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一元二次方程的整数根问题 题集【B】
1. 判别式为完全平方式
1.
【解析】
【标注】
已知方程
有两个不相等的负整数根，求整数的值．
【答案】
．
由题意得：
，
，
∴
，
，
由求根公式得：
，
，
∵方程有两个不相等的负整数根，
∴
，
，
，
，
，
，
，
即：
，
，
，
，
，
，
，
∴
或
．
∴
．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
已知方程
是关于的一元二次方程．
求证：对任意不为零的实数
，方程总有两个实根．
若方程的两根均为整数，且有一根大于，求满足条件的整数
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
2
（2 ）
【标注】
，
∴对任意不为零的实数
，方程总有两个实根．
一元二次方程可化为
，
则
，
，
∵方程两个根均为整数，且有一个根大于，而
，
∴
，
∴
．
【知识点】整数根-分离常数法
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知方程
有两个不相等的整数根，
求整数的值．
求实数的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
，
，
．
，
，
，
因为方程有两个整数根，即
，
，
，
，
，
，
所以
，
．
由
，
得
，
，
化简得
，所以
，
，
，
，
，，
，，
，
所以
，
，
．
【知识点】整数根-分离常数法
（1 ）
（2 ）
4. 完成下面问题．
若关于的方程
的解都是整数，求符合条件的整
数的值．
在第（）问中，若为实数，求符合条件的所有实数的值．
【答案】（1 ），，，，
．
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ），，，
，
，
，，
，
．
当
时，解得
；当
时，解得
．
当
且
时，原方程可分解为
，
解得
，
．
是整数知
，
，
，故
，，，
，
；
是整数知
，
，
，
，故
，，
，，
，
，．
综上所述，
，，，，
时原方程的解都是整数．
由（）知
或
时，原方程的解都是整数．
当
且
时，原方程解得
，
，即
，
整理得
，分解得
，
于是有
，解得
，
，
，
，
，
，
，
，
于是
，
，
，
，
，，．
综上
，，，
，
，
，，
，
时原方程的解都是整数．
【知识点】由一元二次方程的解求参数的值
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
回答下列问题．
若关于的方程
的解都是整数，求符合条件的
所有整数的值．
在第（）问中，若为实数，求符合条件的所有实数的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
，，，．
，，
，，．
当
时，解得
；当
时，解得
．
当
且
时，原方程可分解为
，
解得
，
．
由
是整数知
，
，此时
，，；
由
是整数知
，
，
，此时
，，，，
．
综上所述，
，，，时原方程的解都是整数．
由（）知
或
时，原方程的解都是整数．
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【标注】
当
且
时，原方程解得
，
，
即
，整理得
，分解得
，
(这一步也可以用分离常数法，解得
，两种方法完全等价)
于是有
，
，解得
，
，
，
于是
，
，．
综上所述，当
，，
，，时，原方程的解都是整数．
【知识点】由一元二次方程的解求参数的值
2. 判别式为一次式
1.
【解析】
【标注】
求关于的方程
有整数根．为正整数时，的值．
【答案】当
和时，符合题意．
．
∵为正整数，
∴
，即
，，．
当
时，
（不为完全平方数，舍弃）；
当
时，
，
，
；
当
时，
，
；
所以，当
和时，符合题意．
【知识点】整数根-△为给定范围一次式
2.
【解析】
已知一元二次方程
，且
是边长为的菱形对角线的长，求取
什么整数值时，方程
的根都是整数？
【答案】
时，方程
的根都是整数．
∵
为一元二次方程，
∴
，
∴
．
∵
是边长为的菱形对角线的长，
∴
，
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【标注】
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∵为整数，
∴
或或．
当
时，
，方程为
，根为
，
，符合题意；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，不符合题意．
∴
．
【知识点】整数根-△为给定范围一次式
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
解答下列各题．
已知
，且关于的二次方程
有两个整数根，求整数
．
当
是什么整数时，关于的一元二次方程
与
的根都是整数．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由题意得，
必然是一个完全平方数．
又
可知，
，又
为奇数，故
．
此时原方程的两个实数根为：
，不妨设
，则
，
，
故
．满足
为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注
意．
由题意可知，方程
的判别式
，
方程
的判别式为
故
，又
为整数，
，故
或
，
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【标注】
当
时，题干中的两个方程分别为
、
，满足题意；
当
时，题干中的两个方程分别为
、
，不合题
意．
故
．
也可通过方程是否有整数根的条件来判断出
，此时两个判别式都要是完全平方数．
【知识点】一元二次方程根的判别式
3. 3. 判别式为二次式
1.
【解析】
【标注】
求关于的方程
有整数根．为正整数时，的值．
【答案】
、
、
．
∵
．
由为正整数，当
是完全平方数时，方程才有可能有整数根．
设
（其中
为整数），
（、均为整数），
∴
．即
．
不妨设
，两式相加，得
．
∵
与
的奇偶性相同，
∴
可分解为
，
，
，
，
∴
或
或
或
．
∴
或
或
（不合题意，舍去）或．
当
时，方程的两根为
，即
，
；
当
时，方程的两根为
，即
，
；
当
时，方程的两根为
，即
，
．
【知识点】整数根-△为给定范围一次式
2. 已知是正整数，如果关于的方程
的根都是整数，求的值
及方程的整数根．
【答案】当
时，原方程的三个根为，
和
；
当
时，原方程的三个根为，
和
．
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【解析】
【标注】
观察易知方程有一个整数根
，
将方程的左边分解因式，得：
．
因为是正整数，
所以关于的方程：
①的判别式
，它一定有
两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，
因此它的判别式
应该是一个完全平方数．
设
(其中为非负整数)，
则
，即：
．
显然
与
的奇偶性相同，且
，
．
而
，
所以
或
或
，
解得
或
或
．
而是正整数，
所以只可能
或
．
当
时，方程①即
，它的两根分别为
和
．
此时原方程的三个根为，
和
．
当
时，方程①即
，它的两根分别为
和
．
此时原方程的三个根为，
和
．
【知识点】解一元二次方程
3.
【解析】
【标注】
已知关于的方程
对于任意有理数
均有有理根，求的值．
【答案】
．
因为关于的方程均有有理根,所以方程
的判别式
必为完全平方式；
所以关于
的一元二次方程
必有两个相等的实根；
所以
；所以
．
故答案为：
．
【知识点】一元二次方程的有理根
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（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的方程
．
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
当方程有两个相等的实数根时，求关于的方程
的整数根（为正
整数）．
【答案】（1 ）
（2 ）
的取值范围是
且
．
当
时，方程的两根为
，
；
当
时，方程的两根为
，
；
当
时，方程的两根为
，
．
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴
，即
．
∴的取值范围是
且
．
当方程有两个相等的实数根时，
．
∴
．
∴关于的方程为
．
∴
．
由为正整数，当
是完全平方数时，方程才有可能有整数根．
设
（其中
为整数），
（、均为整数），
∴
．即
．
不妨设
，两式相加，得
．
∵
与
的奇偶性相同，
∴
可分解为
，
，
，
，
∴
或
或
或
．
∴
或
或
（不合题意，舍去）或．
当
时，方程的两根为
，即
，
；
当
时，方程的两根为
，即
，
；
当
时，方程的两根为
，即
，
．
【知识点】整数根-分离常数法
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