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第二十一章 一元二次方程周周测2
一、选择题：
1．一元二次方程x（x﹣2）=0 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．已知b＜0，关于x 的一元二次方程（x﹣1）2=b 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
3．已知关于x 的一元二次方程（x+1）2﹣m=0 有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．m≥﹣
B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
4．关于x 的一元二次方程kx2﹣x+1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜
B．k＞
C．k＜
且k≠0
D．k＞
且k≠0
二、填空题
5．一元二次方程
x2+x=3 中，a=______，b=______，c=______，则方程的根是______．
6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0 的两根，则x1+x2=______．
7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0 的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是
______．
8．已知关于x 的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0 有两个不相同的实数根，则k 的取值范围
是______．
9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．
10．一次二元方程x2+x+
=0 根的情况是______．
11．若关于x 的方程ax2+2（a+2）x+a=0 有实数解，那么实数a 的取值范围是______．
12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9 的值互为相反数，则x=______．
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13．已知一次函数y=﹣x+4 与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k 的
取值范围是______．
14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=
．例如4﹡2，因为4＞2，所以4
﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0 的两个根，则x1﹡x2=______．
三、解答题（共4 小题，满分0 分）
15．用公式法解方程：
①4x2﹣4
x+1=0
②x2﹣
x﹣3=0．
16．不解方程，判断下列方程的根的情况：
①2x2+3x﹣4=0
②3x2+2=2
x
③
x2=
x﹣1．
17．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数
根．
18．已知关于x 的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣
）=0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC 的一边长a=4，另两边长b、c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周
长．
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《21.2.1 公式法》
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．一元二次方程x（x﹣2）=0 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
2．已知b＜0，关于x 的一元二次方程（x﹣1）2=b 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
【解答】解：∵（x﹣1）2=b 中b＜0，
∴没有实数根，
故选：C．
3．已知关于x 的一元二次方程（x+1）2﹣m=0 有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．m≥﹣
B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
【解答】解；（x+1）2﹣m=0，
（x+1）2=m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0 有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
4．关于x 的一元二次方程kx2﹣x+1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
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A．k＜
B．k＞
C．k＜
且k≠0
D．k＞
且k≠0
【解答】解：根据题意得k≠0 且△=（﹣1）2﹣4k＞0，
解得k＜
且k≠0．
故选C．
二、填空题
5．一元二次方程
x2+x=3 中，a=
，b=
1
，c= ﹣
3
，则方程的根是
x 1=﹣1
+
，
x2=﹣1﹣
．
【解答】解：移项得，
x+x﹣3=0
∴a=
，b=1，c=﹣3
∴b2﹣4ac=7
∴x1=﹣1+
，x2=﹣1﹣
．
6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0 的两根，则x1+x2=
3
．
【解答】解：根据题意得x1+x2=3．
故答案为3．
7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0 的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是
1 ＜
c ＜
5
．
【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0 的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6
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∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1
∴x1﹣x2=1，
又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
8．已知关于x 的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0 有两个不相同的实数根，则k 的取值范围
是
k ＞
﹣
2 且
k ≠
﹣
1
．
【解答】解：根据题意得k+1≠0 且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0，
解得k＞﹣2 且k≠﹣1．
故答案为k＞﹣2 且k≠﹣1．
9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根
x 2 + x﹣1=0
．
【解答】解：比如a=1，b=1，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，
∴方程为x2+x﹣1=0．
10．一次二元方程x2+x+
=0 根的情况是 方程有两个相等的实数根 ．
【解答】解：∵△=12﹣4×
=0，
∴方程有两个相等的实数根
故答案为方程有两个相等的实数根．
11．若关于x 的方程ax2+2（a+2）x+a=0 有实数解，那么实数a 的取值范围是
a ≥
﹣
1
．
【解答】解：当a=0 时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0 时，方程是一元二次方程，
若关于x 的方程ax2+2（a+2）x+a=0 有实数解，
则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，
解得：a≥﹣1．
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故答案为：a≥﹣1．
12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9 的值互为相反数，则x=
1 ±
．
【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0，
这里的：x2﹣2x﹣9=0，
这里a=1，b=﹣2，c=﹣9，
∵△=4+36=40，
∴x=
=1±
．
故答案为：1±
13．已知一次函数y=﹣x+4 与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k 的
取值范围是
k ＞
4
．
【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0 无解，
也就是这个一元二次方程无实数根，
那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k，
没有实数根，那么16﹣4k＜0，
解此不等式可得k＞4．
故答案为：k＞4．
14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=
．例如4﹡2，因为4＞2，所以4
﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0 的两个根，则x1﹡x2=
3 或﹣
3
．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0 的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）=0，
解得：x=3 或2，
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①当x1=3，x2=2 时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3 时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：3 或﹣3．
三、解答题（共4 小题，满分0 分）
15．用公式法解方程：
①4x2﹣4
x+1=0
②x2﹣
x﹣3=0．
【解答】解：（1）这里a=4，b=﹣4
，c=1，
∵△=32﹣16=16，
∴x=
=
；
（2）这里a=1，b=﹣
，c=﹣3，
∵△=2+12=14，
∴x=
．
16．不解方程，判断下列方程的根的情况：
①2x2+3x﹣4=0
②3x2+2=2
x
③
x2=
x﹣1．
【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0，所以方程两个不相等的实数根；
②方程化为一般式为3x2﹣2
x+2=0，△=（﹣2
）2﹣4×3×2=0，所以方程有两个相等的实
数根；
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③方程化为一般式为
x2﹣
x+1=0，△=（﹣
）2﹣4×
×1＜0，所以方程无实数根．
17．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数
根．
【解答】证明：当m=0 时，原方程为x﹣2=0，解得x=2；
当m≠0 时，△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0，所以方程有两个实数根，
所以无论m 为何值原方程有实数根．
18．已知关于x 的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣
）=0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC 的一边长a=4，另两边长b、c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周
长．
【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣
）
=4k2﹣12k+9
=（2k﹣3）2，
∵无论k 取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k 取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵x=
，
∴x1=2k﹣1，x2=2，
∵b，c 恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k﹣1，c=2，
当a、b 为腰，则a=b=4，即2k﹣1=4，解得k=
，此时三角形的周长=4+4+2=10；
当b、c 为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．
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综上所述，△ABC 的周长为10．
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