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有理数的乘除（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0 相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应
该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对
值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个
因数为0．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc
＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相
加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中
的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个
数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把
运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1 的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是
1
2
，-2 和
1
2
是互相
依存的；
(2)0 和任何数相乘都不等于1，因此0 没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数，即
1 (
0)
a
b
a
b
b
.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于0 的数，
都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0 没有倒数，所以0 不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定
积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括
号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：(1)
5
4
( 3)
1
( 0.25)
6
5
；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数
的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积
就为零．
(1)
5
4
( 3)
1
( 0.25)
6
5
5
9
1
9
3
6
5
4
8
；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)
19
-
( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
1
个（1）相乘
；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．
当因数中有一个数为0 时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必
须加括号.
2.（2015 秋•碑林区期中）简便计算：
（1）（﹣48）×0.125+48×
（2）（
）×（﹣36）
【思路点拨】
（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配
律进行计算即．
【答案与解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48×
=48×（﹣
+
﹣
）
=48×0
=0；
（2）（
）×（﹣36）
=﹣20+27﹣2
=5．
【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘
法分配律进行计算．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)
2
2
1
5
13
0.34
( 13)
0.34
3
7
3
7
；
(2) 3.14 35.2
6.28 ( 23.3) 1.57 36.4
．
【答案】
（1）原式
2
1
2
5
( 13)
( 13)
0.34
0.34
3
3
7
7
2
1
2
5
( 13)
0.34
3
3
7
7
( 13) 1 0.34 ( 1)
13
0.34
13.34
．
(2) 3.14 35.2
6.28 ( 23.3) 1.57 36.4
＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2
＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)
＝-3.14×100
＝-314．
类型二、有理数的除法运算
3．计算：
1
7
( 49)
2
( 3)
3
3
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，
带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
解：
1
7
( 49)
2
( 3)
3
3
3
3
1
( 49)
7
7
3
3
3
1
49
3
7
7
3
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结
果．
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除381226 有理数除法例1（3）】
【变式】计算：
1
1
1
( 3 )
( 2 )
( 1 )
3
3
5
【答案】原式
10
3
5
25
(
) (
) (
)
3
7
6
21
类型三、有理数的乘除混合运算
4.计算：
9
4
81
( 16)
4
9
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
9
4
4
4
1
81
( 16)
81
1
4
9
9
9
16
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运
算，再应按从左到右的顺序进行．
举一反三：
【变式】计算：
1
4
4
10
( 2)
8
9
3
【答案】
1
4
4
10
( 2)
8
9
3
1
9
4
1
81
9
4
1
243
10 8
4
3
2
8
4
3
2
16
类型四、有理数的加减乘除混合运算
5. 计算：
1
2
1
1
2
30
3
10
6
5
【答案与解析】
方法1：
1
2
1
1
2
30
3
10
6
5
1
20
3
5 12
1
30
30
10
方法2：2
1
1
2
1
3
10
6
5
30
2
1
1
2
( 30)
10
3
10
6
5
所以
1
2
1
1
2
1
30
3
10
6
5
10
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括
号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2 利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c)
＝a÷b+a÷c 进行分配就错了．
举一反三：
【变式】观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：
= ．
【答案】
解：
=
=
．
类型五、含绝对值的化简
6.已知a、b、c 为不等于零的有理数，你能求出|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
的值吗?
【思路点拨】先分别确定a、b、c 的取值，再代入求值．
【答案与解析】
解：分四种情况：
(1)当a、b、c 三个数都为正数时，|
|
|
|
| |
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
(2)当a、b、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b、c 为正数，
|
|
|
|
| |
1 1 1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
(3)当a、b、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b、c 为负数，
|
|
|
|
| |
1 1 1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
(4)
当
a
、
b
、
c
三
个
数
都
为
负
数
时
，
|
|
|
|
| |
( 1)
( 1)
( 1)
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
综上，|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
的值为：3, 3,1, 1
【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例2】
【变式】计算a
b
a
b
的取值.
【答案】(1)当a＞0、b＞0 时，
1 1
2
a
b
a
b
原式
；
(2)当a＜0、b＜0 时，
1 1
2
a
b
a
b
原式
；
(3)当a＞0，b＜0 时，
1 1
0
a
b
a
b
原式
；
(4)当a＜0，b＞0 时，
1 1
0
a
b
a
b
原式
．
综上，a
b
a
b
的值为：2, 2,0
