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1
一元二次方程【章节复习】三角形周长相关 题集B3
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
，
，且关于的方程
有两个
相等的实数根．
判断
的形状．
若
平分
，且
，
、
为方程
的两根，试确定
与
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
为直角三角形．
．
∵关于的方程
有两个相等的实数根，
∴
，得
，
∴
为直角三角形．
简单的对角互补四边形模型，
，
∴
，
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】与三角形三边关系结合
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
2. 已知关于的一元二次方程
．
试判断上述方程根的情况．
若以上述方程的两个根分别为横坐标，纵坐标的点恰在反比例函数
的图象上，求满足
条件的
的最小值．
已知
的两边
，
的长是关于上述方程的两个实数根，
的长为．
当为何值时，
是以
为斜边的直角三角形．
当为何值时，
是等腰三角形，请求出此时
的周长．
2
（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
1
2
（3 ）
该方程有两个不相等的实数根．
．
．
见解析
∵
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴该方程有两个不相等的实数根．
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴当
时，
的最小值是
．
由（）得，
，
，
由勾股定理得，
，
解得
，
（舍去），
∴当
时，
是以
为斜边的直角三角形．
设
，
，
，由
知
，故有两种情况：
（i）当
时，
，即
，
，此时三角形周
长为
；
（ii）当
时，
，即
，
，此时三角形周
长为
．
综上，当
时，三角形的周长为
，当
时，三角形的周长为14.,
【知识点】与等腰三角形结合
（1 ）
3. 已知关于的一元二次方程
．
求证：这个一元二次方程一定有两个实数根；
3
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
设该一元二次方程的两根为、，且、、分别是一个直角三角形的三边长，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析
或
证明：
，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根．
∵
，
∴
．
，
．
①当为直角三角形的斜边时
，∴
．
②当
为直角三角形的斜边时
，∴
．
综上，
或
．
【知识点】与三角形三边关系结合
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知：关于的方程
的两根是一个矩形两邻边的长．
求实数的取值范围．
当矩形的对角线长为
时，求实数的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
设方程的两根为
，
则
，
∵方程有两个实数根，∴
，
即
，
∴
．
由题意得：
，
又∵
，即
，
，
整理得
，
解得
或
（舍去），
4
【标注】
∴的值为．
【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
A.
B.
C.
D.
或
5.
【解析】
【标注】
三角形两边长分别为和，第三边是方程
的根，则三角形的周长为（ ）．
【答案】D
，
或
，
所以
，
，
即三角形的第三边长为或，
所以三角形的周长为
或
．
故选：
．
【知识点】与三角形三边关系结合
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的方程
的两个实数根．
若
，求
的值．
已知等腰
的一边长为，若
，
恰好是
另外两边的长，求这个三角形的周
长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
，
是关于的方程
的两实数根，
∴
，
，
∴
，
解得：
或
；
当
时原方程无解，∴
．
①当为底边时，此时方程
有两个相等的实数根，
∴
，
解得：
，∴方程变为
，
解得：
，∵
，
5
【标注】
∴不能构成三角形；
②当为腰时，设
，代入方程得：
，
解得：
或
，
当
时方程变为
，
解得：
或
，
∵
，不能组成三角形；
当
时方程变为
，
解得：
或
，
此时三角形的周长为
．
【知识点】与三角形三边关系结合
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知关于的方程
．
当取何值时，方程有两个实数根？
若方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当矩形的对角线的长为
时，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
依题得，
，
∴
．
设方程的两根为
，
，依题意知
，
∵
，
，
∵
，
整理得
，
∴
，
，
当
时，
，
∴
（舍），
∴
．
【知识点】与三角形三边关系结合
8. 已知关于的一元二次方程
．
6
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求证：方程有两个不相等的实数根．
若
的两边
，
的长是这个方程的两个实数根，第三边
的长为，当
是
等腰三角形时，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
或．
．
所以方程有两个不相等的实数根．
由于
与
不相等，则
或
，
把
代入方程得
，
整理得
，解得
，
，
当
时，方程化为
，方程的另一个根为
；
当
时，方程化为
，方程的另一个根为，
所以的值为
或．
【知识点】一元二次方程根的判别式
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
【解析】
解答题．
若实数，满足
，且，为等腰
的两边边长，试求
的面积．
若二元一次方程组
的解满足
，且为负整数，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
，
∴
，
，
∵，为等腰
的两边边长，
∴为腰，
如图，
7
（2 ）
【标注】
过
作
于
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
，
解得：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵为负整数，
∴
．
【知识点】由二元一次方程组的解求参数的值
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
已知关于的一元二次方程
．
求证：方程有两个不相等的实数根．
若周长为
的等腰
的两边
、
的长是方程的两个实数根，求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
或
．
∵
，
∴方程有两个不相等的实数根．
一元二次方程
的解
，
．
当腰长为，底长为（
）时，
，则
；
当底长为，腰长为（
）时，
，即
，
8
【标注】
解得
．
∴的值为或
．
【知识点】与等腰三角形结合
（1 ）
（2 ）
11.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
已知：关于的一元二次方程
．
是方程的一个根，求
的值．
以这个方程的两个实数根作为
中
、
（
）的边长，当
时，
是等腰三角形，求此时
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
当
或
时，是等腰三角形．
∵
是方程的一个根，
∴
∴
∴
，
．
∵
．
∴
∴
，
∵
、
（
）的长是这个方程的两个实数根
∴
，
∵
，
是等腰三角形
∴①当
时，有
∴
②当
时，有
∴
综上所述，当
或
时，是等腰三角形．
【知识点】与等腰三角形结合
