文档文本内容
第五章 一元一次方程
知识点一 等式的性质（解方程核心依据）
1. 等式的性质1
等式两边同时________（或________）同一个数（或同一个整式），等式仍然成立。
若 𝑎= 𝑏，则 𝑎± 𝑐= 𝑏± 𝑐。
用途：移项、消去常数项。
2. 等式的性质2
等式两边同时________同一个数，或________同一个不为________的数，等式仍然成立。
若 𝑎= 𝑏，则 𝑎𝑐= 𝑏𝑐；若 𝑎= 𝑏(𝑐≠0)，则
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐。
用途：系数化为1、去分母。
易错注意
等式两边必须同时、相同操作，不能只变一边；除数绝对不能为________。
知识点二 一元一次方程的定义与相关概念
1. 一元一次方程定义
只含有________个未知数，未知数的最高次数为________，且等号两边都是整式的方程。
标准形式：𝑎𝑥+ 𝑏= 0 (𝑎≠0)
2. 三大判定条件（缺一不可）
① 只含________未知数；
② 未知数次数为________；
③ 整式方程（分母不含________、无根号含未知数）。
3. 方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的________。
检验方法：把数值代入左右两边，看是否相等。
4. 含参一元一次方程
若题目为一元一次方程，必须满足：未知数系数≠0，次数=1。
知识点三 解一元一次方程的一般步骤（必考）
完整六步流程，考试严格按步骤得分
1. 去分母
方程两边同乘所有分母的________________；不含分母的常数项也要乘。
2. 去括号
正号________号，负号________号；括号外有数需逐项乘，不漏乘。
3. 移项
把含未知数的项移________，常数项移________；移项必须________。
4. 合并同类项
化为最简形式：________________。
5. 系数化为1
两边同除以未知数系数 𝑎，得 ________。
6. 检验（草稿完成）
代入原方程验证左右相等。
知识点四 列一元一次方程解决问题的一般步骤
1. 审：________________
读懂题意，找出已知量、未知量、等量关系。
2. 设：________________
一般直接设所求量为 𝑥；复杂题可间接设。
3. 列：________________
根据题目不变的等量关系列出一元一次方程。
4. 解：________________
按六步标准流程求解。
5. 验：________________
检验解是否符合实际意义（人数、天数、长度不能为负、小数不合理需舍去）。
6. 答：________________
规范作答，完整写清问题结果。
知识点五 一元一次方程实际应用常见模型（期末大题必考）
1. 和差倍比问题
关键词：几倍、多多少、少多少、一共、剩余。
核心：根据倍数、和差关系列等式。
2. 行程问题
基本公式：路程= ________________________
相遇、追及、往返、变速问题，核心找路程等量。
3. 工程问题
总工程看作1，工作效率=1÷工作时间。
核心：工作量之和=总工作量。
4. 利润折扣问题
利润=________________；利润率=________________；售价=________________。
5. 浓度问题
溶质质量不变，稀释、浓缩、混合抓溶质等量。
6. 计费、方案选择问题
两种收费方式费用相等时为分界点，用于判断最优方案。
7. 数字、年龄问题
年龄差永远不变；数位数字按位权表示。
易错点1 方程定义与解的概念混淆
易错提醒
易错点总结
1. 混淆一元一次方程三要素：误把分母含字母、次数为2、含两个未知数的式子当成一元一次方程。
2. 含参方程不会判断：忽略 一次项系数不为0、次数必须等于1 两个条件，漏写限制条件。
3. 不会检验方程的解：代入求值时代入左右某一边，没有完整对比两边是否相等。
4. 混淆“方程、等式、代数式”：代数式不带等号，方程必须带等号。
注意事项总结
1. 一元一次方程铁律三条件：一个未知数、次数为1、整式方程。
2. 含参题型必须同时满足：次数=1、系数≠0，缺一不可。
3. 检验解：必须分别算出左边、右边，左右相等才是解。
4. 无等号是代数式，有等号才是方程。
【对点训练】1．关于x 的方程ax
b
=
，下列说法正确的是（ ）
A．若a
b
=
，则方程的解为
1
x =
B．方程的解为
b
x
a
=
C．当
0
b
a
-
>
时，则
0
x >
D．当
0
a
b
=
=
时，方程的解为任意数
易错点2 含小数、分数系数的方程化简错误
易错提醒
易错点总结
1. 去分母时，常数项忘记乘最小公倍数，是最常见扣分点。
2. 分子为多项式时，去分母后不加括号，导致符号错乱。
3. 小数方程分不清：利用分数性质化整，和去分母混为一谈。
4. 去括号漏乘、负号变号不彻底，导致整题结果错误。
注意事项总结
1. 去分母口诀：所有项全部乘，不含分母的常数项也要乘。
2. 分子是加减式子，去分母后必须整体加括号。
3. 小数系数：先利用分数基本性质化为整数分母，再正常去分母。
4. 负括号：括号内每一项全部变号，杜绝局部变号。
【对点训练】2．解方程：
(1)
4
3 12
6
x
x
-
-
=
(2) 3
1
5
2
1
4
6
x
x
-
-
- =
(3)
4
1
10
0.2
0.5
x
x
+
-
-
= -
易错点3 无解与无数解的判断
易错提醒
易错点总结
1. 不会区分三种情况：唯一解、无解、无数解，参数取值混乱。
2. 化简为
𝑎𝑥= 𝑏
后，看错系数，搞反无解和无数解条件。
3. 忽略前提：题目若是一元一次方程，必须保证 a≠0，不能出现无解、无数解。
注意事项总结
1. 方程统一化为最简：
𝑎𝑥= 𝑏2. 三种情况满分口诀：
① a≠0：唯一解
𝑥= 𝑏
𝑎② a=0，b≠0：无解
③ a=0，b=0：无数个解
3. 题干明确“一元一次方程”，则只能 a≠0，不存在无解、无数解。
【对点训练】3．已知关于x 的方程ax
b
=
，当
0
a ¹
，b 取任意实数时，方程有唯一解；当
0
a =
，
0
b =
时，
方程有无数解；当
0
a =
，
0
b ¹
时，方程无解．若关于x 的方程
6
3
2
6
a
x
x
x
-
=
-
无解，则a 的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．0
D．1
±
易错点4 一元一次方程与实际应用问题
易错提醒
易错点总结
1. 找不到等量关系，凭感觉列式，方程左右不相等。
2. 单位不统一、倍数关系写反、多/少条件弄反。
3. 解出负数、小数人数、不合理数值，不舍去，直接作答。
4. 利润、折扣、工程、行程公式记错，列式根本性错误。
注意事项总结
1. 应用题核心：找不变量、找等量关系，再列方程。
2. 列式前统一单位，分清“多、少、倍、增加、减少”。
3. 必须检验实际意义：人数、个数、天数必须为正整数，不合理直接舍去。
4. 熟记固定模型公式：行程、工程、利润、浓度、计费问题模板。
【对点训练】4．列方程（组）解下列问题：
荣昌陶是“中国四大名陶”之一．安陶小镇某陶艺工作室今年四月份分别销售紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯100
个、150个，仅这两种陶瓷茶杯的销售额就达到3万元．已知紫精轩的销售单价比瓷青的销售单价多50 元．
(1)求紫精轩、瓷青两种陶瓷茶杯的销售单价各是多少元？
(2)五月份，该工作室对紫精轩、瓷青这两种茶杯进行降价促销，其中紫精轩每个降价m 元，瓷青每个降价20
元，该工作室五月份销售这两种茶杯数量比四月份明显增加，其中紫精轩销售数量增加50%，瓷青多销售5
3 m
个．这样，五月份该工作室这两种茶杯的销售总额就比四月份这两种茶杯的销售总额增长2
15 ．求m 的值．
易错点5 一元一次方程与数轴动点问题
易错提醒
易错点总结
1. 不会表示动点坐标，速度方向看错，正负号写反。
2. 两点距离公式乱用：不判断左右位置，直接大数减小数。
3. 相遇、追及时间等量关系找错，路程关系列反。
4. 漏解：未分类讨论动点不同运动阶段。
注意事项总结
1. 动点万能表示：初始位置 ± 速度×时间（右加左减）。
2. 数轴两点距离：|𝑥1 ― 𝑥2|，带绝对值避免位置判断错误。
3. 相遇：路程和=总距离；追及：路程差=初始距离。
4. 动点题多为多解，一定要分类讨论。
【对点训练】5．如图，在数轴上，点A，B 在原点O 的两侧，分别表示3
- ，x，
7
3
BO
AO
=
．点P 以每秒1
个单位的速度从点A 向右运动，同时，点Q 以每秒3 个单位的速度从点B 向左运动，N 是线段PQ 的中点，
设运动时间为t．
(1)求点A 与点B 之间的距离；
(2)当t 为何值时，
2
QO
PO
=
，并求出此时点N 表示的数；
(3)在P，Q 两点开始运动时，点M 以每秒k 个单位的速度从点O 向左运动．点Q 经过原点后，其速度变为
原来的2 倍，点Q 变速后，若线段MN 的长度始终是一个定值，求k 的值．
易错点6 一元一次方程新定义问题
易错提醒
易错点总结
1. 看不懂题目新运算，直接套用旧公式，审题错误。
2. 代入新定义时数字、字母对应错位。
3. 新定义方程化简过程符号出错、漏项。
4. 不会根据新定义的限制条件取舍答案。
注意事项总结
1. 新定义题：严格照题目规则运算，不自己脑补公式。
2. 先套公式，再化简，最后解方程，步骤不能乱。
3. 逐项对应代入，不跳步、不省略。
4. 解完必须回看题干限制条件，舍去不符合的解。
【对点训练】6．19 世纪中叶，代数学迎来蓬勃发展．伽罗瓦、阿贝尔等数学家为破解方程可解性难题，突
破了四则运算的局限，形成一种“自定义运算”的思想，让代数从具体的数字运算迈入抽象的结构研究，开启
了现代代数的新纪元．小天和小河运用这种思想开展了相关问题研究．
定义：对于任意的有理数a ，b ，定义新运算
,
Å 令
1
2
a
b
a
b
a
b
Å
=
-
+
+
．
(1)探究性质：
①填空：当
4
a =
，
2
b =
时，计算a
b
Å
= ________；
②当a
b
>
时，化简a
b
Å
；并直接写出a
b
<
时a
b
Å
的值．
(2)性质应用：
①计算：
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
-
Å -
Å -
Å -
Å -
Å Å Å
Å Å
Å
= ________；
②若
2
5
a
m
m
=
+
，
2
2 3
1
b
m
m
m
= -
+
+
-
，求a
b
Å
的值；
③解方程：
3
1
x
x
x
Å -
=
+ ．
一、单选题
1．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号
min
,a b 表示a，b 两数中较小的数，如
min
2,3
2
-
= - ．按照这个规定，方程
min
,
2
1
x
x
x
-
+
= - 的解为（ ）．
A．
1
x = -
B．
1
3
x = -
C．
1
x = - 或
1
3
x =
D．
1
2
x =
2．方程2
3
3
5
6
x
x
-
+
+
=
实数根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．有1 个实数根
C．有2 个实数根
D．有无数个实数根
3．按下面的程序计算：
若输入
25
m =
，输出结果是115；若输入
30
m =
，输出结果是65．若开始输入m 的值为正整数，最后输出的
结果为75，则开始输入m 的值可能有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
4．将正整数1 至1000 按一定规律排列如表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2030
5．家用前置前驱轿车前轮负重、转向、制动摩擦大，因此磨损快于后轮．同规格原厂轮胎安装在前轮最多
行驶4 万公里报废，安装在后轮最多行驶6 万公里报废．为使轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在
汽车行驶一定路程时，将前后轮胎进行一次调换，那么这两对轮胎最多可以行驶（ ）
A．2.4 万公里
B．2.5 万公里
C．4.8 万公里
D．5 万公里
二、填空题
6．如图所示，淇淇做了一个程序图，如输入
2
m = - ，因为2
1
-
- <
，所以
( 2)
( 7)
5
n = - -
+ -
= - ；输入
0
m =
，
因为0
1
> - ，所以将0
2
2
-
= - 作为m 再次进行判断和计算．若淇淇某次输入有理数m 后，输出的结果n 为
5.5
-
，请你写出m 的2 个可能值________．
7．满足
2
3
7
x
x
+
+
-
=
的整数x =____________．
8．若关于x 的方程
3
x
m
+
=
和2
6
4
x -
=
有相同的解，则m = ______．
9．若有理数a ，b 同时满足
5
b
a
=
+
，
11
a
b
+
=
，则ab 的值为________
10．我们把不超过有理数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作
x ，又把
x
x
-
称为x 的小数部分，记作
x ，则有
x
x
x
=
+
．如：
1.2
1
= ，
1.2
1.2
1.2
1.2 1
0.2
=
-
=
- =
，
1.2
1.2
1.2
=
+
；
3.17
4
-
= - ，
3.17
3.17
3.17
3.17
4
0.83
-
= -
- -
= -
- -
=
，
3.17
3.17
3.17
-
= -
+ -
．若x 是大于5
- 且小于4
- 的有理数，
且
3
1
3
x
x
x
+ =
+
，则x 的值为___________．
三、解答题
11．解方程．
(1)
4
3 20
6
7 9
x
x
x
x
-
-
=
-
-
；
(2)
5 2
4
1
1
1
3
2
12
x
x
x
-
+
-
+
= -
．
12．一项工程，甲队单独完成需30 天，乙队单独完成需45 天，现甲队先单独做20 天，之后两队合作完成
此项工程．
(1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？
(提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率=总工作量¸ 工作时间)
(2)甲队施工一天需付工程款3.5 万元，乙队施工一天需付工程款2 万元，若该工程计划在40 天内完成，在
不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完
成该工程省钱？
13．如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足
2
2
6
0
a
b
+
+
-
=
．
(1)a =________，b = ________；
(2)点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程
1
2
1
2
2
x
x
- =
+
的解，点M 是BC 的中点，在数轴上是否存在点
P ，使
8
PA
PM
+
=
，若存在，直接写出点P 对应的数；若不存在，说明理由；
(3)在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位长度/ 秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处
以2 个单位长度/ 秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）小球乙以原来的速度
向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
14．在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下：
解方程：3
1
7
2
2
3
x
x
-
-
-
=
．
解：去分母，得
3 3
1
2
7
12
x
x
-
-
-
=
第一步
去括号，得9
3 2
14 12
x
x
- -
-
=
第二步
移项，得9
2
12
3 14
x
x
-
=
+ +
第三步
合并同类项，得7
29
x=
第四步
系数化为1，得
29
7
x =
第五步
(1)第________步开始出现错误；（填序号）
(2)写出正确求解过程．
15．对于数轴上不重合的两点A ，B ，给出如下定义：若数轴上存在一点M ，通过比较线段AM 和BM 的
长度，将较短线段的长度定义为点M 到线段AB 的“绝对距离”．若线段AM 和BM 的长度相等，将线段AM
或BM 的长度定义为点M 到线段AB 的“绝对距离”．
(1)当数轴上原点为O ，点A 表示的数为1
- ，点B 表示的数为5时．
①点O 到线段AB 的“绝对距离”为_____________；
②点M 表示的数为m ，若点M 到线段AB 的“绝对距离”为3，则m 的值为_____________；
(2)在数轴上，点P 表示的数为6
- ，点A 表示的数为3
- ，点B 表示的数为2，点P 以每秒2 个单位长度的速
度向正半轴方向移动时，点B 同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动．设移动的时间为
0
（
）
>
t t
秒，
当点P 到线段AB 的“绝对距离”为2 时，求t 的值．
