
【分析】
由题意可以得到关于a、b、c 的方程组，最后得到a 的值．
解：由题意可知：
解得：
或
．
故答案为：a=-1 或
．
【点拨】本题考查抛物线与方程组的综合应用，通过抛物线上的点坐标及抛物线在x 轴上截
得的线段长得到方程组是解题关键．
54．6
【分析】
根据题意可以得到水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离就是OP 的长度，利用配方
法或公式法求得其顶点坐标的横坐标的2 倍即为本题的答案．
解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+6x，
y=-x
∴
2+6x=-（x-3）
2+9，
∴顶点坐标为：（3，9），
∴水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为OP=3×2=6（米），
故答案为：6．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，
利用函数的知识解决实际问题．
55．(1)
(2)
(3)
(4)(
，
)或(
，
)或( ，
)
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的三角形的性质与点C 的坐标特征求得点A 与点B 的坐标，利用
待定系数法即可求解；
（2）直接把点B 与点C 的坐标代入
即可求解；
（3）由抛物线与x 轴的交点关于对称轴直线对称求得点D 的坐标，在利用点C 的坐标分别
求得OC，BD 的长即可求解；
（4）分两种情况：当点M 在直线AB 的上方时，如图所示；当点M 在直线AB 的下方时，如
图所示，利用铅垂线法求得△ABM 的面积，利用
的面积与
的面积相等列出方程求
解即可．
(1)解：∵点
的坐标为
，且
平行于轴，
∴点
的坐标为
且
，
∵
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∴点
的坐标为
，
设直线
的解析式为
，
由题意得
，解得
，
∴直线
的解析式为
；
(2)解：∵抛物线
过
，
两点，
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为
；
(3)解：抛物线的解析式为
，
∴抛物线的对称轴直线为
，
∵点
的坐标为
，点
与点D 关于对称轴对称，
∴点D 的坐标为
，
∴
，
∵点
的坐标为
，
∴
，
∴
(4)解：∵点
的坐标为
，且
平行于轴，
∴
，
∴
，
当点M 在直线AB 的上方时，如图所示，
过点M 作
轴，交直线AB 于点N，设M 的坐标为( ，
)，则N 的坐标
为( ，
)，
∴
，
∴
，
∵
的面积与
的面积相等，
∴
，
解得
或
（舍，该点为点C），
此时M 的坐标为( ，)或( ，)；
当点M 在直线AB 的下方时，如图所示，
过点M 作
轴，交直线AB 于点N，设M 的坐标为( ，
)，则N 的坐标
为(
，
)，
∴
，
∴
，
∵
的面积与
的面积相等，
∴
，
解得
此时M 的坐标为(
，
)或(
，
)；
综上可得，M 的坐标为(
，
)或(
，
)或( ，)．
【点拨】本题是一道二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图
象和性质以及利用二次函数的性质求与面积有关的问题．
56．(1)
；
(2)①
或
；②
【分析】
（1）将点P 的坐标代入二次函数解析式可得关于a 的方程，再解方程即可得出a 的值．将
二次函数的解析式进行配方，即可得到图象的顶点坐标；
（2）①将点Q 的坐标代入二次函数解析式，求解方程即可得到m 的值；
②根据当
时，二次函数取最小值为2，得出
，解关于m 的不等式组即可．
(1)解：∵二次函数
的图象经过点
，
∴
．
解得：a=2；
∴二次函数的解析式为
．
∴图象的顶点坐标是
．
(2)①∵点
在该二次函数图象上，且n=11，
∴
．
解得
，
，
∴m 的值为-4 或2；
②∵二次函数
的最小值为2，
∴
，
解得：
，
∴m 的取值范围是
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，二次函数的最值，能够正确
应用数形结合思想是解题关键．
57．（1）过程见分析，
=
，
=
；（2）
；（3）①，
；②见
分析
【分析】
（1）利用公式法求解即可．
（2）因为
表示的是函数
与轴交点时的情境，即函数
的值为0 时，
所以把方程
的解看成是二次函数
的图象与轴交点的横坐标，可以得到
答案．
（3）①由
变形为
，因为
都是变量的函数，所以
，当
两个函数的函数值相等，即此时的函数值为两个函数的交点的纵坐标，从而观察图像可以得到交
点的横坐标得到答案．
②利用一次函数与二次函数的作图方法在同一直角坐标系中作出图像即可．
（1）解：∵
，
∴
．∴
．
∴原方程的解是
=
,
=
.
（2）因为求二次函数.
与轴交点时，把交点的纵坐标
代入函数解析式得到
的解是交点的横坐标，所以求方程
的解时就可以画出
的图像，
观察交点的横坐标就是方程
的解．
故答案为
．
（3）因为
，
所以
，因为
都是变量的函数，
建立
考查的两个函数分别是
，两个函数的交点的横坐标就是方程
的解．
故答案为：
与．.
每画出正确函数图象如下：
【点拨】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次
方程之间的联系，并从中择取有用信息解决问题是关键．
58．(1)①
，
，
，
②m>0 或m<－3(2)-9(3)
或
或
【分析】
（1）当
，
时，
，令
时，求解方程的解即可；②将P(m，n)代入
y＝ax2+3ax+c 中，要使n－c＞0，即可得
，解出不等式即可；
（2）根据抛物线恒在x 轴下方，可得
，求出a 的取值范围，根据符合条件
的整数a 只有三个，判断并求出c 的取值范围，从而求出c 的最小值；
（3）根据点A 的坐标得到抛物线解析式为
，然后根据－2c＜x＜c 时，抛物线
与x 轴只有一个公共点，分三种情况：①当
时，②当
时，③当
时，进行
分类讨论求出符合题意的a 的取值范围.
(1)解：①当
，
时，
，
当
时，
，
解得：
，
，
抛物线与
轴的交点坐标
，
，
，
；
②
，
，
，
，
解得：
或
；
(2)解：∵抛物线恒在x 轴下方，
，解得：
，
∵符合条件的整数a 只有三个，
，
解得：
，
的最小值为
，
(3)解：∵点A 的坐标是(0，1)，
，
，
又∵当
时，抛物线与x 轴只有一个公共点，
当
时，
，
当
时，
，
①当
时，
，解得：
，
或者
，无解
②当
时，
，无解，
或者
，解得：
，
③当
时，解得：
，
此时，
，
令
时，则
，解得：
，
，
符合题意，
综合上述可知：a 的取值范围为：
或
或
.
【点拨】此题主要考查的是函数图象与x 轴的交点问题，在x 的取值范围内，根据交点个数
进行分类讨论，从而求出a 的取值范围．
59．(1)证明见分析(2)当
或
时，
；当
时，
；当
时，
(3)
，且
【分析】
（1）令
，可得出的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
（2）先求出
，然后分三种情况讨论即可；
（3）先求出抛物线与轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0＜x＜3 范围内分
和
两种情况确定函数的最大值，从而得出结论．
(1)解：令
，
即
，
∴
或
，
即
，
，
∵
，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图像与轴总有两个公共点．
(2)解：∵点
，
在函数图像上，
∴当
时，
，
当
时，
，
∴
，
∴当
或
时，
，
当
时，
，
当
时，
．
(3)解：∵二次函数
，
整理可得：
，
由（1）可知：当
时，解得：
，
，
∴二次函数的图像交轴于
和
两点，
对称轴
，
当
时，
，
∴二次函数图像的顶点坐标为
，
由（2）可知：当
时，
，
当
时，
，
当
时，二次函数的图像开口向上，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴
，
当
时，二次函数图像开口向下，
∵对称轴
，
当
，即
时，
∴二次函数图像在顶点处取得最大值，
∴
，
解得：
，
∴
，
当
,即
,
由题意可知，
,解得：
,即a=-2;
综上所述，当
时，
，的取值范围是：
，且
．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与轴的交点，二次函数的
性质，二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式
（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法．解题的关键是在某一范围内的函数最大值的确
定．
60．(1)
(2)（-1，-3）(3)
或
(4)
或
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式
的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处
的自变量的取值范围，进行求解即可；
（4）分点P 在点B 下方，点P 在线段AB 上，点P 在A 点上方进行讨论求解即可．
(1)解：∵抛物线
与直线y＝x＋n 交于点
和点B，
∴
，
∴
；
(2)解：由（1）得抛物线解析式为
，直线解析式为
，
联立
，
解得
或
（舍去），
∴点B 的坐标为（-1，-3）；
(3)解：由题意得不等式
的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交
点处的自变量的取值范围，
∴不等式
的解集为
或
；
(4)解：如图所示，当点P 在点B 下方时，线段PQ 与抛物线没有交点；
当点P 在线段AB 之间（包含B 不包含A）时，线段PQ 与抛物线只有一个交点，此时
，当P 在A 点时，线段PQ 与抛物线有两个交点；
当线段PQ 恰好经过抛物线顶点时，线段PQ 与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为
，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P 的纵坐标为1，
∴点P 的坐标为（3，1），
∴
；
综上所述，线段PQ 与抛物线只有一个公共点，
或
．
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不
等式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
61．(1)y＝
（x+2）
2+1； y＝
（x-2）
2-3(2)-1，两个交点，理由见分析
(3)
或
【分析】
（1）已知抛物线的顶点坐标，设顶点式，将点代入求a，确定函数关系式；
（2）把
，
代入二次函数解析式，再求
即可；
（3）把m=-3，和m=-1 分别代入抛物线解析式，求出a 值，确定取值范围即可．
(1)解：当顶点为A（﹣2，1）时，
设函数解析式为y＝a（x+2）
2+1（a≠0），
∵二次函数的图象过点B（2，﹣3），
3
∴﹣＝（2+2）
2a+1
解得a＝
，
∴二次函数解析式为y＝
（x+2）
2+1；
当顶点为B（2，-3）时，
设函数解析式为y＝a（x-2）
2-3（a≠0），
∵二次函数的图象过点A（-2，1），
1
∴＝（-2-2）
2a-3
解得a＝
，
∴二次函数解析式为y＝
（x-2）
2-3．
(2)解：把
，
代入二次函数解析式得，
，
，
两式相减得，
，解得
；
把
代入
得，
，
即
，
；
当
时，
；抛物线与x 轴有两个交点；
当
时，
，
∵
，
∴
；抛物线与x 轴有两个交点．
(3)解：当
时，抛物线开口向下，当m=-3 时，把
，
代入得，
，解得，
，
抛物线开口越小，a 的越大，故此时a 的取值范围为
；
当
时，抛物线开口向上，当m=-1 时，（-1,0），
，
在y=-
x+1 这条直线上，此时，此时a 的取值范围为
；
综上，a 的取值范围为
或
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是熟练运用待定系数法求二次函数解
析式，关键二次函数图象的性质进行推理计算．
62．(1)
(2)
【分析】
（1）根据对称轴公式求解即可；
（2）把关于x 的一元二次方程
（t 为实数）在
的范围内有实数根转化
为抛物线
（t 为实数）在
的范围与x 轴有交点，画图判断即可．
解：(1)∵抛物线
的对称轴为直线
，
∴
．
解得
，
故二次函数解析式为
．
(2)已知
，关于x 的一元二次方程
变形为
．
把关于x 的一元二次方程
（t 为实数）在
的范围内有实数根转化
为抛物线
（t 为实数）在
的范围与x 轴有交点（如图所示），
∴
；且
时，
，且
时，
．
即
解得：
．
故t 的取值范围
．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，理解一元二次方程和二次函数之间的关系是解题
的关键．
63．（1）见分析；（2）
．
【分析】
（1）证明Δ＞0 即可；
（2）利用抛物线与x 轴的交点问题，则x1、x2为方程
的两根，利用根
与系数的关系得到x1＋x2＝-
＝8，x1•x2＝
，再变形|x1−x2|＝2 得到（x1＋x2）2−4x1•x2＝
4，所以82−4•
＝4，然后解出m 即可得到抛物线解析式．
解：（1）证明：△＝64m2−4m•（16m−1）＝4m，
∵m＞0，
Δ
∴＞0，
∴抛物线总与x 轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x1、x2为方程
的两根，
∴x1+x2＝-
＝8，x1•x2＝
，
|
∵x1−x2|＝2，∴（x1+x2）
2−4 x1•x2＝4，
8
∴
2−4•
＝4，∴m＝1，
经检验：
符合题意；
∴抛物线的解析式为
．
【点拨】本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝
ax2＋bx＋c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．
