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直线与圆、圆与圆的位置关系—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°．BC＝4cm，以点C 为圆心，以2cm 的长为半径作圆，
则⊙C 与AB 的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C，交AB 的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.67.5°
3．如图所示，两圆相交于A、B 两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D 分别在两圆上，若∠ADB＝100°，
则∠ACB 的度数为( )
A．35° B．40° C．50° D．80°
4．设O 为△ABC 的内心，若∠A=52°，则∠BOC=（ ）．
A．52° B．104° C．116° D．128°
5．已知关于x 的一元二次方程x ２－2(R＋r)ｘ＋d ２=０没有实数根，其中R、r 分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径，
ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是( )
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
6．（2015•临淄区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D，DE⊥AC 于E，连接AD，则下列结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE 是⊙O 的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
7．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则r∶R∶a=______．
8．三角形三边长分别为5 厘米、12 厘米、13 厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆
的半径分别为____________.
9．如图，在12×6 的网格图中（每个小正方形的边长均为1 个单位长），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要
使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 个单位长．
10．已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有__________个.
11．如图所示，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°，O 是AB 的中点，⊙O 与AC、BC 分别相切于点D 与点E．点F
是⊙O 与AB 的一个交点，连DF 并延长交CB 的延长线于点G，则CG＝________．
12．（2015•泰安）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线，切点为
F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
三、解答题
13.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，C、D 是直径AB 同侧圆周上两点，且CD = BD
，过D 作DE⊥AC 于点E，
求证：DE 是⊙O 的切线.
14．如图所示，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC＝2cm，现有两点E、F，分别从点B，点A 同时出发，
点E 沿线段BA 以1cm／s 的速度向点A 运动，点F 沿折线A—D—C 以2cm/s 的速度向点C 运动，设点E 离开
点B 的时间为t(s)．
(1)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行?
(2)设1＜t＜2，当t 为何值时，EF 与半圆相切?
15．（2015•温州）如图，AB 是半圆O 的直径，CD⊥AB 于点C，交半圆于点E，DF 切半圆于点F．已知
∠AEF=135°．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若OC=CE，BF=
，求DE 的长．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
【解析】如图，过C 作CD⊥AB 于点D，在Rt△CBD 中，BC＝4cm，∠B＝30°，
∴
1
1
4
2(cm)
2
2
CD
BC
，
又⊙C 的半径为2cm，即d＝r，
∴ 直线AB 与⊙C 相切．
第1 题答案图 第2 题答案图
2．【答案】D；
【解析】如图：∵PD 切⊙O 于点C，∴OC⊥PD，
又∵OC＝CD，∴∠COD＝45°，
∵AO＝CO，∴∠ACO＝22.5°，
∴∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°．
故选D．
3．【答案】B；
【解析】连OA，OB，则∠AOB+∠ADB＝180°，
又∠ADB＝100°，∴ ∠AOB＝80°，
∴ ∠ACB＝1
2 ∠AOB＝40°.
4．【答案】C；
【解析】∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- 1
2 （180°-52°）=116°.
5.【答案】A；
【解析】因为关于x 的一元二次方程x2－2(Ｒ＋ｒ)ｘ＋ｄ2＝０没有实数根，所以Δ＜0，
即［2(R+r)］2－4d2＜0，所以(R+r+d)(R+r－d)<0，
因为Ｒ、ｒ分别为⊙Ｏ1、⊙Ｏ2的半径，d 为两圆的圆心距，
所以R+r+d＞0.所以R+r－d＜0，即R+r<d.所以⊙Ｏ1与⊙Ｏ2的位置关系是外离.
6．【答案】D；
【解析】∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，∵D 为BC 中点，∴BD=DC，
∵OA=OB，∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD 是半径，
∴DE 是⊙O 的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D 为BC 中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正确．故选D．
二、填空题
7．【答案】1∶2∶
3
2
．
【解析】易求R=2 ,
2 3 ,
:
:
: 2 : 2 3
1: 2 : 2 3.
r a
r
r R a
r
r
r
∴
8．【答案】2 厘米，3 厘米，10 厘米.
【解析】三个圆两两外切，利用外切两圆的性质，d=R＋r，列方程,
设三个圆半径分别是x 厘米，y 厘米，z 厘米，由题意，得
)
3
(
)
2
(
)1(
.
12
,
13
,5
z
x
z
y
y
x
解得
.
10
,3
,2
z
y
x
则此三个圆的半径分别为2 厘米，3 厘米，10 厘米.
9．【答案】2 或4 或6 或8.
【解析】分内切和外切进行讨论.
10．【答案】5．
【解析】要全面分析所有的情况，包括都外切，都内切，一内一外切.这样的圆共有5 个，如图，
它们是⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E.
第10 题答案图 第11 题答案图
11．【答案】3
3 2
.
【解析】如图，连DE、OD、CO，由已知条件，可知CE＝CD＝1
2 AC＝3，DE∥AB．
∴ DE＝
2 CD＝3 2 ．又OD∥CG，∴ ∠ODG＝∠G，又OD＝OF．
∴ ∠ODF＝∠OFD＝∠EDG．∴ ∠EDG＝∠G，
∴ DE＝GE，∴ CG＝CE+GE＝3+3 2 .
12.【答案】50°.
【解析】连接DF，连接AF 交CE 于G，
∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H，
∴
，
∵EF 是⊙O 的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，
故答案为：50°．
三、解答题
13. 【答案与解析】
连结OD、AD.
∵CD = BD
，∴∠1=∠2.
∵OA=OD，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AE∥OD.
∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.
∴DE 是⊙O 的切线.
14. 【答案与解析】
(1)∵ EB∥CD，EF∥BC，∠ABC＝90°，
∴ 四边形EBCF 为矩形，∴ EB＝CF．
∵ EB＝t，AD+DF＝2t，CF＝DC-DF＝2-(2t-2)＝4-2t，
∴ t＝4-2t，
4
3
t
，
∴ 当
4
3
t
s 时，线段EF 与BC 平行．
(2)如图所示，设EF 与半圆相切于点G，由切线长定理知BE＝EG＝t，
FG＝FC＝4-2t．而EF＝EG+FG＝4-t，过F 作FH⊥AB 于H 点，
则四边形HBCF 为矩形，HF＝BC＝2，HB＝FC＝4-2t，EH＝EB-HB＝t-(4-2t)＝3t-4．
在Rt△EFH 中，由勾股定理得(4-t)2＝22+(3t-4)2．解得
1
2
2
2
t
，
2
2
2
2
t
．
∵ 1＜t＜2，∴
2
2
2
t
，
∴ 当
2
2 s
2
t
时，EF 与半圆相切．
15. 【答案与解析】
（1）证明：连接OF，
∵A、E、F、B 四点共圆，
∴∠AEF+∠B=180°，
∵∠AEF=135°，
∴∠B=45°，
∴∠AOF=2∠B=90°，
∵DF 切⊙O 于F，
∴∠DFO=90°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCO=90°，
即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，
∴四边形DCOF 是矩形，
∴DF∥AB；
（2）解：过E 作EM⊥BF 于M，
∵四边形DCOF 是矩形，
∴OF=DC=OA，
∵OC=CE，
∴AC=DE，
设DE=x，则AC=x，
∵在Rt△FOB 中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2
，由勾股定理得：OF=OB=2，
则AB=4，BC=4﹣x，
∵AC=DE，OCDF=CE，
∴由勾股定理得：AE=EF，
∴∠ABE=∠FBE，
∵EC⊥AB，EM⊥BF
∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，
在Rt△ECA 和Rt△EMF 中
∴Rt△ECA≌Rt△EMF，
∴AC=MF=DE=x，
在Rt△ECB 和Rt△EMB 中，由勾股定理得：BC=BM，
∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2
，
解得：x=2﹣
，
即DE=2﹣
．
